隨機信號分析課件2

隨機信號分析

RandomSignalAnalysis水聲工程學院CollegeofUnderwaterAcousticEngineering第二章隨機過程

1.隨機過程的基本概念及其統(tǒng)計特性

2.平穩(wěn)隨機過程和遍歷性過程

3.正態(tài)隨機過程

本章重點第二章隨機過程噪聲電壓的起伏波形Brownianmotion[2]

交流發(fā)電機輸出電壓其中r和φ為隨機振幅和隨機相位。單個樣本函數(shù)為2.1隨機過程的基本概念及其統(tǒng)計特性

定義1：設隨機試驗E的樣本空間S＝{ζ},若對每個元素ζ∈S，總有確知的時間函數(shù)X(t,ζ),t∈T與它相對應；這樣，對于所有的ζ∈S，就可以得到一族時間t的函數(shù)，將其稱為隨機過程。族中的每一個函數(shù)稱為該過程的樣本函數(shù)。特定實驗結(jié)果一個確知的時間函數(shù)定義2：若對于每個特定的時間都是隨機變量，則稱為隨機過程。一個特定時間一個取決于ζ的隨機變量定義1定義2常用于對隨機過程的實際觀測用實驗方法觀測到各個樣本樣本數(shù)目越多，越能掌握隨機過程的統(tǒng)計規(guī)律性常用于理論分析可以看成隨機變量的推廣（n維）隨機變量的維數(shù)越大，越能掌握隨機過程的統(tǒng)計規(guī)律性4一個確定值（t和ζ都固定）2

一個確知的時間函數(shù)(t是變量，而ζ固定）1

一個時間函數(shù)族（t和ζ都是變量）3一個隨機變量（t固定，而ζ是變量）隨機過程X(t)在四種不同情況下的含義2.1.2隨機過程的分類

一、按X(t)的時間和狀態(tài)是離散還是連續(xù)進行分類1、連續(xù)型隨機過程－－任意的都是連續(xù)型隨機變量；2、離散型隨機過程－－任意的都是離散型隨機變量；3、連續(xù)隨機序列－－任意離散時刻的狀態(tài)是連續(xù)型隨機變量；4、離散隨機序列－－隨機過程的時間和狀態(tài)都是離散的。二、按隨機過程的樣本函數(shù)的形式不同進行分類1、不確定性隨機過程－－樣本函數(shù)的未來值不能由過去的觀測值準確預測；2、確定性隨機過程－－樣本函數(shù)的未來值可以由過去的觀測值預測。三、按隨機過程X(t)的的分布函數(shù)或概率密度的不同特性分類1、正態(tài)過程、馬爾可夫過程、獨立增量過程2、平穩(wěn)性過程、遍歷性3、寬帶過程、窄帶過程、白噪聲、有色噪聲2.1.3隨機過程的概率分布時刻采樣，得到一族隨機變量不同采樣時刻的概率密度函數(shù)

將對隨機變量的研究推廣到隨機過程中去。一、一維概率分布隨機過程在任一特定時刻取樣得到隨機變量，其概率分布為稱作隨機過程X(t)的一維分布函數(shù)。求偏導數(shù)數(shù)可得稱作隨機過程X(t)的一維概率密度。隨機過程的一維分布函數(shù)和一維概率密度具有一維隨機變量的一維分布函數(shù)和一維概率密度的各種性質(zhì)；隨機過程的一維分布函數(shù)和一維概率密度還是時間t的函數(shù)；隨機過程的一維分布函數(shù)和一維概率密度描述該隨機過程在任一孤立時刻取值的統(tǒng)計特性。二、二維概率密度隨機過程X(t)的二維分布函數(shù)為

隨機過程X(t)的二維概率密度為三、n維概率分布隨機過程X(t)的n維分布函數(shù)為隨機過程X(t)的n維概率密度為

隨機過程X(t)的n維分布函數(shù)的主要性質(zhì)：5、4、3、2、1、6、如果統(tǒng)計獨立，則有全局特征N維概率密度二維概率密度一維概率密度自相關函數(shù)功率譜密度均值方差高階矩高階譜高階矩局部特征2.1.4隨機過程的數(shù)字特征

