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山西省忻州市原平第四中學(xué)2021年高二數(shù)學(xué)理月考試卷含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有是一個(gè)符合題目要求的1.橢圓5x2﹣ky2=5的一個(gè)焦點(diǎn)是(0,2),那么k等于()A.﹣1 B.1 C. D.參考答案:A【考點(diǎn)】K4:橢圓的簡單性質(zhì).【分析】把橢圓5x2﹣ky2=5化為標(biāo)準(zhǔn)方程x2=1,則c2=﹣﹣1=4,解得k,再進(jìn)行判定即可.【解答】解:橢圓5x2﹣ky2=5化為標(biāo)準(zhǔn)方程x2=1,則c2=﹣﹣1=4,解得k=﹣1,故選:A.2.飛機(jī)的航線和山頂在同一個(gè)鉛垂直平面內(nèi),已知飛機(jī)的高度為海拔15000m,速度為1000km/h,飛行員先看到山頂?shù)母┙菫?8°,經(jīng)過108s后又看到山頂?shù)母┙菫?8°,則山頂?shù)暮0胃叨葹椋ǎ〢.(15﹣18sin18°cos78°)km B.(15﹣18sin18°sin78°)kmC.(15﹣20sin18°cos78°)km D.(15﹣20sin18°sin78°)km參考答案:D【考點(diǎn)】解三角形的實(shí)際應(yīng)用.【分析】先求AB的長,在△ABC中,可求BC的長,進(jìn)而由于CD⊥AD,所以CD=BCsin∠CBD,故可得山頂?shù)暮0胃叨取窘獯稹拷猓喝鐖D,∠A=18°,∠ACB=60°,AB=1000×108×=30(km)∴在△ABC中,BC==20sin18°∵CD⊥AD,∴CD=BCsin∠CBD=BC×sin78°=20sin18°sin78°山頂?shù)暮0胃叨?15﹣20sin18°sin78°km.故選D.3.極坐標(biāo)系中,下列各點(diǎn)與點(diǎn)P(ρ,θ)(θ≠kπ,k∈Z)關(guān)于極軸所在直線對稱的是(
)A.(-ρ,θ)B.(-ρ,-θ)C.(ρ,2π-θ)
D.(ρ,2π+θ)參考答案:C4.拋物線的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)A、B在此拋物線上,且90°,弦AB的中點(diǎn)M在其準(zhǔn)線上的射影為,則的最大值為
(
)A.
.
B
C.1
D.參考答案:B略5.已知直線x=3與雙曲線C:的漸近線交于E1,E2兩點(diǎn),記,任取雙曲線上的點(diǎn)P,若(a,b?R),則下列關(guān)于a,b的表述:①4ab=1
②
③
④
⑤ab=1其中正確的是
.參考答案:①④6.(1999?廣東)直線x+y﹣2=0截圓x2+y2=4得的劣弧所對的圓心角是(
)A. B. C. D.參考答案:C【考點(diǎn)】直線和圓的方程的應(yīng)用.【分析】先求圓心到直線的距離,再求劣弧所對的圓心角.【解答】解:圓心到直線的距離:,圓的半徑是2,劣弧所對的圓心角為60°故選C.【點(diǎn)評】本題考查直線與圓的方程的應(yīng)用,是基礎(chǔ)題.7.若封閉曲線x2+y2+2mx+2=0的面積不小于4π,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為()A.(﹣∞,﹣]∪[,+∞) B.[﹣,]C.(﹣∞,﹣2]∪[2,+∞) D.[﹣2,2]參考答案:A【考點(diǎn)】圓的一般方程.【分析】求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,求出圓的半徑即可.【解答】解:圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+m)2+y2=m2﹣2,則圓的半徑R=,(m2﹣2>0),若封閉曲線x2+y2+2mx+2=0的面積不小于4π,則πR2=π(m2﹣2)≥4π,即m2﹣2≥4,m2≥6,解得m≤﹣或m≥,故選:A【點(diǎn)評】本題主要考查圓的一般方程的應(yīng)用,利用配方法求出圓的半徑是解決本題的關(guān)鍵.8.已知復(fù)數(shù),是的共軛復(fù)數(shù),則·=(
)
A、 B、 C、1 D、參考答案:B略9.復(fù)數(shù)在復(fù)平面對應(yīng)的點(diǎn)在第幾象限
(
