帶摩擦的平衡問題

3.5

考慮有摩擦時

物體的平衡問題

ProblemsInvolvingFriction考慮摩擦時的平衡問題工程中的摩擦問題考慮摩擦時的平衡問題工程中的摩擦問題考慮摩擦時的平衡問題工程中的摩擦問題考慮摩擦時的平衡問題工程中的摩擦問題考慮摩擦時的平衡問題工程中的摩擦問題考慮摩擦時的平衡問題工程中的摩擦問題聯軸器考慮摩擦時的平衡問題摩擦的微觀機理考慮摩擦時的平衡問題摩擦的微觀機理考慮摩擦時的平衡問題FPWFFNFFPO45°FmaxFd運動狀態(tài)靜止狀態(tài)臨界狀態(tài)庫侖定律Coulomb’sTheory靜止狀態(tài)Staticcase臨界狀態(tài)Caseofimpendingsliding—F＝Fmax=fsFN運動狀態(tài)Dynamiccase—F＝Fd；—F＝FP≤Fmax；§3-4考慮摩擦的平衡問題一、摩擦及其分類摩擦力當兩個物體沿接觸面公切線方向有相對運動或相對運動趨勢時，在接觸面間產生阻礙運動的力（阻力）。產生摩擦的原因①接觸面間的凹凸不平；②接觸面間的分子吸引力。摩擦產生的機理屬固體物理研究內容，理力中僅研究摩擦的力學效應。研究摩擦的目的①克服（或減少）摩擦；②利用摩擦。方法：提高零件表面光潔度、加潤滑油等。如：皮帶傳動、摩擦制動裝置等。摩擦的分類①按兩物體的相對運動形式分，有②按兩物體間有無相對運動分，有①滑動摩擦；②滾動摩擦。①靜摩擦；②動摩擦。本書主要討論靜滑動摩擦，重點為：具有摩擦的平衡問題。粗糙面二、靜摩擦力及其性質滑動摩擦現象PFNPFNFTF(1)當FT=0，則F=0。（平衡）(2)當0<FT<FT1（FT1為某臨界值）時，物體處于靜止狀態(tài)。FTF由平衡條件得：(3)當FT>FT1時，物體處于運動狀態(tài)（不平衡）。靜摩擦力：物體僅有相對滑動趨勢時，在接觸面間產生的摩擦力。靜摩擦力的性質F存在一個最大值Fmax。（1）靜摩擦力的大小具有一定范圍，即：——此時F由平衡條件決定（同約束反力）。（2）靜摩擦力的方向：與相對運動趨勢方向相反（沿接觸處的公切線）。（3）Fmax由庫侖靜摩擦定律確定：（3—17）Fmax——稱為最大靜摩擦力；fs——靜摩擦因素（無量綱系數）；FN——為法向壓力。

fs的物理意義：表示單位正壓力所能產生的摩擦力。fs

僅與接觸面的材料性質、表面狀況、濕度、溫度等有關。fs值需由實驗測定。靜摩擦因素現場測量方法之一思考題：兩面具有摩擦，F=12.5N問：當

F=30N時，物塊與夾板間的摩擦力多大？答案：10NMFF?NFF?答案：Fmin=25N三、摩擦角與自鎖現象摩擦角(AngleofFriction)全反力FR：摩擦力與法向壓力的合力?！硎救戳R與法向反力FN的夾角。隨摩擦力F的增加而增加。當F=Fmax時，全反力FR與接觸面法線方向的最大夾角——稱為摩擦角，用符號表示。即：摩擦角的正切等于靜摩擦因素。主動合力的作用線自鎖現象由于全反力FR只能在摩擦角范圍內變化，所以只要主動力合力的作用線在摩擦角范內，不管主動力大小如何，都能平衡，這種現象叫自鎖(Self-lock)

。fAFRAFR自鎖條件：≤f如：（1）斜面自鎖條件自鎖現象由于全反力FR只能在摩擦角范圍內變化，所以只要主動力合力的作用線在摩擦角范內，不管主動力大小如何，都能平衡，這種現象叫自鎖。又如：（2）斜面自鎖條件的應用自鎖現象由于全反力FR只能在摩擦角范圍內變化，所以只要主動力合力的作用線在摩擦角范內，不管主動大小如何，都能平衡，這種現象叫自鎖。四、動滑動摩擦力當兩接觸面有相對滑動時，接觸面間摩擦力——稱為動滑動摩擦力。（3—18）f——動摩擦因素，由實驗測定?！獛靵鰟幽Σ炼梢话阌校篺s<f。滑動摩擦力變化曲線注：動滑動摩擦力是一個值，而不是一個變化范圍。五、具有摩擦的平衡問題特點及其求解特點：（1）受力分析時，需分析摩擦力F（方向）。F方向與相對運動趨勢方向相反