2.1.4隨機過程的數(shù)字特征

在實際應用中，要確定隨機過程的概率分布族，并加以分析，常比較困難；隨機變量的數(shù)字概念推廣到隨機過程中去；隨機過程數(shù)字特征通常不再是確定數(shù)值，而是確定的時間函數(shù)。一、數(shù)學期望隨機過程X(t)在任意一個時刻t的取值是一個隨機變量X(t)，將其任意取值x(t)簡計為x，由隨機變量的數(shù)學期望定義可得為時間的確定函數(shù)，稱為隨機過程的數(shù)學期望。二、均方值和方差隨機變量X(t)的二階原點矩為隨機過程X(t)的均方值。

隨機過程X(t)的數(shù)學期望

隨機變量X(t)的二階中心矩為隨機過程X(t)的方差。為中心化隨機過程。均方值和方差都是t的確定函數(shù)；方差描述了諸樣本對于其數(shù)學期望的偏離程度；二、自相關函數(shù)隨機過程的自相關函數(shù)定義為相關函數(shù)反映了X(t)在任意兩個時刻的狀態(tài)之間的線性相關程度。當時α-相依過程如果隨機過程X(t)的自相關函數(shù)滿足則稱X(t)是相關α-相依的。具有相同數(shù)學期望和方差的兩個不同的隨機過程具有相同數(shù)學期望和方差的兩個不同的隨機過程

隨機過程的協(xié)方差函數(shù)為

協(xié)方差函數(shù)描述了在任意兩個時刻的起伏值之間的相關程度。協(xié)方差函數(shù)與相關函數(shù)之間的關系：

當時，有

推導可得數(shù)學期望和相關函數(shù)是隨機過程兩個最基本的數(shù)字特征，其它數(shù)字特征都可以通過二者間接求得?！纠}】分析正弦型隨機相位信號

解：2.1.5隨機過程的特征函數(shù)

概率密度和特征函數(shù)是一對傅立葉變換。利用特征函數(shù)可以簡化運算。一、一維特征函數(shù)稱為隨機過程X(t)的一維特征函數(shù)。一維特征函數(shù)的傅立葉反變換為隨機過程X(t)的n階原點矩函數(shù)為二、二維隨機過程

隨機過程X(t)的相關函數(shù)可表示為三、隨機過程的n維特征函數(shù)稱為隨機過程X(t)的n維特征函數(shù)。

稱為隨機過程X(t)的二維特征函數(shù)。其傅立葉反變換為傅立葉反變換為

2.2.2隨機過程相等

[1]

隨機過程X(t)、Y(t)的所有樣本函數(shù)皆相同，則稱兩個隨機過程（處處）相等。

如果則稱隨機過程X(t)、Y(t)在均方意義下相等。2.2.3 隨機過程的微分及其數(shù)學期望與相關函數(shù)隨機過程X(t)的導數(shù)通常意義下的導數(shù)——每個樣本函數(shù)都存在均方意義下的導數(shù)——均方（m.s.）導數(shù)

設Y(t)為可微過程X(t)的導數(shù)，其數(shù)學期望為Y(t)的相關函數(shù)2.2.4 隨機過程的積分及其數(shù)學期望與相關函數(shù)對于給定的實隨機過程X(t)，我們構(gòu)成積分

若對過程X(t)的每個樣本函數(shù)X(t,ζ)，在黎曼意義下此積分存在，則相應于每個試驗結(jié)果ζ，積分都可得到一個數(shù)Y(ζ)；但是對不同的ζ，積分值Y(ζ)也是不同的，故對所有試驗結(jié)果，Y是一個隨機變量。也就是說，過程X(t)在確定區(qū)間[a,b]上的積分Y是一個隨機變量。而對過程的每一個樣本來說，此積分是通常意義下的積分。若則稱隨機變量為過程X(t)在確定區(qū)間[a,b]上的均方積分。相關函數(shù)數(shù)學期望2.3平穩(wěn)性隨機過程和遍歷性過程2.3.1平穩(wěn)隨機過程

