山西省忻州市王村鄉(xiāng)辦中學(xué)2023年高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析

山西省忻州市王村鄉(xiāng)辦中學(xué)2023年高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)變量x，y滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)z=x+2y的最大值為（）A．5 B．6 C． D．7參考答案：C【考點(diǎn)】7C：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃．【分析】由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)得答案．【解答】解：由約束條件作出可行域如圖，聯(lián)立，解得A（），化目標(biāo)函數(shù)z=x+2y為y=﹣．由圖可知，當(dāng)直線y=﹣過A時(shí)，直線在y軸上的截距最大，z有最大值為．故選：C．2.下列命題中真命題是A．命題“存在”的否定是：“不存在”.B．線性回歸直線恒過樣本中心，且至少過一個(gè)樣本點(diǎn).C．存在，使.D．函數(shù)的零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi).參考答案：D3.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，且的等差中項(xiàng)為，則=A．36 B．33 C．31 D．29參考答案：C4.已知若則等于（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D5.已知m,n為兩條不同的直線，為兩個(gè)不同的平面，則下列命題中正確的是A.∥，n∥

∥B.∥，，m∥nC.m⊥，m⊥nn∥D.n∥m,n⊥m⊥參考答案：答案：D解析：A中m、n少相交條件，不正確；B中分別在兩個(gè)平行平面的兩條直線不一定平行，不正確；C中n可以在內(nèi)，不正確，選D6.將函數(shù)的圖像上的點(diǎn)按向量（其中）平移后得到點(diǎn)，若點(diǎn)在函數(shù)的圖像上，則（

）A．，的最小值為

B．，的最小值為

C.，的最小值為

D．，的最小值為參考答案：C7.在如圖所示的正方形中隨機(jī)投擲10000個(gè)點(diǎn)，則落入陰影部分（曲線C為正態(tài)分布N（﹣1，1）的密度曲線）的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的估計(jì)值（）附“若X～N（μ，a2），則P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826．p（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544．A．1193 B．1359 C．2718 D．3413參考答案：B【考點(diǎn)】正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義．【專題】計(jì)算題；方程思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】根據(jù)正態(tài)分布的定義，可以求出陰影部分的面積，也就是x在（0，1）的概率．【解答】解：正態(tài)分布的圖象如下圖：正態(tài)分布N（﹣1，1）則在（0，1）的概率如上圖陰影部分，其概率為×[P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）﹣P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）]=×（0.9544﹣0.6826）=0.1359；即陰影部分的面積為0.1359；所以點(diǎn)落入圖中陰影部分的概率為p==0.1359；投入10000個(gè)點(diǎn)，落入陰影部分的個(gè)數(shù)期望為10000×0.1359=1359．故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義，考查正態(tài)分布中兩個(gè)量μ和σ的應(yīng)用，考查曲線的對(duì)稱性，屬于基礎(chǔ)題．8.如圖正四面體（所有棱長(zhǎng)都相等）D﹣ABC中，動(dòng)點(diǎn)P在平面BCD上，且滿足∠PAD=30°，若點(diǎn)P在平面ABC上的射影為P′，則sin∠P′AB的最大值為（）A． B．C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】直線與平面所成的角．【分析】由題意可知：當(dāng)點(diǎn)P取線段CD的中點(diǎn)時(shí)，可得到∠P′AB的最大，并且得到sin∠P′AB的最大值．過D作DO⊥平面ABC，可得點(diǎn)O是等邊三角形的中心，連接CO延長(zhǎng)與AB相交于點(diǎn)M，CM⊥AB．經(jīng)過點(diǎn)P作PP′⊥CO，垂足為點(diǎn)P′，則PP′⊥平面ABC，點(diǎn)P′為點(diǎn)P在平面ABC的射影，則點(diǎn)P′為CO的中點(diǎn)．進(jìn)而得出答案．【解答】解：由題意可知：當(dāng)點(diǎn)P取線段CD的中點(diǎn)時(shí)，可得到∠P′AB的最大，并且得到sin∠P′AB的最大值．過D作DO⊥平面ABC，則點(diǎn)O是等邊三角形的中心，連接CO延長(zhǎng)與AB相交于點(diǎn)M，CM⊥AB．經(jīng)過點(diǎn)P作PP′⊥CO，垂足為點(diǎn)P′，則PP′⊥平面ABC，點(diǎn)P′為點(diǎn)P在平面ABC的射影，則點(diǎn)P′為CO的中點(diǎn)．不妨取AB=2，則MP′=，∴AP′==．sin∠P′AM==．故選：A．9.點(diǎn)在直線上移動(dòng)，則的最小值是（）A.8

B.6

C.

