2.3一元二次方程的應用(教師版)

2.3元二次方的應用解應用的步驟(1)分析題意，找到題中未知數(shù)和題給條件的相等關系；(2)設未知數(shù)，并用所設的未知數(shù)的代數(shù)式表示其余的未知數(shù)；(3)找出相等關系，并用它列出方程；(4)解方程求出題中未知數(shù)的值；(5)檢驗所求的答數(shù)是否符合題意，并做答．一、傳問題1．元旦節(jié)班上數(shù)學興趣小組的同學，互贈新年賀卡，每兩個同學都相互贈送一張，小明統(tǒng)計出全組共互送90張賀年卡數(shù)學興趣小組的人數(shù)是多少？設數(shù)學興趣小組人數(shù)x人，則可列方程為(A)A．x(－1)＝90B．(x－1)＝2×90C．x(－1)＝90÷2D．(x＋1)＝90【解析】設數(shù)學興趣小組人數(shù)為x人，每名學生送了(x－1)張，共有x人，根據(jù)“共互送了90張賀年卡得出方程為x(－1)＝90.故選A.2．元旦節(jié)某班微信群，每個同學都互發(fā)一條信息，統(tǒng)計出全班共互發(fā)2862條信息，那么這個班共有__54__人．【解析】設該班有x人，可得出方程為(－1)＝2862，解得x，x＝舍)．123．某種電腦病毒傳播非?？?，如果一臺電腦被感染，經(jīng)過兩輪感染后就會有81臺電腦被感染．請你用學過的知識分析，每輪感染中平均一臺電腦會感染_8__臺電腦．【解析】設每一輪感染中平均每臺電腦會感染x臺電腦．根據(jù)題意，得(1＋x)

2

＝81，解得＝8或x＝－10(舍去)．二、增率問題4．隨著居民經(jīng)濟收入的不斷提高以及汽車業(yè)的快速發(fā)展，家用汽車已越來越多地進入普通家庭，抽樣調(diào)查顯示，截止2015年某市汽車擁有量為16.9輛．己知2013年底該市汽車擁有量為10萬輛，設2013底至年底該市汽車擁有量的平均增長率為，根據(jù)題意列方程得(A)A．10(1＋x)

2

＝16.9B．10(1＋2x)＝16.9C．10(1－x)＝16.9D．10(1－2x)＝16.95．某種商品的標價為/件，經(jīng)過兩次降價后的價格為元/件，并且兩次降的百分率相同．(1)求該種商品每次降價的百分率；(2)若該種商品進價為300/件兩次降價后共售出此種商品件為使兩次降價銷售的總

利潤不少于12000元，第一次降價后至少要售出該種商品多少件？解：(1)設該種商品每次降價的百分率為x，根據(jù)題意，得625(1－x)

2

，解得x＝0.2＝20%，去)．12答：該種商品每次降價的百分率為；(2)設第一次降價后售出該種商品，則第二次降價后售出該種商品(100)件，根據(jù)題意，得[625×(1－20%)＋(400－300)(100－)≥12000，解得m≥20，所以m小值是答：第一次降價后至少要售出該種商品件．6.現(xiàn)代互聯(lián)網(wǎng)技術的廣泛應用，催生了快遞行業(yè)的高速發(fā)展，據(jù)調(diào)查，長沙市某家小型“大學生自主創(chuàng)業(yè)”的快遞公司，今年三月份與五月份完成投遞的快遞總件數(shù)分別10萬件和12.1萬件，現(xiàn)假定該公司每月投遞的快遞總件數(shù)的增長率相同．(1)求該快遞公司投遞總件數(shù)的月平均增長率；(2)如果平均每人每月最多可投遞萬件么該公司現(xiàn)有的名快遞投遞業(yè)務員能否完成今年6月份的快遞投遞任務？如果不能，請問至少需要增加幾名業(yè)務員？解：(1)設該快遞公司投遞總件數(shù)的月平均增長率為，根據(jù)題意得10(1＝0.1，x＝－2.1(不合題意舍去)．2答：該快遞公司總件數(shù)的月平均增長率為