一、嚴平穩(wěn)隨機過程及其數(shù)字特征1、嚴平穩(wěn)隨機過程的定義設有隨機過程X(t)，若它的n維概率密度不隨時間起點的選擇的不同而改變，即對于任何的n和ε，過程X(t)的n維概率密度滿足則稱X(t)為嚴平穩(wěn)隨機過程或狹義平穩(wěn)過程。嚴平穩(wěn)隨機過程的統(tǒng)計特性與所選取的時間起點無關。2、嚴平穩(wěn)隨機過程的一、二維概率密度及數(shù)字特征（1）若X(t)是嚴平穩(wěn)隨機過程，則它的一維概率密度與時間無關令可得

進一步可求得均值均方值方差（2）嚴平穩(wěn)隨機過程二維概率密度只與t1、t2的時間間隔有關，而與時間起點無關。令可得這時過程X(t)的自相關函數(shù)為協(xié)方差函數(shù)為當t1＝t2，即τ＝0時二、寬平穩(wěn)隨機過程滿足則稱X(t)為寬平穩(wěn)隨機過程或廣義平穩(wěn)隨機過程。只涉及與一、二維概率密度有關的數(shù)字特征；嚴平穩(wěn)過程只要均方值有界，則它必定是寬平穩(wěn)的，反之不一定成立；正態(tài)隨機過程的寬平穩(wěn)與嚴平穩(wěn)是等價的。【例題】設隨機過程式中，a、ω0皆為常數(shù)，Φ是在(0,2π)上均勻分布的隨機變量。試問：X(t)是否是平穩(wěn)的隨機過程？為什么？解：隨機變量Φ的概率密度為X(t)的均值X(t)的自相關函數(shù)【例題】其中X(t)平穩(wěn)過程，ω0是確定量，相位Φ是在(0,2π)上均勻分布的隨機變量。Φ與X(t)統(tǒng)計獨立。試討論Y(t)的平穩(wěn)性。解：Y(t)的均值為Y(t)的相關函數(shù)因此Y(t)具有平穩(wěn)性。故X(t)為寬平穩(wěn)隨機過程。2.3.2遍歷性過程

一般隨機過程要對大量樣本函數(shù)在特定時刻取值，用統(tǒng)計方法到數(shù)字特征。這種方法成為統(tǒng)計平均或集合平均，也簡稱為集平均。辛欽證明：在具備一定的補充條件下，對平穩(wěn)隨機過程的一個樣本函數(shù)取時間均值，就從概率意義上趨近于此過程的統(tǒng)計均值。任何一個樣本函數(shù)的特性都能充分地代表整個隨機過程的特性。具有遍歷性的隨機過程X(t)

二、遍歷性的實際意義任一樣本函數(shù)的時間平均可以代替整個過程的統(tǒng)計平均；遍歷過程的一、二階距函數(shù)具有明確的物理意義；電壓信號直流分量總平均功率交流平均功率電壓有效值

不具備遍歷性的平穩(wěn)過程2、平穩(wěn)隨機過程X(t)的均值具有遍歷性的充要條件為證明：是隨樣本函數(shù)不同而變化的隨機變量，其數(shù)學期望為對于平穩(wěn)過程X(t)，可得的方差為變量替換可得由X(t)的遍歷性可得

由切比雪夫不等式即，依概率收斂于。因由方差性質(zhì)可知，依概率1成立。3、自相關函數(shù)的遍歷性定理。平穩(wěn)隨機過程X(t)的自相關函數(shù)具有遍歷性的充要條件為

