講義說明講稿

第三節(jié)隨量的函數(shù)及其分布一、問題的提(單個隨量的函數(shù)的分布πd求截面面積A 的分布4一、問二、離散型隨量的函數(shù)的分三、連續(xù)型隨量的函數(shù)的分 t設(shè)隨量X的分布已知，Y=g(X)(設(shè)g是連續(xù)函數(shù)），XY的分二、離散型隨量的函數(shù)的分設(shè)g(x)是定義在隨量X的一切可能值x 量X的分布求得例1X 101111444YX2的分布律解Y的可能值為(1)2,02,12,即0,1,量Yg(X)的分布

P{Y0}P{X20}P{X0}14f(Xgf(Xg())Lg()LLLP{Y1}P{X21}P{(X1)U(XP{X1}P{X1}1114 P{Y4}P{X24}P{X2}14 01 11 42 量，其函數(shù)Y 則YgX)的分布律為Ygxk中有值相同的應(yīng)將相應(yīng)的g(X合并例解三、連續(xù)型隨量的函數(shù)的分設(shè)X是連續(xù)型隨量,Yg(X1.先求:F( 再求 fY(y)FY(例3設(shè)隨量X的概率密度解1o先求Y=2X+8FYy).FYyP{YyP{2X8y}P{Xy y} 2fX(x)d 2o由分布函數(shù)求概率密度f(y)F(y)[y8f(x)d2X f(y8)(y8) y8 )f(x)x/8,0x X 其它 變限的定如果F(x)(x)f求隨量Y2X8的概率密

導(dǎo)公

(xF(x)f[(x)](x)f[(x)](,y8 ,

0x 2.fY(y)fX

2)

fX(x),

定 設(shè)隨量X的具有概率密度f

(1

y8

其中x又設(shè)函gx處處可導(dǎo),且恒有0y8 g(x)0(或恒有g(shù)(x)0),則稱Y 是連續(xù) 量,其概率密度

8y16,

f(y)fX[h(y)]h(y)Y Y

αy其他 其它 其中αmin(g(),g()),βmax(g(),hygx的反函數(shù) 若g'(x) FY(y)P{Y則yg(x)單調(diào)增加，且其反函 P{Y}P{Yxh(y)在(,)上單調(diào)增加 0P{Yy時，F(xiàn)YyP{Yyy時，F(xiàn)YyP{Yyf(y)dFY(y)

于是

(y)P{YP{Xh(h(y

(y d

fX(x)d當(dāng)y時，F(xiàn)YyP{Y例4設(shè)隨量X具有概率密度fX( x

h(y

f(x)d (y (1)求隨量YX2的概率密度f(當(dāng)y時 (2)設(shè)X的概率密度x1,1xf(y)dFY( d fX(x) f f1(ydy fX(x)dfX[h(y)][h(gx0YX2的概率密度(1)分別記X和YFXx)FYy Y例 設(shè)X~U(0,1),求YeX的密度函數(shù) f(y)Y

fX[h(y)][h(第1求第1求Y的分布函數(shù)FYy)FYyP{Yy}PX2y}yP{yXy},y f yy y y第2Ｙ的概率密度fY(yf(y)(y)f(y)(y yfY(y)FY(y) y(2)代入Ｘ的概率密度的具體表達(dá)y y f(y)2,0y1,f(y) ,1y 其他 其他 1y yf(y) ,0y 2y 1[f(y)f(y y2 y例5設(shè) 量X~N(,2),試證明X的線性函YaXb(a0)也服從正態(tài)分布.X2y,0y 其他由公 fY(y)fX[h(y)][h( YaXb的概率密度 y yf(y) f(a a (xf(x) e2σ,x ygxax得xh(y)yb 知[h(y)]1 a(yb a YaX a ~N(aμb,(aσ)2[ 2(aσ ,yaσ