2

＝12.1，解得x

1(2)今年6月份的快遞投遞任務是＋10%)＝13.31(萬件)，∵平均每人每月最多可投遞0.6萬件，∴21名快遞投遞業(yè)務員能完成的快遞投遞任務是＝12.6<13.31∴該公司現(xiàn)有的快遞投遞業(yè)務員不能完成今年月份的快遞投遞任務，∴需要增11業(yè)務員(13.31－12.6)÷0.6≈2(人)．60答：該公司現(xiàn)有的快遞投遞業(yè)務員不能完成今年月份的快遞投遞任務，至少要增加2名業(yè)務員三、銷問題7某商店出售一種商品若每件10元每天可銷售件售價每降低1可多賣6件，要使該商品每天的銷售額(售價)為504元，設每件降低x，則可列方程為(C)A．(50＋x)(10－)＝504B．50(10－x)＝504C．(10－x)(50＋6)＝504D．(10－6x)(50＋)＝5048.某商品的進價為每件40售價為每件60元時星期可賣出300件市場調(diào)發(fā)現(xiàn)：每降價1元，每星期可多賣出件．現(xiàn)在要使利潤為6120元，每件商品應降價(A)A．2元或3元B．2元或5元C．2元D．39．將進貨單價為的商品按50元出售時，能賣出．已知這種商品每個漲價1元，其銷售量就減少10個，則為了賺得8000元的利潤售價應定為60或

元．

1010101010．某商店從廠家以每件21元價格購進一批商品，該商品可以自行定價，若每件商品售價為a元，則可賣出(350－10a)件，但物價局限定每件商品加價不能超過進價的20%，若商店計劃要賺400元，則每件商品的售價為__25__元，需要賣出_100___件商品．11．某茶葉專賣店銷售某品牌茶葉，其進價為每千240元，按每千400元出售，平均每周可售出200千克，后來經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，單價每降10元，則平均每周的銷售量可增加40千克，若該專賣店銷售這種品牌茶葉要想平均每周獲利600元，請回答：(1)每千克茶葉應降價多少元？(2)在平均每周獲利不變的情況下，為盡可能讓利于顧客，贏得市場，該店應按原售價的幾折出售？40解：(1)設每千克茶葉應降價，則平均每周可售出40依題意，得(400－240－x)，整理，得x

－110x＋2400，解得x＝30，＝80.12答：每千克茶葉應降價30或80元；(2)∵為盡可能讓利于顧客，∴x＝80，∴

400－80×10＝8.400答：該店應按原售價的八折出售．四、幾圖形問題12．今年我市計劃擴大城區(qū)綠地面積．現(xiàn)有一塊長方形綠地，它的短邊長為60m若將短邊增大到與長邊相等(長邊不變)使擴大后的綠地的形狀是正方形則擴大后的綠地面積比原來增加1600m2

.設擴大后的正方形綠地邊長為xm，下面所列方程正確的是A)A．x(－60)＝1600B.(x＋60)＝1600C．60(x＋60)＝1600D．60(－60)＝1600【解析】由題意，得長方形的長為xm則長方形的寬為(60－)m，根據(jù)長方形的面積公式可知x(－60)＝1600.13．公園有一塊正方形的空地，后來從這塊空地上劃出部分區(qū)域栽種鮮(如圖1)，原空地一邊減少了1m，另一邊減少了m，剩余空地的面積為m