令，就可得到均方值具有遍歷性的充要條件。4、對于正態(tài)平穩(wěn)隨機過程，若均值為零，自相關函數(shù)連續(xù)，則可以證明此過程具有遍歷性的一個充分條件為【例題】隨機過程其中A和Φ是相互獨立的隨機變量，A在(0,1)上均勻分布，Φ在(0,2π）上均勻分布。隨機過程X(t)是否具有遍歷性？解：首先判斷X(t)是否具有平穩(wěn)性

可得隨機過程X(t)均值具有遍歷性。時間相關函數(shù)為因此隨機過程不具有遍歷性。2.3.3平穩(wěn)隨機過程相關函數(shù)的性質(zhì)一、平穩(wěn)隨機過程自相關函數(shù)的性質(zhì)12證：3證：正函數(shù)的數(shù)學期望恒為非負值，即在零點以外也可能有最大值4周期平穩(wěn)隨機過程的自相關函數(shù)必為周期函數(shù)，且它的周期與過程的周期相同。5若平穩(wěn)隨機過程含有一個周期分量，則自相關函數(shù)也含有一個同周期的周期分量。6平穩(wěn)隨機過程中不含有任何周期分量，則

證：

證：

7若平穩(wěn)過程含有平均分量（均值），則相關函數(shù)也將含有平均分量，且等于均值的平方，即8平穩(wěn)隨機過程的自相關函數(shù)必須滿足二、平穩(wěn)過程的相關系數(shù)和相關時間

1相關系數(shù)rX(τ)τrX(τ)τ2相關時間定義1相關系數(shù)由其最大值1下降到0.05所經(jīng)歷的時間間隔，計做相關時間。定義2矩形面積等于陰影面積來定義相關時間。rX(τ)τ10.05τ0τ0【例題】已知平穩(wěn)隨機過程X（t）的自相關函數(shù)為

求均值、均方差和方差。解：2.4隨機過程的聯(lián)合概率分布和互相關函數(shù)2.4.1兩個隨機過程的聯(lián)合概率分布

隨機過程X(t)和Y(t)的多維概率密度分別為

定義兩個隨機過程的多維聯(lián)合分布函數(shù)為定義兩個隨機過程多維聯(lián)合概率函數(shù)為

如果則稱隨機過程是相互獨立的。如果兩個隨機過程的聯(lián)合概率密度不隨時間變化，即與時間起點無關，則稱此過程為聯(lián)合嚴平穩(wěn)或嚴平穩(wěn)相依過程。2.4.2互相關函數(shù)

互相關函數(shù)的定義為互協(xié)方差函數(shù)定義為

如果兩個寬平穩(wěn)隨機過程則稱隨機過程X(t)和Y(t)為聯(lián)合寬平穩(wěn)或?qū)捚椒€(wěn)相依。寬平穩(wěn)隨機過程的互相關函數(shù)的性質(zhì)：1、

隨機過程正交隨機過程的不相關互相關函數(shù)與互協(xié)方差存在如下關系2、3、4、歸一化相關函數(shù)或標準互協(xié)方差函數(shù)

時間互相關函數(shù)定義為如果稱過程X(t)和Y(t)具有聯(lián)合寬遍歷性。例題：設兩個連續(xù)時間相位隨機信號其中為常數(shù)，在上均勻分布，求互協(xié)方差函數(shù)。解：這兩個過程的均值為零，都是寬平穩(wěn)的。即過程X(t)和Y(t)在某些時刻是正交的、不相關的。但兩者并不獨立。因此是聯(lián)合平穩(wěn)的。2.5復隨機過程2.5.1復隨機變量

復隨機變量定義為數(shù)字特征推廣到復隨機變量時必須遵循的原則是：在特殊情況下，即當Y＝0時，Z的數(shù)字特征應該等于隨機變量X的數(shù)字特征。復隨機變量的數(shù)學期望復隨機變量的方差復隨機變量Z1和Z2的相關矩兩個隨機變量獨立

