山西省大同市平旺鄉(xiāng)中學2023年高二數學理期末試卷含解析

山西省大同市平旺鄉(xiāng)中學2023年高二數學理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.若命題“p∨q”為真，“?p”為真，則（） A．p真q真 B．p假q假 C．p真q假 D．p假q真參考答案：D【考點】復合命題的真假． 【專題】閱讀型． 【分析】本題考查的是復合命題的真假問題．在解答時，可先結合條件“p或q”為真命題判斷p、q的情況，根據?p為真，由此即可獲得p、q的真假情況，得到答案 【解答】解：由題意可知：“p∨q”為真命題， ∴p、q中至少有一個為真， ∵?p為真， ∴p、q全為真時，p且q為真，即“p且q為真”此時成立； 當p假、q真， 故選D． 【點評】本題考查的是復合命題的真假問題．在解答的過程當中充分體現了命題中的或非關系．值得同學們體會反思．屬基礎題． 2.設（1+i)=1+,其中x，y為實數，則=（

）A.1 B. C. D.2參考答案：B【分析】根據復數相等的充要條件，求得，再由復數模的計算公式，即可求解.【詳解】由題意知，復數滿足，可得，解得，所以，故選B.【點睛】本題主要考查了復數相等的充要條件，以及復數模的計算，其中解答中熟記復數相等的充要條件和復數模的計算公式，準確計算是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.3.如圖正方體，在下底面中到直線和距離相等的點的軌跡（）A．直線

B．橢圓

C．拋物線

D．雙曲線參考答案：D略4.定義為個正數的“均倒數”.若已知正數數列的前項的“均倒數”為,又,則(

)A.

B.

C.

D.

參考答案：C5.曲線y=與直線y=x﹣1及x=4所圍成的封閉圖形的面積為（）A．2ln2 B．2﹣ln2 C．4﹣ln2 D．4﹣2ln2參考答案：D【考點】67：定積分．【分析】作出函數的圖象，可得圍成的封閉圖形為曲邊三角形ABC，它的面積可化作梯形ABEF的面積與曲邊梯形BCEF面積的差，由此結合定積分計算公式和梯形面積公式，不難得到本題的答案．【解答】解：令x=4，代入直線y=x﹣1得A（4，3），同理得C（4，）由=x﹣1，解得x=2，所以曲線y=與直線y=x﹣1交于點B（2，1）∴SABC=S梯形ABEF﹣SBCEF而SBCEF=dx=2lnx|=2ln4﹣2ln2=2ln2∵S梯形ABEF=（1+3）×2=4∴封閉圖形ABC的面積SABC=S梯形ABEF﹣SBCEF=4﹣2ln2故選D【點評】本題利用定積分計算公式，求封閉曲邊圖形的面積，著重考查了利用積分公式求原函數和定積分的幾何意義等知識，屬于基礎題．6.若直線被圓所截得的弦長為,則實數a的值為（

）

A

–1或

B

1或3

C

–2或6

D

0或4參考答案：D7.已知等比數列中，有，數列是等差數列，且，則A．2B．4C．8D．16參考答案：C略8.若則的值為（

）

參考答案：C9.設不等式組表示的平面區(qū)域為，在區(qū)域內隨機取一個點，則此點到坐標原點的距離小于等于2的概率是（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：A平面區(qū)域的面積為4，到坐標原點的距離小于等于2的點所到區(qū)域為，有幾何概型的概率公式可知區(qū)域內一個點到坐標原點的距離小于等于2的概率為．10.執(zhí)行右圖程序中，若輸出y值為1，則輸入x的值為A．0

B．1

C．0或1

D．－1，0或1參考答案：C由題意得或，解得x＝1或x＝0，故選C．考點：程序框圖．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若復數()，則_________。參考答案：【分析】由復數相等的充要條件，求得，進而利用復數的化簡，即可求解．【詳解】由題意，復數滿足，所以，解得，所以復數．【點睛】本題主要考查了復數相等的條件，以及復數的運算，其中解答中熟記復數相等的條件和復數的四則運算是解答的關鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎題．12.已知函數是奇函數，則的值等于

.

參考答案：-113.對于三次函數，定義：是函數的導數的導數，若方程有實數解，則稱點為函數的“拐點”.有同學發(fā)現：任何一個三次函數都有“拐點”，任何一個三次函數都有對稱中心，且“拐點”就是“對稱中心”.請你將這一發(fā)現作為條件，則函數的對稱中心為__________.參考答案：，，令，得.又，所以的對稱中心為.14.一個五位數滿足且(如37201,45412)，則稱這個五位數符合“正弦規(guī)律”．那么，其中五個數字互不相同的五位數共有

