數(shù)學物理方程-2-熱傳導方程-1-2

數(shù)學物理方程第二章熱傳導方程王炯華南理工大學土木與交通學院目錄

熱傳導方程及其定解問題的導出

初邊值問題的分離變量法

柯西問題的傅里葉變換法定解問題解的唯一性與存在性

解的漸近性態(tài)2/5/20232第2章熱傳導方程

2/5/202332.1

熱傳導方程及其定解問題的導出熱傳導方程2/5/20234問題背景熱傳導方程是一種典型的拋物型方程。它可以描述空間中熱量傳導、分子擴散等物理現(xiàn)象。熱傳導方程的導出2/5/20235

熱傳導方程的導出2/5/20236

熱傳導方程的導出2/5/20237根據(jù)熱量守恒定律，由上述兩式可得

熱傳導方程的導出2/5/20238由于時刻t1,t2及區(qū)域Ω都是任意的，可得上式稱為非均勻的各向同性體的熱傳導方程。

此式即為標準形式的齊次熱傳導方程。熱傳導方程的導出2/5/20239

基于上式，并通過類似的推導可得

定解問題的提法2/5/202310若已知物體在邊界上的溫度狀況（或熱交換狀況）和物體在初始時刻的溫度，就可以完全確定物體在以后時刻的溫度。因此，熱傳導方程的定解問題中也需要提出初始條件與邊界條件。初始條件的提法

定解問題的提法2/5/202311邊界條件的提法：第一類邊界條件（狄利克雷邊界條件）：設物體表面的溫度隨時間的變化是已知的。此時邊界條件的數(shù)學形式為

定解問題的提法2/5/202312邊界條件的提法：第二類邊界條件（諾伊曼邊界條件）：

定解問題的提法2/5/202313邊界條件的提法：第三類邊界條件：

此時需要應用另一熱傳導定律（牛頓定律）：從物體流到介質中的熱量和兩者的溫度差成正比

定解問題的提法2/5/202314邊界條件的提法：第三類邊界條件：考慮流過物體表面Γ

的熱量，從物體內部一側來看它應由傅里葉定律確定，而從物體與介質的接觸面來看，它應由牛頓定律所確定，因此成立上述邊界條件可進一步寫為其中σ

為已知常數(shù)。定解問題的提法2/5/202315熱傳導方程的柯西問題：如果所考察的物體體積很大，而所需知道的是在較短時間和較小范圍內溫度的變化，邊界條件的影響可以忽略。此時可提出熱傳導方程的柯西問題：

低維熱傳導方程2/5/202316一維熱傳導方程：例如當物體是均勻細桿時，假如它的側面是絕緣的，又溫度分布在同一截面是相同的，則溫度函數(shù)u僅與坐標x和時間t有關，于是可得二維熱傳導方程：類似地，如果考慮薄片的熱傳導，且假設薄片的表面絕熱，則可得擴散方程2/5/202317與熱傳導方程類似地方程也可以在研究分子擴散的過程中（如氣體的擴散、液體的滲透、半導體材料中雜質的擴散等）得到。擴散定律與質量守恒定律

擴散方程2/5/202318通過比較可知，擴散過程中所滿足的物理規(guī)律與熱傳導過程中所滿足的物理規(guī)律具有非常類似的形式。基于上述物理規(guī)律，并通過與熱傳導方程類似的推導，可得如下擴散方程

第二章2/5/2023192.2初邊值問題的分離變量法

分離變量法2/5/202320考慮下述一個空間變量的熱傳導方程的初邊值問題：其中h

為正常數(shù)。我們將采用分離變量法對上述初邊值問題進行求解。分離變量法2/5/202321令

分離變量法2/5/202322

根據(jù)邊界條件綜上，需求解下述常微分方程分離變量法2/5/202323

此時方程通解可以寫成為了滿足邊界條件，必須因為分離變量法2/5/202324

此時方程通解可以寫成為了滿足邊界條件，必須對于情形A和情形B，方程沒有分離變量形式的非平凡解。分離變量法2/5/202325

此時方程通解可以寫成由邊界條件由邊界條件

分離變量法2/5/202326

分離變量法2/5/202327由以上結果可知特征問題存在著無窮多個固有值及相應的固有函數(shù)分離變量法2/5/202328

由于方程和邊界條件都是齊次的，故可利用疊加原理構造級數(shù)形式的解

分離變量法2/5/202329

分離變量法2/5/