廣義參變量積分

廣義參變量積分1第一頁，共三十四頁，2022年，8月28日討論的緣由在參變量積分的討論中，有些是不能用控制收斂定理處理的.這就需要發(fā)展另外的積分號(hào)下取極限理論2第二頁，共三十四頁，2022年，8月28日廣義積分極限定理廣義積分定義廣義帶參數(shù)積分一致收斂極限定理廣義帶參數(shù)積分的微積分性質(zhì)一致收斂準(zhǔn)則3第三頁，共三十四頁，2022年，8月28日廣義積分定義以E=(0,)為例廣義積分（兩種意義下）Lebesgue意義下：在(0,)沒有積分的情形Riemann意義下：在(0,)上的Riemann積分在常義下沒有意義特例：對(duì)于任何0<<A<+,在(,A)上可積，稱在(0,)上可積如果如下極限存在且有限,并且定義4第四頁，共三十四頁，2022年，8月28日廣義積分定義(續(xù))另一種分類：第一類：積分區(qū)域無界，被積函數(shù)在其任何有界可測(cè)子集上可積第二類：積分區(qū)域有界例子：第一類：E=[1,)；第二類：E=(0,1]為了記號(hào)上的簡(jiǎn)潔,以一維問題為例.5第五頁，共三十四頁，2022年，8月28日廣義帶參數(shù)積分設(shè):ER,對(duì)于x,(x,y)關(guān)于y在E上(廣義)可積,稱F:R為帶參數(shù)積分：在下面研究帶參數(shù)積分的微積分性質(zhì)的過程中，為敘述方便，取E=[0,),廣義積分為第一類廣義積分。6第六頁，共三十四頁，2022年，8月28日一致收斂一致收斂定義一致收斂的充要條件(等價(jià)敘述)7第七頁，共三十四頁，2022年，8月28日一致收斂定義如果就說積分在上一致收斂8第八頁，共三十四頁，2022年，8月28日一致收斂的充要條件(A)古典說法：,A>0,當(dāng)aA時(shí)(B),A>0,當(dāng)aA時(shí)(C)9第九頁，共三十四頁，2022年，8月28日極限定理設(shè)R^d非空,a是的一個(gè)極限點(diǎn).如果在上一致收斂,且存在(0,)上的函數(shù)h,滿足(*)那么，收斂,且(**)10第十頁，共三十四頁，2022年，8月28日極限定理證明(1)由條件(*),h在(0,)上可測(cè)，并且b>0,h在(0,b)上可積;(2)h在(0,)上可積.只要證明a>0,當(dāng)ba時(shí),c>0,由在上一致收斂,就能夠找到滿足上述條件的a;(3)(**)成立.11第十一頁，共三十四頁，2022年，8月28日極限定理的情形設(shè)關(guān)于x在(0,)上一致收斂,

且存在(0,)上的函數(shù)h,滿足(*)那么，收斂,且(**)12第十二頁，共三十四頁，2022年，8月28日廣義帶參數(shù)積分的微積分性質(zhì)廣義帶參數(shù)積分的連續(xù)性廣義帶參數(shù)積分的積分換序廣義帶參數(shù)積分的可微性仍以為區(qū)間的情形來敘述相關(guān)的結(jié)果13第十三頁，共三十四頁，2022年，8月28日廣義帶參數(shù)積分的連續(xù)性設(shè)C([0,)).如果在上一致收斂則參變量積分在上連續(xù).證明這是極限定理的直接推論14第十四頁，共三十四頁，2022年，8月28日廣義帶參數(shù)積分的積分換序設(shè)=[a,b],C([0,)).如果在上一致收斂.則證明:記,由在上一致收斂,A>0,使得當(dāng)cA時(shí)15第十五頁，共三十四頁，2022年，8月28日積分換序證明(續(xù))因此由普通參變量積分的結(jié)果所以令c,就得到所要的結(jié)果16第十六頁，共三十四頁，2022年，8月28日廣義帶參數(shù)積分的可微性積分號(hào)下求導(dǎo):設(shè),xC([0,)),在上處處收斂,在上一致收斂,則因此17第十七頁，共三十四頁，2022年，8月28日積分號(hào)下求導(dǎo)的證明任取a,x,由積分換序定理注意在上是t的連續(xù)