) A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限參考答案:D.試題分析:由題意得,復(fù)數(shù)在復(fù)平面對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(-1,2),故其在第四象限,故選D.考點(diǎn):復(fù)平面直角坐標(biāo)系.10.在極坐標(biāo)系中,點(diǎn)M(1,0)關(guān)于極點(diǎn)的對稱點(diǎn)為()A.(1,0) B.(﹣1,π) C.(1,π) D.(1,2π)參考答案:C【考點(diǎn)】Q6:極坐標(biāo)刻畫點(diǎn)的位置.【分析】(ρ,θ)關(guān)于極點(diǎn)的對稱點(diǎn)為(ρ,π+θ).【解答】解:∵(ρ,θ)關(guān)于極點(diǎn)的對稱點(diǎn)為(ρ,π+θ),∴M(1,0)關(guān)于極點(diǎn)的對稱點(diǎn)為(1,π).故選:C.【點(diǎn)評】本題考查一個(gè)點(diǎn)關(guān)于極點(diǎn)的對稱點(diǎn)的求法,是基礎(chǔ)題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意極坐標(biāo)性質(zhì)的合理運(yùn)用.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在△ABC中,若a=3,b=,∠A=,則∠C的大小為________.參考答案:12.已知命題p:函數(shù)在(0,1)內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn);命題q:函數(shù)在(0,+∞)上是減函數(shù),若為真命題,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
.參考答案:13.執(zhí)行右邊的程序框圖,若,,則輸出的
▲
參考答案:14.設(shè)復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位),則的虛部是
.參考答案:-1
略15.關(guān)于x的方程有實(shí)根時(shí),k的取值范圍是.參考答案:[0,1]【考點(diǎn)】根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷.【分析】可化為函數(shù)y=1﹣kx與函數(shù)y=的圖象有交點(diǎn),作圖象求解【解答】解:關(guān)于x的方程有實(shí)根?函數(shù)y=1﹣kx與函數(shù)y=的圖象有交點(diǎn),函數(shù)y=的圖象是圓(x﹣2)2+y2=1(y≥0)的部分,函數(shù)y=1﹣kx過定點(diǎn)(0,1),其圖象如下:結(jié)合圖象可得k的取值范圍是[0,1].故答案為:[0,1]【點(diǎn)評】本題考查了函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用,屬于中檔題.16.若,則=
___________.參考答案:略17.如果函數(shù)y的圖像與曲線恰好有兩個(gè)不同的公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍為______________.參考答案:∪略三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟18.如圖,已知四棱錐P﹣ABCD的底面為菱形,∠BCD=120°,AB=PC=2,AP=BP=.(I)求證:AB⊥PC;(Ⅱ)求二面角B一PC﹣D的余弦值.參考答案:【考點(diǎn)】MT:二面角的平面角及求法;LO:空間中直線與直線之間的位置關(guān)系.【分析】(Ⅰ)取AB的中點(diǎn)O,連接PO,CO,AC,由已知條件推導(dǎo)出PO⊥AB,CO⊥AB,從而AB⊥平面PCO,由此能證明AB⊥PC.(Ⅱ)由已知得OP⊥OC,以O(shè)為原點(diǎn),OC為x軸,OB為y軸,OP為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出二面角B一PC﹣D的余弦值.【解答】(Ⅰ)證明:取AB的中點(diǎn)O,連接PO,CO,AC,∵△APB為等腰三角形,∴PO⊥AB…又∵四邊形ABCD是菱形,∠BCD=120°,∴△ACB是等邊三角形,∴CO⊥AB…又CO∩PO=O,∴AB⊥平面PCO,又PC?平面PCO,∴AB⊥PC
…(Ⅱ)解:∵ABCD為菱形,∠BCD=120°,AB=PC=2,AP=BP=,∴PO=1,CO=,∴OP2+OC2=PC2,∴OP⊥OC,以O(shè)為原點(diǎn),OC為x軸,OB為y軸,OP為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則A(0,﹣1,0),B(0,1,0),C(,0,0),P(0,0,1),D(,﹣2,0),=(,﹣1,0),=(),=(0,2,0),設(shè)平面DCP的法向量=(x,y,z),則,令x=1,得=(1,0,),設(shè)平面PCB的法向量=(a,b,c),,令a=1,得=(1,),cos<>==,∵二面角B一PC﹣D為鈍角,∴二面角B一PC﹣D的余弦值為﹣.19.設(shè)函數(shù),已知是奇函數(shù).(1)求、的值.