2

，求原正方形空地的邊長，設原正方形空地的邊長為xm，則可列方程為(C)A．(x＋1)(x＋2)＝18B．2

－3x＋16＝0C．(x－1)(x－2)＝18D．2＋3x＋16＝0

圖1

圖214．如圖，將一塊正方形空地劃出部分區(qū)域進行綠化，原空地一邊減少了m，另一邊減少了3m，剩余一塊面積為20m

2

的長方形空地，則原正方形空地的邊長是(A)A．7mB．8mC．9mD．10m15小明將一幅畫裝裱在如圖長方形宣傳牌上使四周空余部分圖中陰影部分)的面積占整個1宣傳牌面積的，且上、下、左、右的寬都相等，已知宣傳牌長為cm，寬為cm，則空余3部分的寬為(C)A．4cmB．3cmC．2cmD．1cm16．用一根長為24的鐵絲圍成一個長方形，如果長方形的面積是cm2，那么這個長方形的長與寬分別是(C)A．9cm，3cmB．8cm，4cmC．7cm，5cmD．6cm，6cm17．以正方形木板的一條邊長為邊，在正方形的木板上鋸掉一2m寬的長方形木條，若剩余木板的面積是48m2，則原來這塊木板的面積是(B)A．100m2B．64m2C．121m2D．144m

218．如圖，某小區(qū)有一塊長為m，寬為24m矩形空地，計劃在其中修建兩塊相同的矩形綠地，它們的面積之和為480m

2

，兩塊綠地之間及周邊有寬度相等的人行通道，則人行通道的寬度為__2__m.【解析】設人行通道的寬度為xm，根據(jù)題意，得30－3x)(24－2x)＝480，解得＝20(舍1去)，x＝2.即人行通道的寬度是2m.219.如圖3有一張邊AB墻的長方形桌子長120cm60cm.有一塊長方形臺布EFMN的面積是桌面面積的倍，并且如圖所示鋪在桌面上時，三邊垂下的長度中有兩邊相等(＝3)，另外一邊是AE倍(即CDMN間的距離)．求這塊臺布的長和寬．2

2323圖3解：設下垂長度BFxcm，則AE＝＝xcm，3根據(jù)題意，得(120＋2x，∴x＋100x－2400＝0.解得x＝20，－120(不符合題意，舍去)．1233∴120＋2x＝120＋2×20＝160，60＋x＝60＋×20＝90.22答：這塊臺布的長為160cm，寬為90cm.20.如圖4，要設計一幅寬，長180cm的矩形圖案，其中有兩橫兩豎的彩條，橫、豎彩條的寬度比為2∶3，如果要使所有彩條所占面積為原矩形圖案面積的三分之一，應如何設計每個彩條的寬度？圖4解：設橫彩條的寬度為2xcm，則豎彩條的寬度為xcm，1依題意，得(180－2×2x)(120－2×3)＝180×120×整理，得x－65＋300＝0，解得x＝5，＝60.12∵當x＝60時，3＝180，∴x＝60舍去，∴2x＝10x＝15.答：橫彩條的寬度為10cm，豎彩條的寬度為15cm.五、幾動點問題21.如圖5，在△ABC，∠＝90°，＝5cm，＝7cm，點P從點始沿AB邊向點B以cm/s速度移動，同時點從點B始沿向點C以2cm/s的速度移動．當一個點到達終點時另一點也隨之停止運動，運動時間為s(x＞0)．

圖5(1)求幾秒后，PQ長度等于5cm；(2)運動過程中，△PQB的面積能否等于8cm

2

？說明理由．解：(1)當＝5時，在Rt△PBQ中，∵2

＋BQ

＝2

，∴(5－x)＋(2)2＝52，5x

－10x＝0，x(5－10)＝0，x舍去)，x＝2，12∴當x＝2時，長度等于5cm；(2)設經(jīng)過xs以后△PBQ面積為8，1∴×(5－x)×2＝8，2整理，得x－5＋8＝0，＝25－32＝－7＜0，∴△PQB的面積不能等于8cm

