2021屆湖南省長郡十五校高三下學期第二次聯(lián)考數(shù)學試卷解析

絕密★用前2021屆湖省長郡五校高下學期二次聯(lián)數(shù)學試注意事：1、答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息2請將答案正確填寫在答題卡上一、單選題1．已知全集

UBNx，

U

BA．

B．

C．

D．

答案：求出全集

，結合

U

合B解：

UA0,1,2,3,4,5,6,7,8

A

U因此，

故選：2．已知復數(shù)滿足：

2

74

i

（i

為虛數(shù)單位在平面內對應的點位于第三象限，則復數(shù)

的虛部為（）A．

i

B．3C．

D．

32

i答案：設

(,)

，求得

2

2

2

，據(jù)復數(shù)相等列出程組，求得復數(shù)

32

i

，即可求解解：設

(,)

，則

7i4

，可得

a2ab

74

，因為，，得

32

，所以

33i，i22

.故選：3．設aR

，則“

a

”是“

”的（）A．充分不必要條件C．充要條件

B．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件

2x答案：2x先解不等式a

得

，再根據(jù)基本關系判定即可得答.解：解：解不等式a

得

，因為

，所以“”“a2”的必要不充分條件故選：結論點睛：本題考查充分不必要條件的判斷，一般可根據(jù)如下規(guī)則判斷：（1）若p是必要不充分條件，則對集合是對應集合的真子集；（2）p的充分不必要條件，則對集合是q對集合的真子集；（3）p的充分必要條件，則p應集合與q對應合相等；（4）p的既不充分又不必要條件，q對集合與p對集合互不包含．4．十二生肖作為中國民俗文化的代表，是中國傳統(tǒng)文化的精髓，很多人把生肖作為春節(jié)的吉祥物來達對新年的祝.某課外興趣小組制作了一個正十二面體模圖在二個面分別雕刻了十二生肖的圖案，作為春節(jié)的吉祥物.2021年節(jié)前，其中2個趣小組成員將模型隨拋出望能拋出牛的圖案朝（即牛的圖案在最上面人各拋一次，則恰好出現(xiàn)次牛的圖案朝上的概率為（）A．

B．

C．

1172

D．

23答案：由已知得人拋次拋出牛的圖案朝上的概率是解：因為人拋次拋出牛的圖案朝上的概率是

，由此可求得選.，所以2人拋一次，則恰好出現(xiàn)次牛的圖案朝上的概率為

P12

111121272

，故選：5．已知

xcosx

8，則5

（）A．

B．

C．

725

D．

答案：

∴∴先由輔助角公式求出

πx5

,再用二倍角公式求

in2

.解：∵

sinx

，x

5

，∴

sin2x

cos22x36

.故選：利用三角公式求三角函數(shù)值的關鍵：(1)角的范圍的判斷；(2)根據(jù)條件選擇合適的公式進行化簡計算．.6．函數(shù)()

ln(2cosx

的圖象大致()A．B．C．D．答案：分析函數(shù)f(x)定域，排除兩個選項，再取特殊值得解：∵令g(x)=

，x>0時x是遞增的，cosx(0,上減，則有在0,上調遞增而

g(0)

，所以存在

x使g(x)00

，f()

中

x,0

，排除C、D，∵x

時

f(

，排除，以選A.故選：給定解析式，識別圖象，可以從分析函數(shù)定義域、函數(shù)奇偶性、在特定區(qū)間上單調性及

特殊值等方面入.7．消除貧困、改善民生、逐步實現(xiàn)共同富裕，是社會主義的本質要求，是中國共產黨的重要使命，中共中央、國務院于201511月29日布了《中共中央國務院關于打贏脫貧攻堅戰(zhàn)的決定.某中學積極參與脫貧攻堅戰(zhàn)，決定派6名教到A、B、

、、E五貧困山支教，每位教師去一個地方，每個地方至少安排一名教師前去支教學考慮到教師甲的家鄉(xiāng)在山區(qū)A，定派教師甲到山區(qū)A，時考慮到教師乙與丙為同一學科，決定將教師乙與丙安排到不同山區(qū)，則不同安排方法共有（）A．120種