(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值.參考答案:解(1),(2)單調(diào)增區(qū)間單調(diào)減區(qū)間當(dāng)時(shí),取極大值,當(dāng)時(shí),取極大值,略20.(15分)已知拋物線C:y2=2x,O為坐標(biāo)原點(diǎn),經(jīng)過點(diǎn)M(2,0)的直線l交拋物線于A,B兩點(diǎn),P為拋物線C上一點(diǎn).(Ⅰ)若直線l垂直于x軸,求|﹣|的值;(Ⅱ)求三角形OAB的面積S的取值范圍.參考答案:(Ⅰ)不妨設(shè)A(2,2),B(2,﹣2),P(,t),則|﹣|=|﹣|=2;(Ⅱ)設(shè)l:x=ky+2,代入y2=2x中,可得y2﹣2ky﹣4=0設(shè)點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),則y1+y2=2k,y1y2=﹣4,∴|AB|=?,∴三角形OAB的面積S=???=2≥4,∴三角形OAB的面積S的取值范圍為[4,+∞).21.設(shè)命題P:“任意x∈R,x2﹣2x>a”,命題Q“存在x∈R,x2+2ax+2﹣a=0”;如果“P或Q”為真,“P且Q”為假,求a的取值范圍.參考答案:(﹣2,+∞)【考點(diǎn)】復(fù)合命題的真假. 【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用. 【分析】由命題P成立,求得a<﹣1,由命題Q成立,求得a≤﹣2,或a≥1.由題意可得p真Q假,或者p假Q(mào)真,故有,或.解這兩個(gè)不等式組,求得a的取值范圍. 【解答】解:由命題P:“任意x∈R,x2﹣2x>a”,可得x2﹣2x﹣a>0恒成立,故有△=4+4a<0,a<﹣1. 由命題Q:“存在x∈R,x2+2ax+2﹣a=0”,可得△′=4a2﹣4(2﹣a)=4a2+4a﹣8≥0, 解得a≤﹣2,或a≥1. 再由“P或Q”為真,“P且Q”為假,可得p真Q假,或者p假Q(mào)真. 故有,或. 求得﹣2<a<﹣1,或a≥1,即a>﹣2. 故a的取值范圍為(﹣2,+∞). 【點(diǎn)評】本題主要考查命題真假的判斷,二次不函數(shù)的性質(zhì),函數(shù)的恒成立問題,體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想,屬于基礎(chǔ)題. 22.(本小題滿分13分)如圖,在直角梯形中,,,,,為上一點(diǎn),且,,現(xiàn)沿折疊使平面平面,為的中點(diǎn).(1)求證:平面;(2)能否在邊上找到一點(diǎn)使平面與平面所成角的余弦值為?若存在,試確定點(diǎn)的位置,若不存在請說明理由.
參考答案:(1)證明:在直角梯形中易求得……2分
∴,故,且折疊后與位置關(guān)系不變……4分
又∵面面
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