D.參考答案：C略10.已知A為橢圓（a＞b＞0）上一點(diǎn)，B為點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓的左焦點(diǎn)，且AF⊥BF，若∠ABF∈[，]，則該橢圓離心率的取值范圍為（）A．[0，] B．[，1） C．[0，] D．[，]參考答案：D【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】設(shè)左焦點(diǎn)為F′，根據(jù)橢圓定義：|AF|+|AF′|=2a，根據(jù)B和A關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱可知|BF|=|AF′|，推知|AF|+|BF|=2a，又根據(jù)O是Rt△ABF的斜邊中點(diǎn)可知|AB|=2c，在Rt△ABF中用∠ABF和c分別表示出|AF|和|BF|代入|AF|+|BF|=2a中即可表示出即離心率e，進(jìn)而根據(jù)∠ABF的范圍確定e的范圍．【解答】解：∵B和A關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴B在橢圓上，設(shè)左焦點(diǎn)為F′，根據(jù)橢圓定義：|AF|+|AF′|=2a．又∵|BF|=|AF′|，∴|AF|+|BF|=2a

…①O是Rt△ABF的斜邊中點(diǎn)，∴|AB|=2c，設(shè)∠ABF=α，則|AF|=2csinα，|BF|=2ccosα

…②把②代入①得：2csinα+2ccosα=2a，∴，即e=，∵∴∈[]，∴≤，∴≤sin（α+）≤1，∴．故選：D．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若直線2x+y+m=0過圓x2+y2﹣2x+4y=0的圓心，則m的值為

．參考答案：0【考點(diǎn)】J9：直線與圓的位置關(guān)系．【分析】求出圓x2+y2﹣2x+4y=0的圓心為C（1，﹣2），再把圓心C（1，﹣2）代入直線2x+y+m=0，能求出結(jié)果．【解答】解：圓x2+y2﹣2x+4y=0的圓心為C（1，﹣2），∵直線2x+y+m=0過圓x2+y2﹣2x+4y=0的圓心，∴圓心C（1，﹣2）在直線2x+y+m=0上，∴2×1﹣2+m=0，解得m=0．故答案為：0．12.

參考答案：i13.已知集合，則的子集個(gè)數(shù)為

___▲____．參考答案：4集合，，則，則的子集是：，，，，共4個(gè).故答案為：4.

14.已知函數(shù)若，則

.參考答案：或15.已知(x)=是定義在[a-1,2a]上的偶函數(shù)，則a=_______,b=________參考答案：

16.已知f(x)=3sin(2x－)，若存在α∈(0,π)，使f(α+x)=f(α-x)對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，則α=

參考答案：，

略17.已知向量，的夾角為，，，若點(diǎn)M在直線OB上，則的最小值為

．參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知首項(xiàng)都是1的數(shù)列滿足（I）令，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（II）若數(shù)列為各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且，求數(shù)列的前項(xiàng)和.

參考答案：（Ⅰ）cn=3n-2（II）Sn=8-（6n+8）×()n．（Ⅰ）由題意得an+1bn=an?bn+1+3bn?bn+1，

兩邊同時(shí)除以bnbn+1，得又cn=，∴cn+1-cn=3，又c1==1，

∴數(shù)列{cn}是首項(xiàng)為1，公差為3的等差數(shù)列，∴cn=1+3（n-1）=3n-2，n∈N*．

（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{bn}的公比為q，q＞0，∵b32=4b2?b6，∴b12q4=4b12?q6，