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個．參考答案：略15.已知數列的前項和，則數列的通項公式為____________。參考答案：略16.函數的最大值為__________.參考答案：17.若點O和點F分別為橢圓+=1的中心和左焦點,點P為橢圓上的任意一點,則·的最大值為.參考答案：6三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數f（x）=﹣x2+ax+1﹣lnx．（Ⅰ）當a=3時，求函數f（x）的單調遞增區(qū)間；（Ⅱ）若f（x）在區(qū)間（0，）上是減函數，求實數a的取值范圍．參考答案：【考點】函數單調性的性質；函數的單調性及單調區(qū)間．【分析】（1）求單調區(qū)間，先求導，令導函數大于等于0即可．（2）已知f（x）在區(qū)間（0，）上是減函數，即f′（x）≤0在區(qū)間（0，）上恒成立，然后用分離參數求最值即可．【解答】解：（Ⅰ）當a=3時，f（x）=﹣x2+3x+1﹣lnx∴解f′（x）＞0，即：2x2﹣3x+1＜0函數f（x）的單調遞增區(qū)間是．（Ⅱ）f′（x）=﹣2x+a﹣，∵f（x）在上為減函數，∴x∈時﹣2x+a﹣≤0恒成立．即a≤2x+恒成立．設，則∵x∈時，＞4，∴g′（x）＜0，∴g（x）在上遞減，∴g（x）＞g（）=3，∴a≤3．19.設命題p：實數x滿足x2－4ax＋3a2<0，其中a>0，命題q：實數x滿足.（1）若a＝1，且p∧q為真，求實數x取值范圍；（2）若p是q的充分不必要條件，求實數a的取值范圍.參考答案：解：（1）當a＝1時，由x2－4x＋3<0，得：1<x<3······①，又由得：，∴2<x≤3······②，∴由①②得：2<x<3，∴x的取值范圍為（2，3）.（2）∵p：x2－4ax＋3a2<0，即(x－a)(x－3a)<0（a>0），∴a<x<3a，∴p：x≤a或x≥3a；設A＝（－∞，a]∪[3a，＋∞）；又q：x≤2或x>3，設B＝（－∞，2]∪（3，＋∞），由p是q的充分不必要條件，得：AB，∴，∴1<a≤2，∴實數a的取值范圍為（1，2].

略20.（本小題14分）已知定義在[－1，1]上的奇函數，當時，．（Ⅰ）試用函數單調性定義證明：在上是減函數；（Ⅱ）若，，求實數的取值范圍；（Ⅲ）要使方程在[－1，1]上恒有實數解，求實數b的取值范圍．參考答案：解：（Ⅰ）．證：任設，則．，．，即∴在上是減函數.．

……4分

（Ⅱ）由

得：

……8分（Ⅲ）記，則為上的單調遞減函數．∴．∵在[－1，1]上為奇函數，∴當時．又，∴，即．

……14分略21.已知函數f（x）=﹣x3+3x2+9x+a．（Ⅰ）求f（x）的單調遞減區(qū)間；（Ⅱ）若f（x）在區(qū)間[﹣2，2]上的最大值為20，求它在該區(qū)間上的最小值．參考答案：【考點】6B：利用導數研究函數的單調性；6E：利用導數求閉區(qū)間上函數的最值．【分析】（I）先求出函數f（x）的導函數f′（x），然后令f′（x）＜0，解得的區(qū)間即為函數f（x）的單調遞減區(qū)間；（II）先求出端點的函數值f（﹣2）與f（2），比較f（2）與f（﹣2）的大小，然后根據函數f（x）在[﹣1，2]上單調遞增，在[﹣2，﹣1]上單調遞減，得到f（2）和f（﹣1）分別是f（x）在區(qū)間[﹣2，2]上的最大值和最小值，建立等式關系求出a，從而求出函數f（x）在區(qū)間[﹣2，2]上的最小值．【解答】解：（I）f′（x）=﹣3x2+6x+9．令f′（x）＜0，解得x＜﹣1或x＞3，所以函數f（x）的單調遞減區(qū)間為（﹣∞，﹣1），（3，+∞）．（II）因為f（﹣2）=8+12﹣18+a=2+a，f（2）=﹣8+12+18+a=22+a，所以f（2）＞f（﹣2）．因為在（﹣1，3）上f′（x）＞0，所以f（x）在[﹣1，2]上單調遞增，又由于f（x）在[﹣2，﹣1]上單調遞減，因此f（2）和f（﹣1）分別是f（x）在區(qū)間[﹣2，2]上的最大值和最小值，于是有22+a=20，解得a=﹣2．故f（x）=﹣x3+3x2+9x﹣2，因此f（﹣1）=1+3﹣9﹣2=﹣7，即函數f（x）在區(qū)間[﹣2，2]上的最小值為﹣7．22.已知函數f（x）=x2++1．（Ⅰ）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線y=1平行，求a的值；（Ⅱ）若0＜a＜2，求函數f（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值．參考答案：【考點】6H：利用導數研究曲線上某點切線方程；6E：利用導數求閉區(qū)間上函數的最值．【分析】（Ⅰ）求得函數的導數，由兩直線平行的條件：斜率相等，可得切線的斜率，解方程可得a的值；（Ⅱ）求得f（x）的導數，討論a的范圍，當0＜a≤1時，當1＜a＜2時，求得單調區(qū)間，即可得到所求最小值．【解答】解：（Ⅰ）函數f（x）=x2++1的導數為f′（x）=2x﹣，在點（1，f（1））處的切線與直線y=1平行，可得2﹣2a3=0，解得a=1；（Ⅱ）f（x）的導數為f′（x）=2x﹣=，由x∈[1，2]，當0＜a≤1