圖像小波變換課件

圖像小波變換《信息隱藏實(shí)驗(yàn)教程》教學(xué)幻燈片六圖像小波變換1小波與小波變換簡述

通俗的講，小波(wavelet)是一種在有限（?。﹨^(qū)域內(nèi)存在的波，是一種其函數(shù)表達(dá)式具有緊支集，即在有限范圍內(nèi)函數(shù)f(x)不等于零的特殊波形。假設(shè)存在一個時域函數(shù)φ(t)，滿足：

（f表示fourier變換）

或

小波與小波變換簡述通俗的講，小波(wav2小波與小波變換簡述則稱φ(t)為一個母小波函數(shù)(MotherWaveletFunction)。一個母小波函數(shù)有如下幾個特點(diǎn)：

1.因?yàn)椋?，故而。也就是說，一個母小波函數(shù)的直流分量(Directcurrentcomponents)為0。換句話說，就是母小波函數(shù)具有正負(fù)交替的特點(diǎn)，其均值為0。

2.一個母小波函數(shù)是一個帶通信號。

小波與小波變換簡述則稱φ(t)為一個母小波函數(shù)(M3小波與小波變換簡述

3.母小波函數(shù)隨t絕對值的變大而最終衰減為0。即其函數(shù)表達(dá)式具有緊支集。下圖是典型的小波母函數(shù)和小波函數(shù)。

小波與小波變換簡述3.母小波函數(shù)隨t絕對值的變大而最終衰4圖像小波變換

二維信號的小波分解就可以寫為：

其中A為低頻分量，D可以看為水平、垂直和對角三個方向上的高頻分量。

圖像小波變換二維信號的小波分解就可以寫為：5圖像小波變換

這里，我們選用的二維圖像信號仍然是lenna.jpg。由于lenna是一個RGB圖像，我們僅對其R層進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。編寫函數(shù)wavelet2D.m來完成實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如下圖所示。

圖像小波變換6圖像小波變換圖像小波變換7圖像小波變換清晰的反映了兩重小波分解后的各個頻率段信號重構(gòu)成的圖像?？梢园l(fā)現(xiàn)，低頻圖像與原始圖像是非常近似的，而高頻部分也可以認(rèn)為是冗余的噪聲部分。所以，圖像載體下的小波分解信息隱藏算法一般的都是將信息隱藏于分解后的低頻部分，從而獲得高的魯棒性。當(dāng)然的，將信息隱藏于高頻系數(shù)中，可以獲得很好的不可見性。不可見性與魯棒性是信息隱藏算法性能好壞的重要判定依據(jù)，二者可以看成是一對矛盾。解決這一矛盾的方法是“折衷”。圖像小波變換清晰的反映了兩重小波分解后的各個頻率8圖像小波變換最后，我們來看一下這些頻率系數(shù)的具體內(nèi)容：lennaR是一個256×256的二維信號，對其做1層小波分解，得到C是一個1×65536的行向量，記錄的是低頻、水平高頻、垂直高頻和對角高頻（）四個部分的頻率系數(shù)。S是一個3×2的矩陣，其第一行表明尺度1下的低頻系數(shù)為128×128長度；第二行表明尺度1下的高頻系數(shù)為128×128長度；第三行表明lennaR是一個256×256的二維信號。lowf和highfH，highfD和highfV分別對應(yīng)分離出來的四個部分的系數(shù)矩陣。

圖像小波變換最后，我們來看一下這些頻率系數(shù)的具體9圖像小波變換圖像小波變換10圖像小波變換圖像小波變換11圖像小波變換對lennaR做2層小波分解，得到C也是一個1×65536的行向量，記錄的是2尺度低頻、2尺度水平高頻、2尺度垂直高頻、2尺度對角高頻、1尺度水平高頻、1尺度垂直高頻和1尺度對角高頻（）七個部分的頻率系數(shù)。下圖中S是一個4×2的矩陣，其第一行表明尺度2下的低頻系數(shù)為64×64長度；第二行表明尺度2下的高頻系數(shù)為64×64長度；第三行表明尺度1下的高頻系數(shù)為128×128長度；圖像小波變換對lennaR做2層小波分解，得到C12圖像小波變換第四行表明lennaR是一個256×256的二維信號。lowf和highfH，highfD和highfV對應(yīng)2尺度下分離出來四個部分的系數(shù)矩陣。

圖像小波變換第四行表明lennaR是一個256×13圖像小波變換比較做1層分解和2層分解頻率系數(shù)圖，可以發(fā)現(xiàn)MATLAB中的二維DWT有如下規(guī)律：1、返回的頻率系數(shù)（C向量中）以如下形式存放C=[A(level)|H(level)|V(level)|D(level)H(level-1)V(level-1)D(level-1)…|H(1)|V(1)|D(1)]

2、返回頻率系數(shù)的同時，返回一個長度記錄矩陣S。S的格式為：

S(1,:)=尺度level下的低頻系數(shù)長度

圖像小波變換比較做1層分解和2層分解頻率系數(shù)圖，14圖像小波變換

S(i,:)=尺度level-i+2下的低頻系數(shù)長度

S(level+2,:)=原始信號的大小

3、原始信號通過兩個共軛濾波器后，得到高、低頻兩路信號。假設(shè)原始信號抽取256個點(diǎn)參與計算，那么將得到512個頻率數(shù)據(jù)，如此下去冗余太大。所以，在濾波之后還要進(jìn)一步抽樣以減少冗余。通行的方法是隔一數(shù)丟棄一個數(shù)，從而保證濾波后的兩路信號與原始信號數(shù)據(jù)長度一致。這三個結(jié)論，對小波信息隱藏實(shí)驗(yàn)有很大幫助。

