第二章 隨機(jī)變量

第二章隨機(jī)變量第一節(jié)隨機(jī)變量及其分布函數(shù)第二節(jié)離散型隨機(jī)變量及其分布第三節(jié)連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布第四節(jié)隨機(jī)變量函數(shù)的分布第三節(jié)連續(xù)隨機(jī)變量及其分布（4）若x為f(x)的連續(xù)點(diǎn)，則有概率密度f(x)具有以下性質(zhì)：定義3:

設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x)，若存在非負(fù)函數(shù)f(t),使得對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，有則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量，稱f(t)為X的概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱概率密度或分布密度。上一頁下一頁返回由性質(zhì)（2）知：介于曲線y=f(x)與Ox軸之間的面積等于1（見圖1）。由性質(zhì)（3）知：X落在區(qū)間（x1,x2）的概率等于區(qū)間（x1,x2）上曲線y=f(x)之下的曲邊梯形的面積（見圖2）。由性質(zhì)（4）知：若已知連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F(x)求導(dǎo)得概率密度f(x)。圖１圖２上一頁下一頁返回(1)若X為具有概率密度f(x)的連續(xù)型隨機(jī)變量。則有如果x0為f(x)的連續(xù)點(diǎn)，有f(x)在x0處的函數(shù)值f(x0)反映了概率在x0點(diǎn)處的“密集程度”，而不表示X在x0處的概率。設(shè)想一條極細(xì)的無窮長(zhǎng)的金屬桿，總質(zhì)量為1，概率密度相當(dāng)于各點(diǎn)的質(zhì)量密度。（2）若X為連續(xù)型隨機(jī)變量，由定義知X的分布函數(shù)F(x)為連續(xù)函數(shù)（注意：反之不然）。X取一個(gè)點(diǎn)a的概率為零，事實(shí)上兩點(diǎn)說明在計(jì)算連續(xù)型隨機(jī)變量X落在某一區(qū)間的概率時(shí)，可以不必區(qū)分該區(qū)間是開區(qū)間或閉區(qū)間或半開半閉區(qū)間，即有事件{X=a}并非不可能事件概率為零的事件不一定是不可能事件；概率為1的事件不一定是必然事件。

上一頁下一頁返回求：（1）常數(shù)a；（2）（3）X的分布函數(shù)F（x）（1）由概率密度的性質(zhì)可知所以a＝1/2

例1：設(shè)隨機(jī)變量X具有概率密度解：上一頁下一頁返回上一頁下一頁返回則稱X在區(qū)間(a,b)上服從均勻分布，記為X~U(a,b)，均勻分布設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為X的分布函數(shù)為：上一頁下一頁返回概率密度函數(shù)f(x)與分布函數(shù)F(x)的圖形可用圖示上一頁下一頁返回設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X具有概率密度則稱X服從參數(shù)為的指數(shù)分布。指數(shù)分布X的分布函數(shù)為上一頁下一頁返回f(x)和F(x)可用圖形表示上一頁下一頁返回利用可以證明，正態(tài)分布設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為其中,(>0)為常數(shù),則稱X服從參數(shù)為,

的正態(tài)分布或高斯分布,記為X~N(,2).X的分布函數(shù)為上一頁下一頁返回（1）最大值在x=μ處，最大值為;（3）曲線y=f(x)在處有拐點(diǎn)；正態(tài)分布的密度函數(shù)f(x)的幾何特征：（2）曲線y=f(x)關(guān)于直線x=μ對(duì)稱，于是對(duì)于任意h>0，有（4）當(dāng)時(shí)，曲線y=f(x)以x軸為漸近線上一頁下一頁返回當(dāng)固定，改變的值，y=f(x)的圖形沿Ox軸平移而不改變形狀，故又稱為位置參數(shù)。若固定，改變的值，y=f(x)的圖形的形狀隨的增大而變得平坦。越小，X落在附近的概率越大。上一頁下一頁返回參數(shù)=0，=1的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記為X~N(0,1)。其概率密度函數(shù)和分布函數(shù)分別用和表示，即和的圖形如圖所示。上一頁下一頁返回由正態(tài)密度函數(shù)的幾何特性易知一般的正態(tài)分布，其分布函數(shù)F(x)可用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)表達(dá)。若X~,X的分布函數(shù)F(x)為因此，對(duì)于任意的實(shí)數(shù)a,b(a<b)，有函數(shù)寫不出它的解析表達(dá)式，人們已編制了它的函數(shù)表，可供查用。上一頁下一頁返回例2：設(shè)X~(0,1),求P{1<X<2},P{}.例3：某儀器需安裝一個(gè)電子元件，要求電子元件的使用壽命不低于1000小時(shí)即可?，F(xiàn)有甲乙兩廠的電子元件可供選擇，甲廠生產(chǎn)的電子元件的壽命服從正態(tài)分布N(1100,502),乙廠生產(chǎn)的電子元件的壽命分布服從正態(tài)分布N(1150,802)。問應(yīng)選擇哪個(gè)廠生產(chǎn)的產(chǎn)品呢？若要求元件的壽命不低于1050小時(shí)，又如何？上一頁下一頁返回比較兩個(gè)概率的大小就知應(yīng)選甲廠的產(chǎn)品。解：設(shè)甲、乙兩廠的電子元件的壽命分別為X和Y，則X~N(1100,502)，Y~N(1150,802).(1)依題意要比較概率的大小,兩個(gè)概率如下：