0y其他解QX~U X 密度函數(shù)1[h(

0h(y)其他 f(x)1,x

x 1y

0lny方法1公式法

其他Qyex在(,)上可導(dǎo)，單調(diào)增 y

1yxh(y)ln [h(y)]y

其他方法2分布函數(shù)法F(y)P{Yy}P{eXY yP{Xln y yln y lnyy0lnyfXx)dxlnyf(x)dx,0lny lnyln fX(x)dx,0lny10fX(x)dx lny lnylny1dx,0lny101dx lny ylny,1yfX(x)dx,lny y 0yFY(y)lny,1y yedF( ye例7設(shè)隨量X分布函數(shù)F(x)是嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)函數(shù)，試證明：YFX)在[0,1]上服從均勻分布證QFx)0Fx1且Fx)單調(diào)不從而f(y) d1,1y0,其他FY(y)P{Yy}P{F(X) yP{F(X) 0y y依題意，又知F(x)嚴(yán)格單調(diào)增加故yFY(y)P{Yy}P{F(X) fY(y)[FY(y1,0y 其他 P{XF1( y0yy

即YFX)服從0，1 y y F[F1(y)],0y1,y,0y y y內(nèi)容小1.離散型隨量的函數(shù)的分如果X是離散型隨量,其函數(shù)Yg(X也是離散型隨量.若X的分布律 則YgX)的分布律Yf(X g(x1)g(x2) g(xk) 方法1FYyP{YyPgXf(x)yfX( (x再對FY(y)求導(dǎo)得到Y(jié)的密度函數(shù)方法 f[h(y)][h(y)],yfY(y) 其它gxk中有值應(yīng)將相應(yīng)的pk合并思考設(shè)g(x) ，若X是離散型隨量則Yg(X)也是離散型隨量嗎？若X是連續(xù) 列無限多個，因此Y是離散型隨量，若X連續(xù)型隨量，那么Y不一定是連續(xù)型隨量由于Y的取值為[0,1],所y0時FYyP{Yy注意條件例如設(shè)X在(0,2) 0x2, 0,其x,0xygx1,1x則YgXFYy yY的分布函數(shù)為FY(Y2,0y1,yy1時FYyP{Yy0y1時,FYyP{YyPgX

因為FYy)在y1YgX)

y 量，又因為FY(y)不是階梯函數(shù)，故YgXf(x)dx dx X 也不是離散型隨量練習(xí)例2- 測量一類練習(xí)例2- 測量一類圓形物體的半徑X為 量其 101112 0.10.40.3Y12πX和Y2πX2都是X的函數(shù)，Y1和Y2各自 20π22π24π Y2 100π121π144π 解X~N(100,52Y是X的函數(shù),可取值10,3,5.P{Y5}P{115X}15Φ(115100)55Φ(3)Φ(0)P{Y10}P{X100}5(0)Y3Pk0.0013 1Φ(3)例4‐1(講X~N(0,1求下列函數(shù)的密度函數(shù)(1)YX2 (2)YX分析yx2在(,)P{Y3}P{100Xf(x)2 1 x πe試求隨量Yg(X)的概率密度，其 當(dāng)x 當(dāng)x

yx在x0處不可導(dǎo)， 因為f(x)為偶函數(shù),所 故不能直接用定理P(X0)P(X0) 解(1)FY(y)P{Yy}P{X2P(Y1)P(X0)P(X0)P(Y1)所以Y的分布列為

P{X

yy y yX y y(y)(y),y y2(y)1,y yFYy2(y1,yf(y)dFY( y d [2(y) y y2(y) y 2 y1(y y y (y11 2 y 2 y e2 y(2)FY(y)P{Y yP{Xy}P{yX y y ydF(2π y 即f(y) e2 y2π 例4‐2設(shè)隨量X的概率密度f(y) y d 2( y y y0, 2(y),y0. 22 y yf(x)dxyf(x)d x fX(x) x x3ex,xfXxx3ex2 x 求 量YX2和Y2X3的概率密度 fY(y)FY(y)fX(y)(y)f(y)(yX解先求 量YX2分布函數(shù) 1(y)3e(y)20YF(y)P{Yy}P{X2y}(當(dāng)y0時 2 2YP{yXFX(y)FX(

y))y2x3x 2yfY(