結(jié)構(gòu)力學(xué) 07 力法

第7章力法教學(xué)目標(biāo)掌握力法基本原理，能正確判定超靜定次數(shù)，并選取力法的基本結(jié)構(gòu)熟練掌握在荷載作用下用力法計算超靜定結(jié)構(gòu)的方法掌握利用結(jié)構(gòu)的對稱性簡化計算的方法理解在支座位移等因素作用下，力法計算超靜定結(jié)構(gòu)的方法Contents目錄超靜定結(jié)構(gòu)和超靜定次數(shù)1力法的典型方程3對稱性的利用5力法的基本原理2力法計算的應(yīng)用4支座移動時的超靜定結(jié)構(gòu)計算6超靜定結(jié)構(gòu)和超靜定次數(shù)§7.11、超靜定結(jié)構(gòu)的概念在幾何組成方面是幾何不變有多余約束的體系；靜力學(xué)方面，其中內(nèi)力和反力不能完全由靜力平衡條件確定。由于超靜定結(jié)構(gòu)整體性好，有較大的強度、剛度和穩(wěn)定性，因而在工程上得到廣泛的應(yīng)用。類型：超靜定梁、剛架、拱、桁架、組合結(jié)構(gòu)。二、超靜定結(jié)構(gòu)的超靜定次數(shù)，就是多余約束的數(shù)目，也等于所補充的方程的個數(shù)。超靜定結(jié)構(gòu)和超靜定次數(shù)§7.12、超靜定次數(shù)的確定超靜定結(jié)構(gòu)具有多余聯(lián)系，因此具有多余力。通常將多余聯(lián)系的數(shù)目或多余力的數(shù)目稱為超靜定結(jié)構(gòu)的超靜定次數(shù)。超靜定結(jié)構(gòu)在幾何組成上，可以看作是在靜定結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上增加若干多余聯(lián)系而構(gòu)成，因此，確定超靜定次數(shù)最直接的方法就是在原結(jié)構(gòu)上去掉多余聯(lián)系，直至超靜定結(jié)構(gòu)變成靜定結(jié)構(gòu)，所去掉的多余聯(lián)系的數(shù)目，就是原結(jié)構(gòu)的超靜定次數(shù)。從超靜定結(jié)構(gòu)上去掉多余聯(lián)系的方式有以下幾種：（1）去掉支座處的支桿或切斷一根鏈桿，相當(dāng)下去掉一個聯(lián)系，如圖(a)(b)所示；（2）撤去一個鉸支座或撤去一個單鉸，相當(dāng)于去掉二個聯(lián)系，如圖(c)(d)所示；（3）切斷一根梁式桿或去掉一個固定支座，相當(dāng)于去掉三個聯(lián)系，如圖(e)所示；（4）將一剛結(jié)點改為單鉸聯(lián)結(jié)或?qū)⒁粋€固定支座改為固定鉸支座，相當(dāng)于去掉一個聯(lián)系，如圖(f)所示。超靜定結(jié)構(gòu)和超靜定次數(shù)§7.1由于去掉多余聯(lián)系的方式的多樣性，在力法計算中，同一結(jié)構(gòu)的基本結(jié)構(gòu)可有各種不同的形式。但應(yīng)注意，去掉多余聯(lián)系后基本結(jié)構(gòu)必須是幾何不變的。為了保證基本結(jié)構(gòu)的幾何不變性，有時結(jié)構(gòu)中的某些聯(lián)系是不能去掉的。如圖7-4(a)所示剛架，具有一個多余聯(lián)系。若將橫梁某處改為鉸接，即相當(dāng)于去掉一個聯(lián)系得到如圖7-4(b)所示靜定結(jié)構(gòu)；當(dāng)去掉

支座的水平鏈桿則得到如圖7-4(c)所示靜定結(jié)構(gòu)，它們都可作為基本結(jié)構(gòu)。但是，若去掉支座的豎向鏈桿或支座的豎向鏈桿，即成瞬變體系如圖7-4(d)所示，顯然是不允許的，當(dāng)然也就不能作為基本結(jié)構(gòu)。超靜定結(jié)構(gòu)和超靜定次數(shù)§7.1如圖7-5(a)所示超靜定結(jié)構(gòu)屬內(nèi)部超靜定結(jié)構(gòu)，因此，只能在結(jié)構(gòu)內(nèi)部去掉多余聯(lián)系得基本結(jié)構(gòu)，如圖7-5(b)所示。超靜定結(jié)構(gòu)和超靜定次數(shù)§7.1如圖7-6(a)所示結(jié)構(gòu)的超靜定次數(shù)等于3×8=24。當(dāng)結(jié)構(gòu)的某些結(jié)點為鉸接時，則一個單鉸減少一個超靜定次數(shù)。如圖7-6(b)所示結(jié)構(gòu)的超靜定次數(shù)等于3×8-5=19。力法的基本原理§7.2基本體系基本結(jié)構(gòu)超靜定結(jié)構(gòu)7.2.1力法的基本結(jié)構(gòu)力法的基本原理：以多余的約束力作為基本未知量，以解除多余約束后的靜定結(jié)構(gòu)作為基本結(jié)構(gòu)，根據(jù)基本結(jié)構(gòu)在解除約束處的位移條件(基本結(jié)構(gòu)在荷載和多余約束力共同作用下，在解除約束處沿約束力方向產(chǎn)生的位移和原來超靜定結(jié)構(gòu)在解除約束處沿約束力方向產(chǎn)生的位移相等)，建立力法方程，解出多余約束力，然后再利用疊加原理求內(nèi)力作內(nèi)力圖。力法的基本原理§7.2力法的基本原理§7.2多余力X1求出后，其余所有反力和內(nèi)力都可用靜力平衡條件確定。超靜定結(jié)構(gòu)的最后彎矩圖、剪力圖、軸力圖，均可利用疊加法繪制力法的基本原理§7.2

