山西省忻州市南河溝鄉(xiāng)聯(lián)校2021年高二數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試卷含解析

山西省忻州市南河溝鄉(xiāng)聯(lián)校2021年高二數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.已知為等比數(shù)列，，則．若為等差數(shù)列，，則的類似結(jié)論為（）A．

B．C．

D．參考答案：D略2.設(shè),，，…，，，則＝（

）

A.－

B.

C.－

D.參考答案：C略3.已知，則向量的夾角為（

）

A

B

C

D

參考答案：C4.設(shè)a，b，c∈R+，若(a+b+c)(+)≥k恒成立，則k的最大值是（

）（A）1

（B）2

（C）3

（D）4參考答案：D5.已知集合A={x|（x+1）（x﹣2）≤0}，集合B為整數(shù)集，則A∩B=（）A．{﹣1，0} B．{0，1} C．{﹣2，﹣1，0，1} D．{﹣1，0，1，2}參考答案：D【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算．【分析】由題意，可先化簡集合A，再求兩集合的交集．【解答】解：A={x|（x+1）（x﹣2）≤0}={x|﹣1≤x≤2}，又集合B為整數(shù)集，故A∩B={﹣1，0，1，2}故選D．6.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足關(guān)系式，則的值等于（

）A.2

B.

C.

D.參考答案：D7.設(shè)函數(shù)f（x）=xsinx+cosx的圖象在點(diǎn)（t，f（t））處切線的斜率為k，則函數(shù)k=g（t）的部分圖象為（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】先對函數(shù)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)運(yùn)算，根據(jù)在點(diǎn)（t，f（t））處切線的斜率為在點(diǎn)（t，f（t））處的導(dǎo)數(shù)值，可得答案．【解答】解：∵f（x）=xsinx+cosx∴f′（x）=（xsinx）′+（cosx）′=x（sinx）′+（x）′sinx+（cosx）′=xcosx+sinx﹣sinx=xcosx∴k=g（t）=tcost根據(jù)y=cosx的圖象可知g（t）應(yīng)該為奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時g（t）＞0故選B．8.若直線=1（a＞0，b＞0）過點(diǎn)（1，1），則a+b的最小值等于（）A．2 B．3 C．4 D．5參考答案：C【考點(diǎn)】基本不等式在最值問題中的應(yīng)用．【分析】將（1，1）代入直線得：+=1，從而a+b=（+）（a+b），利用基本不等式求出即可．【解答】解：∵直線=1（a＞0，b＞0）過點(diǎn)（1，1），∴+=1（a＞0，b＞0），所以a+b=（+）（a+b）=2++≥2+2=4，當(dāng)且僅當(dāng)=即a=b=2時取等號，∴a+b最小值是4，故選：C．9.已知函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)任取兩個不相等的實(shí)數(shù)、，若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是(

)A．(－∞,2]

B．

C.

D．參考答案：B10.雙曲線的漸近線的方程是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.現(xiàn)有直徑為d的圓木，要把它鋸成橫斷面為矩形的梁，從材料力學(xué)知道，橫斷面為矩形的梁的強(qiáng)度Q=k?b?h2，（b為斷面寬，h為斷面高，k為常數(shù)），要使強(qiáng)度最大，則高與寬的比是

。參考答案：12.已知向量，，若向量，那么?????。參考答案：13.過拋物線的焦點(diǎn)作傾斜角為的直線與拋物線分別交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在軸上方），則

.參考答案：解法一：記，，準(zhǔn)線為，分別過，作，，則，，再過作于.在中，，，，于是，，故所求為.解法二：，，，，故所求為.14.若x，y滿足約束條件，則z=2x+y的最大值為．參考答案：【考點(diǎn)】簡單線性規(guī)劃．【分析】作出可行域，由目標(biāo)函數(shù)變型得y=﹣2x+z，根據(jù)可行域找出最優(yōu)解即可．【解答】解：作出約束條件表示的可行域如圖所示：由目標(biāo)函數(shù)z=2x+y得y=﹣2x+z，由圖象可知當(dāng)直線y=﹣2x+z經(jīng)過點(diǎn)B時，截距最大，即z最大．解方程組得x=1，y=，即B（1，）．∴z的最大值為2×1+=．故答案為：．15.命題“若，則”的否命題是：__________．參考答案：若，則原命題為“若則”，否命題為“若則”．16.已知xy=4（x＞0，y＞0），x+y的最小值是M，則M=．參考答案：4考點(diǎn)：基本不等式在最值問題中的應(yīng)用．專題：不等式的解法及應(yīng)用．分析：根據(jù)不等式x+y求解即可．解答：解：∵xy=4（x＞0，y＞0），x+y=2=4，（x=y=2時等號成立）∴x+y的最小值是4，故答案為：4點(diǎn)評：本題考查了基本不等式的運(yùn)用，屬于容易題．17.某學(xué)校高一年級男生人數(shù)占該年級學(xué)生人數(shù)的40%.在一次考試中，男、女生平均分?jǐn)?shù)分別是75、80，則這次考試該年級學(xué)生平均分?jǐn)?shù)為___________.參考答案：78略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（12分）已知圓的方程，從0，3，4，5，6，7，8，9，10這九個數(shù)中選出3個不同的數(shù)，分別作圓心的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)和圓的半徑。問：（1）可以作多少個不同的圓？（2）經(jīng)過原點(diǎn)的圓有多少個？（3）圓心在直線上的圓有多少個？