（2）臨界平衡時，除滿足平衡條件外，還需滿足摩擦的物理條件：（3）解答是以不等式表示的平衡范圍，而不是一個值。（通常先求臨界狀態(tài)時的兩個極限值，所求范圍即為兩個極限值之間。）1例：解：重量為P的物塊放在固定斜面上，斜面的傾角為α。已知：物塊與斜面間的摩擦因素為

fs(摩擦角為)，且。為使物體在斜面上保持靜止，在其上作用一水平力F，如圖所示。試求力F

的大小。分析：當F較小時，物塊將有向下的滑動趨勢。當F較大時，物塊將有向上的滑動趨勢。（1）當具有向下滑動趨勢時，并處于臨界平衡狀態(tài)。FNF1minxymax(1)(2)摩擦的物理條件：(3)由(1)、(2)、(3)求得：(4)或利用(5)（2）當具有向上滑動趨勢時，并處于臨界平衡狀態(tài)。11FNFmaxmaxxy(6)(7)摩擦的物理條件：(8)由(6)、(7)、(8)求得：(9)或利用(10)綜合式（5）、（10）得，F1的值在下列范圍時，物塊可靜止在斜面上。(11)說明與討論：（1）當，F1max為負值，說明無需F1物塊也能平衡，即產生自鎖現象。（2）兩種情況下的FN與Fmax是不同的。（3）利用摩擦角的概念，結合幾何作圖法求解。解法二、——幾何法11FNminFmax（1）當具有向下滑動趨勢，并處于臨界平衡狀態(tài)時P、F1min、FR構成一匯交力系。作力多邊形（力三角形），得PFRF1minα（2）當具有向上滑動趨勢，并處于臨界平衡狀態(tài)時1FNmaxFmaxFRP、F1max、FR構成一匯交力系。作力多邊形（力三角形），得PFRF1maxα綜合上述結果，得例：解：梯子AB靠在墻上，與水平面成θ角。梯子長AB=l，重量可略去，如圖所示。已知梯子與地面、墻面間的靜擦因素為fsA，fsB。重量為P的人沿梯上登，他在梯上的位置C不能過高，即距離AC=s，如超過一定限度，則梯子即將滑倒。試求s的范圍。梯子AB——研究對象PFNAFAmaxFBmaxFNBxysmax(1)(2)(3)臨界平衡時有：(4)(5)解上述5個方程，得(6)所求s值為(7)設θ=60°，fsA=0.4，fsB=0.2則：smax=0.7156l。討論：PFNAFAmaxFBmaxFNBxysmax(6)repeat（1）當時，即：，此時有（2）當fsB=0，即墻面為光滑時，由式（6）得但當fsA=0，即地面為光滑時，由式（6）得此時人無法登上梯子。例：解：已知：F1=20kN，F2=20kN，fsA=fsB=0.3，如圖所示。試問圓柱是否運動？問題：A，B處摩擦力是否達到最大值Fmax？（1）桿OA——研究對象F1FOxFOyFANFA（2）圓輪C——研究對象xy（3）與極限摩擦力比較顯然有：所以圓柱C靜止。（其中，r為輪的半徑）思路：先假定平衡，求出FA、FB，再與Fmax比較。例：解：已知：F1=20kN，F2=25kN，fsA=fsB=0.3，且圓柱重P=10kN，如圖所示。試問此時圓柱是否運動？先假定圓柱平衡（1）桿OA——研究對象F1FOxFOyFANFA（2）圓輪C——研究對象xyP（3）與極限摩擦力比較比較有：所以圓柱在A點可動

，而在B點不可運動。（其中，r為輪的半徑）輪子的這種運動稱為純滾動，純滾動時接觸點的摩擦力為靜摩擦力。例：解：已知搖臂重P，與立柱間的摩擦因素fs=012，L=450mm，試求搖臂不致卡住時的高度h。（1）搖臂和立柱之間有間隙，在P的作用下只能有兩點接觸（A、B）。（2）搖臂不致卡住的力學意義。搖臂