Z1

和Z2相互獨立

兩個隨機變量不相關

Z1和Z2不相關兩個隨機變量正交

Z1和Z2正交2.5.2復隨機過程

復隨機過程的定義其概率密度為其數(shù)學期望為

其自相關函數(shù)為和協(xié)方差函數(shù)

平穩(wěn)復隨機過程其方差為

復平穩(wěn)隨機過程的互相關函數(shù)和互協(xié)方差函數(shù)復平穩(wěn)隨機過程的不相關復平穩(wěn)隨機過程的正交

2.6正態(tài)隨機過程2.6.1正態(tài)隨機過程的一般概念

正態(tài)隨機過程X(t)的n維概率密度為

式中是n維向量，是n維矩陣。

正態(tài)隨機過程的n維概率密度只取決于其一、二階矩函數(shù)——數(shù)學期望、方差和相關系數(shù)。n維概率密度為2.6.2平穩(wěn)正態(tài)隨機過程

若正態(tài)隨機過程X(t)

此正態(tài)隨機過程稱為廣義平穩(wěn)正態(tài)隨機過程。2.6.3正態(tài)隨機過程的性質(zhì)

1、正態(tài)隨機過程的n維概率密度完全取決于它的均值集合和協(xié)方差函數(shù)集合。2、正態(tài)過程的寬平穩(wěn)與嚴平穩(wěn)等價。3、如果正態(tài)隨機過程X(t)在n個不同時刻采樣，所得一組隨機變量為兩兩互不相關，即

則，這些隨機變量也是相互獨立的。證明：X(t)的n維概率密度為4、平穩(wěn)正態(tài)隨機過程X(t)與確定性信號之和的概率分布仍為正態(tài)分布。證明：s(t)的概率密度可以表示為Y(t)的一維概率密度為故合成信號的一維概率密度也是正態(tài)的。同理，合成信號的二維概率密度為合成信號的一維概率密度也是正態(tài)的。n維概率密度也是正態(tài)的。5、若為n維正態(tài)隨機變量，又均方收斂于即對每個i有則X也是正態(tài)分布的隨機矢量。6、若正態(tài)隨機過程在T上是均方可微的，則也是正態(tài)過程。7、若正態(tài)隨機過程在T上是均方可積的，則是正態(tài)隨機過程?！纠}】設隨機過程A與B是兩個獨立的正態(tài)隨機變量。且E[A]=E[B]=0，而為常數(shù)。求此過程的一、二維概率密度。解：正態(tài)隨機變量的線性組合仍為正態(tài)隨機變量；正態(tài)隨機變量的概率密度只由均值和協(xié)方差確定。

X(t)的均值為

X(t)的相關函數(shù)為因為X(t)的均方值和均方差為因此，X(t)為平穩(wěn)隨機過程。一維概率密度為為求二維概率密度只要再求相關系數(shù)X(t)的二維概率密度為所以本章小結(jié)隨機過程的基本概念及其統(tǒng)計特性－－－定義、分類、概率分布、數(shù)字特征平穩(wěn)隨機過程和遍歷性過程－－－平穩(wěn)性、遍歷性、自相關函數(shù)的性質(zhì)隨機過程的聯(lián)合概率分布和互相關函數(shù)－－－聯(lián)合概率分布、互相關函數(shù)復隨機過程－－－復隨機過程定義、數(shù)字特征、相關函數(shù)正態(tài)隨機過程－－－正態(tài)平穩(wěn)隨機過程的平穩(wěn)性、性質(zhì)隨機過程習題習題2-6：設隨機過程X(t)其中ω0為常數(shù)，；A與B是相互獨立的正態(tài)隨機變量，且有E[A]=E[B]=0,E[A2]=E[B2]=σ2。試求X（t）的均值與自相關函數(shù)。習題2-13：已知隨機過程X(t)和常數(shù)a，試以X（t）的自相關函數(shù)表示出另一隨機過程Y（t）=X（t+a）-X（t）的自相關函數(shù)。習題2-21：已知隨機過程X(t)其中ω0為常數(shù)，；A與Θ是相互獨立的隨機變