B．216種C．336種D．360種答案：分山區(qū)A有1人人分別討論求解即.解：根據(jù)條件A、、、D、五個困山區(qū)有1個地區(qū)有人其他個地區(qū)各1人若派到山區(qū)A有2人則同派法有

5

種；若派到山區(qū)A有1人則能為甲，則將剩余的5人成4組其中乙、丙不能在同一組，則有

C2

種不同的分組方法.所以不同派法有

種，故不同安排方法一共216故選：

種，8．當

時，不等式

ex

ax

恒成立，則實數(shù)a取值范圍為（）A．a

3

B．

a

C．

De

2

2答案：先根據(jù)

時

f(

判斷出a根

h)

ex

ax

在

處取最大值可求a的.解：令

f(x)

e

，∵

時

f(

，∴a合條件令

h)

e

，故

恒成立，又

，∴

h

要在

處取最大值，故

為

h

在R

上的極大值點，故

h

，又

ex

，故2

∴

a

，

故選：關鍵點點睛：對于不等式的恒成立問題，注意觀察其等號成立的條件，從而把恒成立問題轉化為函數(shù)的最值問題.二、多選題9．為進兒童全面發(fā)展和健康成長，我國于2011年頒布實施《中國兒童發(fā)展綱要（2011-2020年兒文化產和活動場所更加豐富近來，兒童接觸文化藝術和娛樂體驗的途徑更加多元，可獲得的文化產品和服務也更加豐.如圖為2011-2019年少兒廣播節(jié)目、少兒電視節(jié)目、電視動畫節(jié)目播出時則下列結論中正確的是（）A年國少兒電視節(jié)目播出時間比上一年增長6.4%B．2011-2019年兒廣播節(jié)目少兒電視節(jié)目、電視動畫節(jié)目播出時間中電視動畫節(jié)目播出時間的方差最小C年兒廣播節(jié)目出時間的平均數(shù)約為21小時D年兒廣播節(jié)目少兒電視節(jié)目、電視動畫節(jié)目播出時間均逐年增長答案：通過折線圖的分析，對四個選項一一驗.解：2018年國少兒電視節(jié)目出時間比上一年增長

57.357.1

100%

0.35%，故A錯；由圖知電視動畫節(jié)目播出時間的方差最小B正；少

兒

廣

播

節(jié)

目

播

出

時

間

的

平

均

數(shù)13.614.921.621.822.52526.626.62014年2015年少兒電視節(jié)目出時間降低D錯.故選：

21萬時C正確；10．拋物線

C

px(0)

的焦點作斜率1的線交拋物線于A，兩

x2x2點，則

|AF|BF

（）A．32

B．5

C．

D．32答案：設直線并設交點A，，入消元后求出縱坐標，縱標絕對值的比即為對應線段的比解：直線

:x

，聯(lián)立

y2

得

y2py0

，解得y2)p，y2)p

，∴

|AF2|22，或2|BF|22

，故選:AD.11．知函數(shù)

fx

2

，

，則（）A．

fx)

與

)

的圖象關于原點對稱B．將

f(x)

的圖象向左平移

個單位長度，得到)的象C．g()在，2

上的最大值為

D．

fx)

的對稱軸為

x

，

k答案：根據(jù)函數(shù)圖像的對稱性、三角函數(shù)圖像性質及變換法則逐一檢.解：∵

y)sinx

2

2

cosg(6

，A正確；∵

f)x

cosx

cos

5

，向左平移個位長度，得到

2ycos26

cos2x()

，B正；x

12

時

g(

，故C錯誤；由

2x

2(kZ)得f()32

5的對稱軸為xk

k，D錯誤；

故選:AB.12．角四面體是一種半正八面，可由四面體經過適當?shù)慕亟?，即截去四面體的四個頂點所產生的多面體如所示棱為3正四面體沿棱的三等分點作平行于底面的截面得到所有棱長均為