力法特點：（1）以多余未知力作為基本未知量，并根據(jù)基本體系與原結(jié)構(gòu)變形協(xié)調(diào)的位移條件，求解基本未知量；（2）力法的整個計算過程自始至終都是在基本體系上進(jìn)行的。因此，就是把超靜定結(jié)構(gòu)的計算問題，轉(zhuǎn)化成了前面已學(xué)習(xí)過的靜定問題；（3）基本體系與原結(jié)構(gòu)在受力、變形和位移方面完全相同，二者是等價的。（4）基本體系的選取不是唯一的。力法的典型方程§7.3力法的典型方程：用力法計算超靜定結(jié)構(gòu)的關(guān)鍵在于根據(jù)位移條件建立力法的基本方程，以求解多余力。對于多次超靜定結(jié)構(gòu)，其計算原理與一次超靜定結(jié)構(gòu)完全相同。下面對多次超靜定結(jié)構(gòu)用力法求解的基本原理作進(jìn)一步說明。力法的典型方程§7.3n次超靜定結(jié)構(gòu)力法計算的應(yīng)用§7.4力法計算步驟：（1）確定結(jié)構(gòu)的超靜定次數(shù)n，去掉多余約束，并以多余未知力代替相應(yīng)多余約束的作用，得到原結(jié)構(gòu)的力法基本體系。同一個超靜定結(jié)構(gòu)的力法基本體系的選擇不是唯一的。（2）根據(jù)基本結(jié)構(gòu)在和荷載共同作用下，沿方向的位移與原結(jié)構(gòu)各相應(yīng)位移相等的條件，建立力法的典型方程。（3）分別作出基本結(jié)構(gòu)在和荷載作用下內(nèi)力圖（或?qū)懗鰞?nèi)力表達(dá)式），計算典型方程中的系數(shù)和自由項。（4）求解典型方程，得出各多余未知力。（5）按分析靜定結(jié)構(gòu)的方法，由平衡條件和疊加法繪制結(jié)構(gòu)的內(nèi)力圖（6）校核。對于超靜定結(jié)構(gòu)，不僅要校核平衡條件，還要校核變形條件。力法計算的應(yīng)用§7.4【例7-1】圖(a)所示剛架，EI=常數(shù)，試做出其內(nèi)力圖。解：⑴確定超靜定次數(shù)，選取基本結(jié)構(gòu)此剛架具有一個多余聯(lián)系，是一次超靜定結(jié)構(gòu)，去掉支座鏈桿C即為靜定結(jié)構(gòu)，并用X1代替支座鏈桿C的作用，得基本結(jié)構(gòu)如圖(b)所示。⑵建立力法典型方程原結(jié)構(gòu)在支座C處的豎向位移Δ1=0。根據(jù)位移條件可得力法的典型方程如下：力法計算的應(yīng)用§7.4⑶求系數(shù)和自由項⑷求解多余力

力法計算的應(yīng)用§7.4⑸繪制內(nèi)力圖力法計算的應(yīng)用§7.4【例7-2】圖7-13(a)所示剛架，EI=常數(shù)，試作出其內(nèi)力圖。解：⑴確定超靜定次數(shù)，選取基本結(jié)構(gòu)此剛架是兩次超靜定的。去掉剛架B處的兩根支座鏈桿，代以多余力X1和X2

，得到圖7-13(b)所示的基本結(jié)構(gòu)。⑵建立力法典型方程力法計算的應(yīng)用§7.4⑶繪出各單位彎矩和荷載彎矩圖如圖7-14(a)(b)(c)所示。利用圖乘法求得各系數(shù)和自由項如下：（4）求解多余力代入求解可得力法計算的應(yīng)用§7.4⑸繪制內(nèi)力圖：彎矩圖及剪力圖、軸力圖，如圖7-14(d)(e)(f)所示。上述兩個例題表明：⑴力法計算的關(guān)鍵是：確定基本未知量，選擇基本結(jié)構(gòu)，建立典型方程。⑵力法方程的系數(shù)和自由項的計算就是求靜定結(jié)構(gòu)的位移。⑶力法方程解得多余未知力后，可用靜力平衡方程或內(nèi)力疊加計算超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力和繪制內(nèi)力圖。力法計算的應(yīng)用§7.4【例7-3】【應(yīng)用案例】