整理，得q2=，∴q=，又b1=1，∴bn=()n-1，n∈N*，an=cnbn=(3n-2)×()n-1，

∴Sn=1×()0+4×()+7×()2+…+(3n-2)×()n-1，①

∴Sn=1×+4×()2+7×()3+…+(3n-2)×()n，②

①-②，得：Sn=1+3×+3×()2+…+3×()n-1-（3n-2）×()n

=1+3[+()2+…+()n-1]-（3n-2）×()n=1+3[1-()n-1]-(3n-2)×()n

=4-（6+3n-2）×()n=4-（3n+4）×（）n，∴Sn=8-（6n+8）×()n．

略19.（12分）設(shè)二次函數(shù)，方程的兩根和滿足．（I）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（II）試比較與的大?。⒄f明理由．參考答案：本小題主要考查二次函數(shù)、二次方程的基本性質(zhì)及二次不等式的解法，考查推理和運(yùn)算能力．解析：解法1：（Ⅰ）令，則由題意可得．故所求實(shí)數(shù)的取值范圍是．（II），令．當(dāng)時(shí)，單調(diào)增加，當(dāng)時(shí)，，即．解法2：（I）同解法1．（II），由（I）知，．又于是，即，故．解法3：（I）方程，由韋達(dá)定理得，，于是．故所求實(shí)數(shù)的取值范圍是．（II）依題意可設(shè)，則由，得，故．20.已知函數(shù)f（x）=1﹣﹣alnx（a∈R），g（x）=2x﹣ex（e=2.71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．（Ⅰ）求函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）判斷a＞1時(shí)，f（）的符號(hào)；（Ⅲ）若函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；6D：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．【分析】（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（Ⅱ）求出f（）的解析式，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷即可；（Ⅲ）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出f（x）的最大值，得到關(guān)于a的不等式，求出a的范圍即可．【解答】解：（Ⅰ）∵g（x）=2x﹣ex，∴x∈R，且g′（x）=2x﹣ex．∴當(dāng)x＜ln2時(shí)，g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增，當(dāng)x＞ln2時(shí)，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減，所以函數(shù)g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（﹣∞，ln2]，單調(diào)遞減區(qū)間是[ln2，+∞）．…（2分）（Ⅱ）∵f（x）=1﹣﹣alnx，∴f（）=1﹣ea+a2（a＞1）．設(shè)h（x）=1﹣ex+x2，∴h′（x）=﹣ex+2x．由（Ⅰ）知，當(dāng)x＞1時(shí)，h′（x）＜h′（1）=2﹣e＜0，h（x）在區(qū)間[1，+∞）單調(diào)遞減，∴x＞1時(shí)，h（x）＜h（1）=﹣e＜0．∴a＞1時(shí)，f（）＜0，即f（）符號(hào)是“﹣”．…（Ⅲ）由函數(shù)f（x）=1﹣﹣alnx得，x＞0且f′（x）=．當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，f（x）沒有兩個(gè)零點(diǎn)，∴a＞0…（6分）∴f′（x）=﹣（x﹣）．∴當(dāng)0＜x＜時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增．當(dāng)x＞時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減．又f′（）=0，∴f（x）max=f（）=1﹣a+alna．…（7分）設(shè)s（x）=1﹣x+xlnx，∴x＞0且s′（x）=lnx，同上可得s（x）min=s（1）=0，∴當(dāng)a＞0且a≠1時(shí)，f（x）max＞0，當(dāng)a=1時(shí)，f（x）沒有兩個(gè)零點(diǎn)．…（8分）設(shè)t（x），則t′（x）=ex﹣1，∴x＞1時(shí)，t′（x）＞0，t（x）單調(diào)遞增，所以x＞1時(shí)，t（x）＞t（1），即x＞1時(shí)，ex＞x．…（9分）當(dāng)a＞1時(shí)，ex＞a，∴＜＜1．∵f（），∴f（x）在區(qū)間（，）上有一個(gè)零點(diǎn)，又f（1）=0，∴f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)．…（10分）當(dāng)0＜a＜1時(shí)，1＜＜．∵f（）=﹣＜0，∴f（x）在區(qū)間（，）上有一個(gè)零點(diǎn)，又f（1）=0，∴f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)．…（11分）綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0，1）∪（1，+∞）．…（12分）【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道綜合題．21.（本題滿分12分）在中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，面積為S，已知

（Ⅰ）求證：成等差數(shù)列；

（Ⅱ）若求.參考答案：（Ⅰ）由正弦定理得：即

………………2分∴即

………………4分∵∴

即∴成等差數(shù)列。

………………6分（Ⅱ）∵

∴

……………8分又

………………10分由（Ⅰ）得：

∴

………………12分22.已知拋物線的準(zhǔn)線過橢圓C：（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)F，且點(diǎn)F到直線l：（c為橢圓焦距的一半）的距離為4.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)F做直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，P是AB的中點(diǎn)，線段AB的中垂線交直線l于點(diǎn)Q.若，求直線AB的方程.參考答案：（1）；（2）或.【分析】（1）由拋物線的準(zhǔn)線方程求出的值，確定左焦點(diǎn)坐標(biāo)，再由點(diǎn)F到直線l：的距離為