圖像小波變換S(i,:)=尺度level15

圖像小波變換《信息隱藏實(shí)驗(yàn)教程》教學(xué)幻燈片六圖像小波變換16小波與小波變換簡述

通俗的講，小波(wavelet)是一種在有限（?。﹨^(qū)域內(nèi)存在的波，是一種其函數(shù)表達(dá)式具有緊支集，即在有限范圍內(nèi)函數(shù)f(x)不等于零的特殊波形。假設(shè)存在一個時域函數(shù)φ(t)，滿足：

（f表示fourier變換）

或

小波與小波變換簡述通俗的講，小波(wav17小波與小波變換簡述則稱φ(t)為一個母小波函數(shù)(MotherWaveletFunction)。一個母小波函數(shù)有如下幾個特點(diǎn)：

1.因?yàn)?，而，故而。也就是說，一個母小波函數(shù)的直流分量(Directcurrentcomponents)為0。換句話說，就是母小波函數(shù)具有正負(fù)交替的特點(diǎn)，其均值為0。

2.一個母小波函數(shù)是一個帶通信號。

小波與小波變換簡述則稱φ(t)為一個母小波函數(shù)(M18小波與小波變換簡述

3.母小波函數(shù)隨t絕對值的變大而最終衰減為0。即其函數(shù)表達(dá)式具有緊支集。下圖是典型的小波母函數(shù)和小波函數(shù)。

小波與小波變換簡述3.母小波函數(shù)隨t絕對值的變大而最終衰19圖像小波變換

二維信號的小波分解就可以寫為：

其中A為低頻分量，D可以看為水平、垂直和對角三個方向上的高頻分量。

圖像小波變換二維信號的小波分解就可以寫為：20圖像小波變換

這里，我們選用的二維圖像信號仍然是lenna.jpg。由于lenna是一個RGB圖像，我們僅對其R層進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。編寫函數(shù)wavelet2D.m來完成實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如下圖所示。

圖像小波變換21圖像小波變換圖像小波變換22圖像小波變換清晰的反映了兩重小波分解后的各個頻率段信號重構(gòu)成的圖像?？梢园l(fā)現(xiàn)，低頻圖像與原始圖像是非常近似的，而高頻部分也可以認(rèn)為是冗余的噪聲部分。所以，圖像載體下的小波分解信息隱藏算法一般的都是將信息隱藏于分解后的低頻部分，從而獲得高的魯棒性。當(dāng)然的，將信息隱藏于高頻系數(shù)中，可以獲得很好的不可見性。不可見性與魯棒性是信息隱藏算法性能好壞的重要判定依據(jù)，二者可以看成是一對矛盾。解決這一矛盾的方法是“折衷”。圖像小波變換清晰的反映了兩重小波分解后的各個頻率23圖像小波變換最后，我們來看一下這些頻率系數(shù)的具體內(nèi)容：lennaR是一個256×256的二維信號，對其做1層小波分解，得到C是一個1×65536的行向量，記錄的是低頻、水平高頻、垂直高頻和對角高頻（）四個部分的頻率系數(shù)。S是一個3×2的矩陣，其第一行表明尺度1下的低頻系數(shù)為128×128長度；第二行表明尺度1下的高頻系數(shù)為128×128長度；第三行表明lennaR是一個256×256的二維信號。lowf和highfH，highfD和highfV分別對應(yīng)分離出來的四個部分的系數(shù)矩陣。

圖像小波變換最后，我們來看一下這些頻率系數(shù)的具體24圖像小波變換圖像小波變換25圖像小波變換圖像小波變換26圖像小波變換對lennaR做2層小波分解，得到C也是一個1×65536的行向量，記錄的是2尺度低頻、2尺度水平高頻、2尺度垂直高頻、2尺度對角高頻、1尺度水平高頻、1尺度垂直高頻和1尺度對角高頻（）七個部分的頻率系數(shù)。下圖中S是一個4×2的矩陣，其第一行表明尺度2下的低頻系數(shù)為64×64長度；第二行表明尺度2下的高頻系數(shù)為64×64長度；第三行表明尺度1下的高頻系數(shù)為128×128長度；圖像小波變換對lennaR做2層小波分解，得到C27圖像小波變換第四行表明lennaR是一個256×256的二維信號。lowf和highfH，highfD和highfV對應(yīng)2尺度下分離出來四個部分的系數(shù)矩陣。

圖像小波變換第四行表明lennaR是一個256×28圖像小波變換比較做1層分解和2層分解頻率系數(shù)圖，可以發(fā)現(xiàn)MATLAB中的二維DWT有如下規(guī)律：1、返回的頻率系數(shù)（C向量中）以如下形式存放C=[A(level)|H(level)|V(level)|D(level)H(level-1)V(level-1)D(level-1)…|H(1)|V(1)|D(1)]

2、返回頻率系數(shù)的同時，返回一個長度記錄矩陣S。S的格式為：

S(1,:)=尺度level下的低頻系數(shù)長度

圖像小波變換比較做1層分解和2層分解頻率系數(shù)圖，29圖像小波變換