用力法計算按平面排架簡化的單層廠房單層廠房是一個空間結(jié)構(gòu)，其平面布置如圖7-15(a)所示，它的橫向是一個由基礎(chǔ)、柱子和屋架組成的排架（圖7-15(b)），排架沿廠房縱向一般按6m等間距排列，各排架之間用縱向構(gòu)件如屋面板、吊車梁、縱向支撐等相聯(lián)。作用于廠房結(jié)構(gòu)上的恒載和風(fēng)、雪等荷載，一般是沿縱向均勻分布的。因此，可以取圖7-15(a)中陰影線所示部分作為計算單元，并按平面排架進(jìn)行計算。由于屋架橫向變形很微小，通常近似將屋架看作一軸向剛度EA為無限大的桿件，其作用類似一條橫梁，計算簡圖如圖7-15(c)所示。鉸接排架結(jié)構(gòu)由于柱上常放置吊車梁，因此柱截面按分段直線變化，做成階梯形。力法計算的應(yīng)用§7.4排架算例

計算圖7-16(a)所示排架柱的內(nèi)力，并作出彎矩圖。解

⑴選取基本結(jié)構(gòu)如圖7-16(b)所示。力法計算的應(yīng)用§7.4⑵建立力法方程(3)分別作基本結(jié)構(gòu)的P圖和-圖，如圖7-16(c)、圖7-16(d)所示。利用圖乘法計算系數(shù)和自由項分別如下：⑷

計算多余未知力:將系數(shù)和自由項帶入力法方程，得對稱性的利用§7.5一、對稱的基本結(jié)構(gòu)對稱結(jié)構(gòu)受荷載作用對稱性的利用§7.5基本體系對稱性的利用§7.5二、對稱結(jié)構(gòu)在正對稱荷載作用下正對稱荷載對稱性的利用§7.5奇數(shù)跨剛架的等效半結(jié)構(gòu)偶數(shù)跨剛架的等效半結(jié)構(gòu)對稱性的利用§7.5二、對稱結(jié)構(gòu)在正反對稱荷載作用下反對稱荷載對稱性的利用§7.5奇數(shù)跨剛架的等效半結(jié)構(gòu)偶數(shù)跨剛架的等效半結(jié)構(gòu)對稱性的利用§7.5【例7-4】利用結(jié)構(gòu)對稱性，計算圖7-20(a)所示剛架，并作最后彎矩圖。解

（1）此結(jié)構(gòu)為三次超靜定剛架，且結(jié)構(gòu)及荷載均為對稱。在對稱軸處切開。取圖7-20(b)所示的基本結(jié)構(gòu)。由對稱性的結(jié)論可知X3=0，只須考慮對稱未知力X1及X2（2）由切開處的位移條件，建立典型方程對稱性的利用§7.5（3）做彎矩圖，并利用圖形相乘求系數(shù)和自由項（4）將各系數(shù)和自由項代入典型方程，并解方程得X1，X2（5）疊加作M圖，求得各桿桿端彎矩值，作最后彎矩圖1.力法的基本原理：將超靜定結(jié)構(gòu)中的多余聯(lián)系去掉，代之以多余未知力，得到的靜定結(jié)構(gòu)作為基本結(jié)構(gòu)。以多余未知力作為力法的基本未知量，利用基本結(jié)構(gòu)在荷載和多余未知力共同作用下的變形條件建立力法方程，從而求解多余未知力。求得多余未知力后，超靜定問題就轉(zhuǎn)化為靜定問題，可用平衡條件求解所有未知力。因此，力法計算的關(guān)鍵是：確定基本未知量，選擇基本結(jié)構(gòu)，建立典型方程。2.確定基本未知量和選擇基本結(jié)構(gòu)：去掉多余聯(lián)系使原超靜定結(jié)構(gòu)變?yōu)殪o定結(jié)構(gòu)，去掉的多余聯(lián)系處的多余未知力即為基本未知量。去掉多余聯(lián)系后的靜定結(jié)構(gòu)即為基本結(jié)構(gòu)，兩者是同時選定的。同一超靜定結(jié)構(gòu)可以選擇多個基本結(jié)構(gòu)，但基本結(jié)構(gòu)必須是幾何不變且無多余聯(lián)系的靜定結(jié)構(gòu)。3.建立力法典型方程：基本結(jié)構(gòu)在原荷載（或支座移動等）及多余未知力作用下，沿多余未知力方向的位移應(yīng)與原結(jié)構(gòu)在相應(yīng)處的位移相等，據(jù)此列出力法典型方程。要充分理解力法典型方程所代表的變形條件的意義，以及方程中各項系數(shù)和自由項的含義。4.典型方程的系數(shù)和自由項的計算：系數(shù)和自由項的計算就是求靜定結(jié)構(gòu)的位移。因此，必須保證靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力圖的正確和位移計算的準(zhǔn)確。力法方程中的主系數(shù)(i