的截角四面體，則下列說法正確的是（）A．該截角四面體的表面積為73a

B．該截角四面體的體積為

3C．該截角四面體的外接球表面積為

112

a

D．該截角四面體中，二面角ABC

的余弦值為

13答案：根據(jù)截角四面體的定義為四面體利用正四面體的相關性質逐項求解判斷；解：如圖所示：由正四面體

中，題中截角四面體由4個長為a的三角形，4個邊長為a的正六邊形構成故S

2a

2

7

2

，A正；∵

棱

長

為

的

正

四

面

體

的

高

h

63

a

，

∴V

36162)a)a33

3

，B正；設外接球的球心為O，ABC的心為O'eq\o\ac(△,，)中心為四面體上下底面距離為

6a，∴3

R22

，∴

2

2

，∴

2

2R3

2

2

，∴

86a22aR23

，∴

2

11a8

2

，∴

2

112

2

，C正確；易知二面角

A

為銳角，所以二面角ABC

的余弦值為負值D錯，故選：關鍵點點睛：本題關鍵是將幾何體還原為正四面體，結合正四面體的相關性質而得.三、填空題13．知答案：

，b(1,，(ab，與的角________.先求出b

及cos

，即可求出a與的角解：∵2，∵ab)

，∴

，∴

abab

24

，∵

夾為

.故答案為：

.14若線

f(x)x

在點P的切線與直線

平行則P的標為________.答案：

(1,1)利用切線與直線l平可得切線斜率，利用導數(shù)的幾何意義構造方程可求得切點坐標，驗證是否與

l

平行后即可得到結果解：設

x

，

f0

，

2在點P處的切線平行于直線l：2

，即

x2

，解得：x

，當x

時，

，則切線方程為

，x

，與

l

重合，不合題意；當

x0

時，

，則切線方程為

y

，即

x+

，與

l

平行；綜上所述：

.故答案為：

.易錯點點睛：本題容易忽視對所得直線是否與給定直線重合進行檢驗，從而導致增解．15．雙曲線C:

a的點F作以焦點為心的圓的切線，其中2b2一個切點為M

eq\o\ac(△,，)F1

的面積為c

2

其中c為半焦距段MF恰好被雙曲線1

的一條漸近線平分，則雙曲線答案：2

的離心率為_______.由圖像可得

ON1

，由焦點到漸近線的距離等于b可得

F

，進而圖像中線段的長度據(jù)

△FM的面積為c2列等量關系式后解方程求出離心率即可.1解：由題意，可得圖像如圖：∵

，ON2

，∴

F

，∴

|

，∴

，MFb

，∴

MF

1ab2

2

，∴

a2

，∴e

4

2

，∴，故答案為：2.

.

122220,2雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質，求雙曲線的離心率(或心率的取值范圍，見有兩種方法：122220,2①求出，c，代入公式

c

；②只需要根據(jù)一個條件得到關于a的次式結合b＝c－a

轉化為a的次式，然后等(不等式兩分別除以a或a

轉化為關于e的程不等式，方不等式)即可得的值范圍．16．知在中，角A，，所的邊分別為，b，c，點為其外接圓的圓心已，當角C取到最大值時的內切圓半徑為________.答案：取

的中點D則

12

()BA)

可得由余弦定理和基本不等式可得答.解：設

中點為D，則

OD

，所

以BOBD)())BCBA2，∴

1a2c2

2

，∴a，由c得C銳角，故

2

26ab14bb7

，當且僅當

b

24b

，6時

cosC

最小，又

y

在

遞減，故此時

最大此時，恰有2，即ABC為角三角形，∴r

6

.故答案為：6.

易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：（1）“一正二定三相等”“一”就是各項必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最值，必須把構成和的二項之積轉化成定值；要求積的最大值，則必須把構成積的因式的和轉化成定值；（3）“三相等”是利用基本不式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地.四、解答題17．已函數(shù)

f(x)M0,

0,

的部分圖象如圖所示（1）求

fx)

的解析式；（2）在

中，角A，B，

C

的對邊分別為，b，，b

ac求

f(B)

的取值范圍答案）

f(x2sin2

）

3

.（1）由圖得出最大值和周期此出M,代最高點坐標求出由此求出解析式（2）由基本不等式求出

的取值范圍，從而求出角值范圍，再合三角函數(shù)性質求解

f(B)

范圍即可解）由圖知M，T11

，∴

2T

.