2

.1．某種植基地年蔬菜產(chǎn)量為80噸2018年蔬菜產(chǎn)量為100噸，求蔬菜產(chǎn)量的年平均增長率．設蔬菜產(chǎn)量的年平均增長率為x，則可列方程為A)A．80(1＋x)＝100B.80(1－)2＝100C．80(1＋2x)＝100D．80(1＋2)＝100【解析】由題意知，蔬菜產(chǎn)量的年平均增長率為x根據(jù)2016年蔬菜產(chǎn)量為噸，則2017年的蔬菜產(chǎn)量為80(1＋)噸，2018年蔬菜產(chǎn)量為80(1＋)(1＋x)噸．而2018年蔬菜產(chǎn)量為100噸，即80(1＋x＋)＝100，即80(1＋)

2

＝100.2．在一次酒會上，每兩人都只碰一次杯，如果一共碰杯次，則參加酒會的人數(shù)為(C)A．9人B.10人C．11人D．12人x（－1）【解析】設這次參加酒會的人數(shù)為，根據(jù)題意可得＝55，解得x，－21210(舍去)．故參加酒會的人數(shù)為人．3某種品牌運動服經(jīng)過兩次降價件零售價由降為b已知兩次降價的百分率為x，下面所列的方程中正確的是(B)

A．a(chǎn)(1＋)

2

＝b

B.a(1－)

2

＝bC．a(chǎn)(1－2)

2

＝b

D．a(chǎn)(1－2

)＝b4．某商品的進價為每件40元，當售價為每件60元時，每星期可賣出300件．為占有市場份額現(xiàn)需降價處理且經(jīng)市場調(diào)查每降價1星期可多賣出20件現(xiàn)在要使利潤為6120元，每件商品應降價(A)A．3元B.2.5元C．2元D．5元【解析】設售價為x元時，每星期盈利為120元，由題意得(x－40)[300＋20(60－)]＝6120，解得x＝57，，12由已知，要多占市場份額，故銷售量要盡量大，即售價要低，故舍去x＝58.2∴每件商品應降價60－57元．5．如圖2－3－2，在一幅長cm，寬50cm的長方形風景畫的四周鑲上一條金色紙邊，制成一幅矩形掛圖，如果要使整個掛圖的面積是54002

，設金色紙邊的寬為xcm，那么足的方程是(D)圖2－3－2A．x＋130x－1400＝0B．x－65x－350＝0C．x

－130x－1400＝0D．x

＋65x－350＝0【解析】依題意，得(80＋2x)(50＋2x)＝5400，整理得2

＋65x－350＝0.故選6．用一條長40的繩子圍成一個面積為64cm2

的長方形．設長方形的長為，則可列方程為(B)A．x(20＋x)＝64B.(20－)＝64C．x(40＋x)＝64D．(40－)＝647如圖2－3－3利用一面墻墻的長度不限)另三邊用58m長的籬笆圍成一個面積200m

2的矩形場地，求矩形的長和寬．圖2－3－3解：設垂直于墻的一邊長為m.由題意得x(58－2)＝200，解得x，x12∴另－邊為8m或50m.答：矩形的長為25m，寬為8m或矩形的長為50m，寬為4m.8．有一個人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有人患了流感．(1)每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人？(2)按照這樣的速度傳染，第三輪將又有多少人被傳染？