——研究對象（先假定搖臂平衡）FNAFNBFAFBxy（1）（2）——（3）將（2）代入（3）得摩擦平衡的物理條件：（4）（5）將（5）和（1）代入（4）得要使搖臂不被卡住的

h值為：例：解：已知搖臂重P，與立柱間的摩擦因素fs=012，L=450mm，試求搖臂不致卡住時的高度h。搖臂

——研究對象（先假定搖臂平衡）FNAFNBFAFBxy所以，要使搖臂不被卡住的

h值為：靜力學

解：①作法線AH和BH

②作A,B點的摩擦角j

交E,G兩點 ③E,G兩點間的水平距離l為人的活動范圍 [練習4]水平梯子放在直角V形槽內，略去梯重，梯子與兩個斜面間的摩擦系數（摩擦角均為j），如人在梯子上走動，試分析不使梯子滑動，人的活動應限制在什么范圍內？l30靜力學所以人在AC和BD段活動都不能滿足三力平衡必匯交的原理，只有在CD段活動時，才能滿足三力平衡必匯交，能交上（有交點）證明：由幾何關系31ACBFBPFoACBFBDFAxFAyFNCFCoDFPFDFNDFC′FNC′解:(1)取AB桿為研究對象設C處達到臨界狀態(tài)，則有：解得：FNC=100N，FC=40N(2)取輪為研究對象已知：P=100N，FB=50N，fc=0.4，

求：(1)若fD=0.3，

輪心O的水平推力Fmin=60°，AC=CB=l/2，

r。

(2)若fD=0.15，

輪心O的水平推力Fmin例題7ACBFBFAxFAyFNCFC設C處達到臨界狀態(tài)，則有：解得：FNC=100N，FC=40N(2)取輪為研究對象oDFPFDFNDFC′FNC′解得：FD=40N，F=26.6N，FND=184.6N由于FD﹤FDmax，D處無滑動，上述假定正確(3)當fD=0.15時因FD﹥Fdmax

故應設D處達到臨界狀態(tài)補充方程：解得：FD=FC=25.86N，F=47.81N故上述假定正確?如何求得系統(tǒng)平衡時FmaxACBFBFAxFAyFNCFCoDFPFDFNDFC′FNC′思考題：重量均為P

的小球A、B用一不計重量的桿連結。放置在水平桌面上，球與桌面間摩擦系數為

fs

，一水平力F作用于A球，系統(tǒng)平衡時Fmax。30°ABFAFAFSAFSAFSBFmax解：（1）取小球A為研究對象（2）取小球B為研究對象思考題：均質桿質量為m，長l，置于粗糙的水平面上，兩者間的靜摩擦系數為fs。現在桿的一端施加與桿垂直的力F，試求使桿處于平衡時的Fmax。設桿的高度忽略不計。xOFABl解：取桿AB為研究對象SampleProblem8 ThemaninFig(a)istryingtomoveapackingcrateacrossthefloorbyapplyingahorizontalforceP.

Thecenterofgravityofthe250-Ncrateislocatedatitsgeometriccenter.DoesthecratemoveifP=60N?Thecoefficientofstaticfictionbetweenthecrateandtheflooris0.3.Solution

Theproblemstatementdoesnotspecifyimpendingmotion.Todetermineifthecratemovesfortheconditionsstated,wefirstassumeequilibriumandthenchecktheassumption.However,thecheckmustanswertwoquestions----doesthecrateslideand(2)doesthecratetip?

Thefree-bodydiagramofthecrateisshowninFig.(b).Iftheblockisassumedtoremaininequilibrium,thethreeequilibriumequationscanbeusedtocalculatethethreeunknowns:thenormalforceN1,thefrictionforceF1,andthedistancexlocatingthelineofactionofN1,asshowninthefollowing.AssumeEquilibrium

WhichgivesCheck

Thelargestpossiblevalueforxis0.3m(halfthewidthofthecrate)Becausex=0.216m,asobtainedfromequilibriumanalysis,issmallerthanthat,weconcludethattheblockwillnottip.ThelimitingstaticfrictionforceisCratewillnotmovewhenP=60N.whichislargerthantheforceF1=60Nthatisrequiredforequilibrium.Wethereforeconcludethatthecratewillnotslide.-----------Answer

SampleProblem7.9 CalculatetheforcePrequiredto