B0,3B0,3

k

Z

，又

2

2

，∴∴

，f(x2sin2

.a222（2）∵，且僅當取“”，2ac2∵

(0,

)

，∴

，∴

，∴

f()2sin23

.求三角函數(shù)的解析式時由

T

即可求出；定若能求出離原點最近的右側圖象上升或降的零點”坐標x，令

或0

)，即可求出，則需要代入點的坐標，利用一些已知點的坐標代入解析式合數(shù)的性質解出和若對的號或對圍有要求，則可用誘導公式變換使其符合要求18．知

n

列其前n項為S，若a3

，

，57

成等比數(shù)列且

，

2

.（1）求數(shù)列

n

式（2）設

n

n

n

，數(shù)列

和為T，

Tmn

恒成立，求實數(shù)的值范圍答案）

ann

）

m

712

.（1）由條件可得遞推關系

(nann

，由累乘法可得

a1

，再根據(jù)條件結合

nan11nnna等比中項，可得答案nan11nnna（2）由（1）可得

bn

14

11nn

14n

，由裂項相消和等比數(shù)列的前項公式可求和，從而得出答案解）∵

2，2n

，

∴

2nann

，即

(an

，

a即，n

所以

aaannaan

an2ann1

2na1

當n

時，也成立所

ana∵

，即

(5a

(3a2)(7化簡得：

a

a，得∴a或1當

時21

，其公式

滿足條.當

a時a1n

，其公式

不滿足條件所以

ann

.（2）∵

bn

1an

n

114(4

，1111∴T434n111.nnTm恒成立，∵*，n

11

1414

∴

m

712

.關鍵點睛題考查求數(shù)列的同學公式和利用裂項相消法和等比數(shù)列的前n項公式可a求和，解答本題的關鍵是由，利用累乘法求通項公式，以及由n

nn111bnn4n

由裂項相消和等比數(shù)列的前項公式可求和于中檔題19．圖，在四棱錐中，底面ABCD是行邊形，側面PBC是邊三角形，的中點

2AB，BCD45

面ABCD，、分為BCCD（1）證明：面面PAB；所成銳二面角的余弦.（2）求面PEF與6答案）明見解析）.4（1）要證明面面垂直，需證明面垂直，根據(jù)垂直關系轉化為證明

平面PEF，（2）以E為標原點，、EC、分為x、、z軸建立直角坐標系，分別求平面PEF和平面PAD

的法向量，再根據(jù)法向量求二面角的余弦.解）設AB，則

AD2

，∴，

，∴

EF

，∴

EF

CE

，∴EFCF.在等邊三角形

PBC

中，E為

的中點，∴

BC

，∵面

PBC

面

ABCD

，PE面

PBC

，面

PBC

面ABCDBC，∴PE.∵

面

ABCD

，∴.∵

EF

，

EFE

，

∴

面PEF∵//，ABPEF，∵

面PAB，面PAB.（2）由（）BD，DE、軸建立直角坐標系，

，以

為坐標原點，ED、EC、分為、則(0,0,，D(，(0,2,0)，A(2,2,0).2,0)，DP2,0,6)

，

F

2,0設面PAD

的法向量為

,,z)

，，取，x3，，3,0,1).6面的向量為CD(2,2,0)

，∴cosCD

6，∴面PEF面

6所成銳二面角的余弦值為.4方法點睛：求二面角的方法通常有兩個思路：一是利用空間向量，建立坐標系，求得對應平面的法向量之間夾角的余弦值，再判斷銳二面角或鈍二面角確定結果種方法優(yōu)點是思路清晰法明確但是計算量較大；二是傳統(tǒng)方法，利用垂直關系和二面角的定義，找到二面角對應的平面角，再求出二面角平面角的大小，這種解法的關鍵是找到平面.20．據(jù)黨的十九大規(guī)劃的“扶同扶志、扶智相結合”精準扶貧、精準脫貧路徑，中國兒童少年基金會為了豐富留守兒童的課余文化生活養(yǎng)好的閱讀習慣農村留