參考答案：解：（1）可分兩步完成：第一步，先選r有中選法，第二步再選a,b有中選法

所以由分步計(jì)數(shù)原理可得有.=448個不同的圓

4分（2）圓經(jīng)過原點(diǎn)滿足

所以符合題意的圓有

8分（3）

圓心在直線上，所以圓心有三組：0，10；3，7；4，6。所以滿足題意的圓共有個

12分略19.已知橢圓C：的離心率為，右頂點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)。（1）求橢圓C的方程；（2）若過點(diǎn)任作一條直線交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，，連接，，求證：．參考答案：（1）拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以橢圓C的右頂點(diǎn)為，因?yàn)闄E圓C的焦點(diǎn)在y軸上，所以。

橢圓C的離心率，所以，所以橢圓C的方程為。

當(dāng)直線的斜率不存在時，由橢圓的對稱性可知。當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為。聯(lián)立方程，得方程。設(shè)，則，。因?yàn)?，，?/p>

因?yàn)?。所以，所以。?0.已知x，y都是正數(shù)．（1）若3x+2y=12，求xy的最大值；（2）若x+2y=3，求的最小值．參考答案：【考點(diǎn)】基本不等式．【分析】（1）由于3x+2y=12，再根據(jù)xy=?3x?2y，利用基本不等式求得xy的最大值．（2）由x+2y=3，得到1=，故=（）（），利用基本不等式求得最小值．【解答】解：（1）∵3x+2y=12，∴xy=?3x?2y≤×（）2=6，當(dāng)且僅當(dāng)3x=2y=6時，等號成立．∴當(dāng)且僅當(dāng)3x=3時，xy取得最大值．（2）∵x+2y=3，∴1=，∴=（）（）=+++≥1+2=1+，當(dāng)且僅當(dāng)=，即x=3﹣3，y=3﹣時取等號，∴最小值為．【點(diǎn)評】本題主要考查基本不等式的應(yīng)用，注意基本不等式的使用條件，以及等號成立的條件，式子的變形是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．21.已知矩形ABCD中，，BC=1．以AB的中點(diǎn)O為原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系xoy． （1）求以A，B為焦點(diǎn)，且過C，D兩點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）過點(diǎn)P（0，2）的直線l與（1）中的橢圓交于M，N兩點(diǎn)，是否存在直線l，使得以線段MN為直徑的圓恰好過原點(diǎn)？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由． 參考答案：【考點(diǎn)】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；直線的一般式方程；直線與圓相交的性質(zhì)；直線與圓錐曲線的綜合問題． 【專題】計(jì)算題；壓軸題． 【分析】（1）由題意可得點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)，設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)題意知2a=AC+BC，求得a，進(jìn)而根據(jù)b，a和c的關(guān)系求得b，則橢圓的方程可得． （2）設(shè)直線l的方程為y=kx+2．與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)判別式大于0求得k的范圍，設(shè)M，N兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為（x1，y1），（x2，y2）．根據(jù)韋達(dá)定理求得x1+x2和x1x2，進(jìn)而根據(jù)若以MN為直徑的圓恰好過原點(diǎn)，推斷則，得知x1x2+y1y2=0，根據(jù)x1x2求得y1y2代入即可求得k，最后檢驗(yàn)看是否符合題意． 【解答】解：（1）由題意可得點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別為． 設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是． 則2a=AC+BC， 即，所以a=2． 所以b2=a2﹣c2=4﹣2=2． 所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是． （2）由題意知，直線l的斜率存在，可設(shè)直線l的方程為y=kx+2． 由得（1+2k2）x2+8kx+4=0． 因?yàn)镸，N在橢圓上， 所以△=64k2﹣16（1+2k2）＞0． 設(shè)M，N兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為（x1，y1），（x2，y2）． 則， 若以MN為直徑的圓恰好過原點(diǎn)，則， 所以x1x2+y1y2=0， 所以，x1x2+（kx1+2）（kx2+2）=0， 即（1+k2）x1x2+2k（x1+x2）+4=0， 所以，，即， 得k2=2， 經(jīng)驗(yàn)證，此時△=48＞0． 所以直線l的方程為，或． 即所求直線存在，其方程為． 【點(diǎn)評】本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程以及直線與橢圓的關(guān)系．在設(shè)直線方程時一定要看斜率的存在情況，最后還要檢驗(yàn)斜率k是否符合題意． 22.如圖，在三棱錐P﹣ABC中，平面APC⊥平面ABC，且PA=PB=PC=4，AB=BC=2．（1）求三棱錐P﹣ABC的體積VP﹣ABC；（2）求直線AB與平面PBC所成角的正弦值．參考答案：【考點(diǎn)】直線與平面所成的角；棱柱、棱錐、棱臺的體積．【分析】（1）取AC中點(diǎn)O，連結(jié)PO，BO，證明OP⊥平面ABC，利用三棱錐的體積公式，即可求三棱錐P﹣ABC的體積VP﹣ABC；（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．求出平面PBC的法向量，利用向量的夾角公式，即可求直線AB與平面PBC所成角的正弦值．【解答】解：（1）取AC中點(diǎn)O，連結(jié)PO，BO，∵PA=PC，AB=BC，∴OP⊥AC，OB⊥AC，又∵平面APC⊥平面ABC，∴OP