函數(shù)，由微積分基本定理，結(jié)果得證18第十八頁，共三十四頁，2022年，8月28日廣義參變量積分例1計(jì)算解：定義由控制收斂定理可知(y)C([0,))C1(0,)并且19第十九頁，共三十四頁，2022年，8月28日廣義參變量積分例1(續(xù))通過變量替換得到所以,注意因此，也就是，20第二十頁，共三十四頁，2022年，8月28日廣義參變量積分例2計(jì)算當(dāng)x>0時(shí)，由廣義積分換序定理21第二十一頁，共三十四頁，2022年，8月28日一致收斂準(zhǔn)則Weierstrass判別法(優(yōu)函數(shù)判別法,控制收斂判別法)Dirichlet判別法Abel判別法Dini判別法22第二十二頁，共三十四頁，2022年，8月28日Weierstrass判別法如果存在hL(0,)滿足則在上一致收斂.證明：這由hL(0,)和一致收斂的定義直接就可以得到.23第二十三頁，共三十四頁，2022年，8月28日廣義參變量積分例3證明積分>0,在[,)上一致收斂，但在(0,)上不一致收斂.證明：任取>0,則對(duì)于t[,),由控制收斂定理，在[,)上一致收斂.注意:由極限定理，如果在(0,)上一致收斂，則h(x)=1,在(0,)上可積(這是不對(duì)的).24第二十四頁，共三十四頁，2022年，8月28日Dirichlet判別法設(shè),gR,滿足(1)對(duì)于x,(x,y)是上的遞減函數(shù);(2)(3)則在上一致收斂25第二十五頁，共三十四頁，2022年，8月28日Dirichlet判別法證明使用一致收斂的充要條件(A)來證明.任取,由條件(2),A>0,當(dāng)y>A時(shí)，則當(dāng)a>A,b>0時(shí)，x,由第二積分中值定理因此26第二十六頁，共三十四頁，2022年，8月28日廣義參變量積分例4計(jì)算解：定義1.先證明(y)在[0,)上一致收斂.使用Dirichlet判別法,取u(x,y)=exp(-xy)/x,v(x,y)=sinx.因此,(y)在[0,)上連續(xù).這就要證的一致收斂性27第二十七頁，共三十四頁，2022年，8月28日廣義參變量積分例4(續(xù))2.當(dāng)y>0時(shí),(y)在(0,)上可導(dǎo),并且因此所以注意(y)0(y),得到由此得到28第二十八頁，共三十四頁，2022年，8月28日廣義參變量積分例5設(shè)a>0.證明：積分在(0,a)上不一致收斂，而在(a,)上一致收斂.證明：在(a,)上,利用Dirichlet判別法,取(x,y)=1/y,g(x,y)=sin(xy),在(0,a)上,對(duì)于任何A>0,取x(0,a):b=/(6x)>A,c=/(2x),則29第二十九頁，共三十四頁，2022年，8月28日Abel判別法設(shè),gR,滿足(1)對(duì)于x,(x,y)是上的單調(diào)函數(shù);(2)(3)在上一致收斂則在上一致收斂30第三十頁，共三十四頁，2022年，8月28日Abel判別法的證明仍使用一致收斂的充要條件(A)來證明.任取,由條件(2),A>0,當(dāng)a>A,b>0時(shí)，則當(dāng)a>A,b>0時(shí)，x,由第二積分中值定理因此31第三十一頁，共三十四頁，2022年，8月28日廣義參變量積分例6證明積分在R上一致收斂.證明：利用Abel判別法,取(x,y)=arctan(x2+y2),g(x,y)=sin(y)/y32第三十二頁，共三十四頁，2022年，8月28日Dini判別法設(shè)為有界閉集,C()非負(fù).如果則在上一致收斂.證明:對(duì)于c>0,定義則>0,對(duì)于x,c=c(x),Fc(x)</2.33第三十三頁，共三十四頁，2022年，8月28日Dini判別法證明(續(xù))由Fc=Fc(x)連續(xù),存在=(x)>0,zB(x,),|Fc(z)-Fc(x)|</2,所以,zB(x,),Fc(z)=Fc