解：(1)設每輪傳染中平均一個人傳染了人，依題意有x＋1＋(＋1)x＝81，解得x＝8，－10(不合題意，舍去)．12答：每輪傳染中平均一個人傳染了8個人；(2)81×8＝648(人)．答：第三輪將又有648人被感染．9.某公司今年1月份的生產(chǎn)成本是萬元，由于改進生產(chǎn)技術，生產(chǎn)成本逐月下降3月份的生產(chǎn)成本是361萬元．假設該公司2，3，4月每個月生產(chǎn)成本的下降率都相同．(1)求每個月生產(chǎn)成本的下降率；(2)請你預測4月份該公司的生產(chǎn)成本．解：(1)設該公司每個月生產(chǎn)成本的下降率為x，根據(jù)題意，得400(1－x)＝361，解得x＝5%，x12∵1.95＞1，∴x＝1.95不合題意，舍去．2答：每個月生產(chǎn)成本的下降率為；(2)361×(1－5%)＝342.95(元)．答：預測4月份該公司的生產(chǎn)成本為萬元．10一商店銷售某種商品均每天可售出20件每件盈利40元了擴大銷售增加利，該店采取了降價措施．在每件盈利不少于25的前提下，經(jīng)過一段時間銷售，發(fā)現(xiàn)銷售單價每降低1元，平均每天可多售出2件．(1)若降價3元，則平均每天銷售數(shù)量為__26__件；(2)當每件商品降價多少元時，該商店每天銷售利潤為200元？解：設當每件商品降價x元時，該商店每天銷售利潤為1200元．由題意得(40－x)(20)200.整理，得x－30＋200＝0.(x－10)(－20)＝0.解得x＝10，＝20.12又∵每件盈利不少于25元，∴x＝20不合題意，舍去．答：當每件商品降價10元時，該商店每天銷售利潤為200元．

1、新年里，一個小組有若干人，若每人給小組的其它成員贈送一張賀年卡，則全組送賀卡共72張，此小組人數(shù)為（C）A、7B、8C、9D、102、生物興趣小組的學生，將自己收集的標本向本組其他成員各贈送一件，全組共互贈了182件，如果全組有x名同學，則根據(jù)題意列出的方程是（B）A、x（x+1）=182B、x（x﹣1）=182C、x（x+1）=182×2D、x（x﹣1）=182×23、某企業(yè)退休職工李師傅年月退休金為1500元，2015年達到2160元．設李師傅的月退休金從2013年到2015年年平均增長率為x，可列方程為（B）A、2160（1﹣x）2=1500B、1500（1+x）2

=2160C、1500（1﹣x）2=2160D、1500+1500（1+x）+1500）2

=21604、劉謙的魔術表演風靡全國，小明也學起了劉謙發(fā)明了一個魔術盒，當任意實數(shù)對a，b）進入其中時會得到一個新的實數(shù)a

2

+b﹣1例如﹣2放入其中就會得到3

2

（﹣2）﹣1=6．現(xiàn)將實數(shù)對（m﹣2m）放入其中，得到實數(shù)2，則m的值是（D）A、3B、﹣1C、﹣3或1D、3或﹣15、某藥品經(jīng)過兩次降價，每瓶零售價由降為元，已知兩次降價的百分率同，設每次降價的百分率為x，根據(jù)題意列方程得（B）A、168（1+x）2

=108B、168（1﹣x）2=108C、168（1﹣2x）=108D、168（1﹣x2

）=1086、如圖所示，在一邊靠墻（墻足夠長）的空地上，修建一個面積為640m

2

的矩形臨時倉庫，倉庫一邊靠墻，另三邊用總長為80m的柵欄圍成，若設柵欄AB的長為，則下列各方程中，符合題意的是（A）A、x（80﹣x）=640B、x（80﹣2x）=640C、x（80﹣2x）=640D、x（80﹣x）=640

7、某機械廠七月份的營業(yè)額為元，已知第三季度的總營業(yè)額共元．如果平均每月增長率為x，則由題意列方程應為（D）A、100（1+x）2

=331B、100+100×2x=331C、100+100×3x=331D、100[1+（1+x）+（1+x2

]=3318、電腦病毒傳播快，如果一臺電腦被感染，經(jīng)過兩輪感染后就會有1臺電腦被感染，若每輪感染中平均一臺電腦會感染x臺電腦，下列方程正確的是（C）A、x（x+1）=81B、1+x+x2

=81C、1+x+x（x+1）=81D、1+（x+1）2

=819、某種商品原售200元，由于產(chǎn)品換代，現(xiàn)連續(xù)兩次降價處理，按72元的售價銷售．已知兩次降價的百分率相同若設降價的百分率為則可列出方程為__200（1﹣x2=72______．10、如圖，某廣場一角的矩形花草區(qū)，其長為40m，寬為