人教版2016年秋季13.4-課題學習-最短路徑問題(新人教版)

13.4課題學習

最短路徑問題利川市建南民中張中建復習引入線段公理：兩點之間，線段最短.垂線段性質(zhì)：垂線段最短.AB最短路徑問題BAl

問題1：如圖所示，從A地到B地有三條路可供選擇，你會選走哪條路最近？你的理由是什么？

兩點之間,線段最短①②③問題2：兩點在一條直線異側(cè)

已知：如圖，A，B在直線L的兩側(cè)，在L上求一點P，使得PA+PB最小。

P連接AB,線段AB與直線L的交點P，就是所求。思考？？？為什么這樣做就能得到最短距離呢？根據(jù)：兩點之間線段最短.想一想：如圖，要在燃氣管道L上修建一個泵站，分別向A、B兩鎮(zhèn)供氣，泵站修在管道的什么地方，可使所用的輸氣管線最短？P所以泵站建在點P可使輸氣管線最短應用問題3：

1、如圖，牧馬人從A地出發(fā)，到一條筆直的河邊l飲馬，然后到B地．牧馬人到河邊的什么地方飲馬，可使所走的路徑最短？思考：你能把這個問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題嗎？ABllABCC轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題當點C在直線l的什么位置時，AC與BC的和最小？分析：ABl如圖，點A、B分別是直線l異側(cè)的兩個點，如何在l上找到一個點，使得這個點到點A、點B的距離的和最短？聯(lián)想：兩點之間，線段最短.？lABC（1）這兩個問題之間，有什么相同點和不同點？（2）我們能否把A、B兩點轉(zhuǎn)化到直線l的異側(cè)呢？轉(zhuǎn)化需要遵循的原則是什么？（3）利用什么知識可以實現(xiàn)轉(zhuǎn)化目標？分析：lABClABClABCB′如下左圖，作點B關(guān)于直線l的對稱點B′.當點C在直線l的什么位置時，AC與CB′的和最小？如上右圖，在連接AB′兩點的線中，線段AB′最短.因此，線段AB′與直線l的交點C的位置即為所求.lABCB′

在直線l上任取另一點C′，連接AC′、BC′、B′C′．∵直線l是點B、B′的對稱軸，點C、C′在對稱軸上，∴BC=B′C，BC′=B′C′．∴AC+BC=AC+B′C=AB′．在△AB′C′中，AB′<AC′+B′C′，∴AC+BC<AC′+B′C′，即AC+BC最小．lABCB′C′證明：如圖.1、如圖所示，要在街道旁修建一個奶站，向居民區(qū)A、B提供牛奶，奶站應建在什么地方，才能使從A、B到它的距離之和最短．練習：請你自己動手試一試！A'C

作法：①作點A關(guān)于街道的對稱點A'.

②

連接A'B,交街道于點C.

點C的位置即為所求.運用新知2、如圖，一個旅游船從大橋AB的P處前往山腳下的Q處接游客，然后將游客送往河岸BC上，再返回P處，請畫出旅游船的最短路徑．運用新知思路點撥：

由于兩點之間線段最短，所以首先可連接PQ，線段PQ為旅游船最短路徑中的必經(jīng)線路．將河岸抽象為一條直線BC，這樣問題就轉(zhuǎn)化為“點P，Q在直線BC的同側(cè)，如何在BC上找到一點M，使QM與MP的和最小”．歸納lABClABCB′lABC抽象為數(shù)學問題用舊知解決新知聯(lián)想舊知解決實際問題ABl

如圖，A為馬廄，牧馬人某一天要從馬廄牽出馬，先到草地邊某一處牧馬，再到河邊飲馬，然后回到馬廄.請你幫他確定這一天的最短路線.草地小河A問題4：（1）一點在兩條直線內(nèi)部例：已知：如圖，在l1、l2之間有一點A.求作：分別在l1、l2上確定一點M、N，使AM+MN+NA最小.l1l2AMNl1l2

解：如圖，作點A關(guān)于l1和l2的對稱點A1、A2，連接A1A2，交l1于M點，交l2于N點.連接AM和AN，則AM+MN+NA最小.因此，那天這樣走路線最短.MNA1AA2例.某班舉行晚會，桌子擺成兩直條(如圖中的AO，BO)，AO桌面上擺滿了桔子，OB桌面上擺滿了糖果，坐在C處的學生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位，請你幫助他設(shè)計一條行走路線，使其所走的總路程最短？

作法：1.作點C關(guān)于直線

OA

的對稱點點D,

2.作點C關(guān)于直線

OB

的對稱點點E,

3.連接DE分別交直線OA.OB于點M.N，則CM+MN+CN最短AOBＣ.

.EDMN如圖：A為馬廄，B為帳篷，牧馬人從A地出發(fā)，先到草地邊某一處牧馬，再到河邊飲馬，然后回到B，請畫出最短路徑.作法：1.作點A關(guān)于直線

MN

的對稱點點C,2.作點B關(guān)于直線ON

的對稱點點D,3.連接CD分別交直線MN、ON于點G、H，則AG+GH+BH最短MNOB

··ACDGH問題4：（2）兩點在兩條直線內(nèi)部ABA/B/PQ最短路線：APQBlMN問題5：（造橋選址問題）如圖，A和B兩地在同一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN．橋造在何處可使從A到B的路徑AMNB最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直.）思考：你能把這個問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題嗎？

如圖假定任選位置造橋MN，連接AM和BN，從A到B的路徑是AM+MN+BN，那么折線AMNB在什么情況下最短呢？分析：aBAbMN

由于河寬是固定的，因此當AM+NB最小時，AM+MN+NB最小.分析：lABCaBAbMNA'如左圖，如果將點A沿與河岸垂直的方向平移到點A′，使AA′等于河寬，則AA′=MN，AM=A′N，問題轉(zhuǎn)化為：當點N在直線b的什么位置時，A′N+NB最小？參考右圖，利用“兩點之間，線段最短”可以解決.如圖，沿垂直于河岸的方向平移A到A′，使AA′等于河寬，連接A′B交河岸于點N，在點N處造橋MN，此時路徑AM+MN+BN最短.aBAbMNA'解：另任意造橋M′N′，連接AM′、BN′、A′N′.由平移性質(zhì)可知，AM＝A′N，AM′＝A′N′，AA′＝MN＝M′N′.∴AM+MN+BN＝AA′+A′B，

AM′+M′N′+BN′＝AA′+A′N′+BN′.在△A′N′B中，由線段公理知A′N′+BN′＞A′B，∴AM′+M′N′+BN′＞AM+MN+BN.證明：aBAbMNA'N′M′歸納抽象為數(shù)學問題用舊知解決新知聯(lián)想舊知解決實際問題lABC小結(jié)歸納lABClABCB′轉(zhuǎn)化軸對稱變換平移變換兩點之間，線段最短.你能解答嗎？思考：如圖，等腰三角形ABC底邊BC的長為6cm，面積是24cm2，腰AB的垂直平分線EF交AC于點F，若D為BC邊上的中點，M為線段EF上一動點，則△BDM的周長最短為

cm．

作業(yè)：1、如圖，銳角△ABC的邊AC=６,△ABC的面積為15，AD平分∠