守兒童聚居地區(qū)捐建“小候鳥愛心圖書角”寒假某村組織開展“小候鳥愛心圖書角讀書活動”，號召全村少年兒童積極讀書，養(yǎng)成良好的閱讀習.根統(tǒng)計全村少年兒童中，平均每天閱讀1小時下約占19.7%、1-2小時占30.3%、3-4小時占27.5%、5小時上約占22.5%.（1將平均每天閱讀5小以認為是“特別喜歡”閱讀活動現(xiàn)場隨機抽取30名少年兒童進行閱讀情況調查，調查發(fā)現(xiàn)：少年兒童“特別喜歡”閱讀少年兒童“非特別喜歡”閱讀總計

父或母喜歡閱讀7512

父母均不喜歡閱讀11718

總計82230請根據(jù)所給數(shù)據(jù)判斷否在犯錯誤的概率不超過0.005的件下認為“特別喜歡”閱讀與父或母喜歡閱讀有關？（2）活動規(guī)定，每天平均閱讀長達3個時的少年兒童，給予兩次抽獎機會，否則只有一次抽獎機會，各次抽獎相互獨中獎情況如下表抽中獎品中獎概率

價值100元的書購書券13

價值50元的書購書券從全村少年兒童中隨機選擇一名少年兒童來抽獎，設該少年兒童共獲得元圖書購書券，求的分布列和期.K2

n()2()(b)(a)()

2

0

0.50

0.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001

0.455

0.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828答案））布列見解析100.（1）根據(jù)列聯(lián)表計算卡方，根卡方的取值進行判斷即可；（2）根據(jù)相互獨立事件同時發(fā)計算概率，列出分布列并計算數(shù)學期.解

K2

(ad)3010.267.879()()(a)()

，故能在犯錯誤的概率不超過0.005的條下認為“特別喜歡”閱讀與父或母喜歡閱讀

有關.（2）根據(jù)題意：取50，100，200

50)

123

；

1122223318

；P(

112150)239

；111P(23則分布列如下：

，

50100150

200

13

的期望為

12)5020010031818

.獨立性檢驗得出的結論是帶有概率性質的能說結論成立的概率有多大而不能完全肯定一個結論，因此才出現(xiàn)了臨界值表，在分析問題時一定要注意這點，不可對某個問題下確定性結論，否則就可能對統(tǒng)計計算的結果作出錯誤的解釋．y221．知橢圓ab

的左、右焦點分別為

F，F(xiàn)12

1，離心率為，2過F的線與橢圓2

交于A，兩，F(xiàn)AB的長為8.（1）求橢圓

的標準方程；（2）設P為圓

上的動點，過原點作直線與橢圓

分別交于點M、

（點P不直線MN上PMN面積的最大.答案）

24

）3.（1）根據(jù)周長可求a，再根據(jù)離心率可求c，求出

后可求橢圓的方程.（2）當直線

x

軸時，計算可得

PMN

的面積的最大值為2，線

MN

不垂

直x軸，可設

MNy

，聯(lián)立直線方程和橢圓方程可求，設與平且與橢圓

相切的直線為：

，結合橢圓方程可求

的關系，從而求出該直線到直線MN的離，從而可求PMN

的面積的最大值為3.解）由橢圓的定義可知，F(xiàn)AB的周長為，∴4a

，

a

，又離心率為

，∴

，b

，2所以橢圓方程為.4（2）當直線MN軸，

33

；當直線

MN

不垂直x軸，

MNykx

，24

123k

，y

2k

，∴4.設與MN平且與橢圓相的直線為：

，y24

，∵

k

2m2

2

2

，∴2k，∴距

MN

的最大距離為

d

max

|m1

2

3k1

2

，∴

PMN

32MN33，3k綜上，PMN面積的最大值為2方法點睛：求橢圓的標準方程，關鍵是基本量的確定，而面積的最值的計