光波在介質(zhì)波導(dǎo)中的傳播

第六章光波在介質(zhì)波導(dǎo)中的傳播1.薄膜介質(zhì)波導(dǎo)一般概念介質(zhì)薄膜波導(dǎo)如圖，均勻介質(zhì)薄膜波導(dǎo)的的縱向剖面，由三層均勻介質(zhì)構(gòu)成。一般地設(shè)定即襯底及覆蓋敷層。中層折射率為厚度為另外兩層折射率分別為為限制光波于介質(zhì)中間傳導(dǎo)層中，應(yīng)使薄膜波導(dǎo)的橫向?qū)挾龋▂向）一般比薄膜波導(dǎo)的厚度大得多，也比光波波長(zhǎng)大得多，因此可以認(rèn)為薄膜波導(dǎo)是無(wú)限寬，光波在y方向上不受限制。下面用射線法和波動(dòng)理論法來(lái)分析薄膜波導(dǎo)。射線法是把波導(dǎo)中的波看作是均勻平面波在薄膜兩個(gè)界面上全反射而形成的，故界面Ⅰ、Ⅱ上的入射角應(yīng)滿足若則取為波導(dǎo)的臨界角。波動(dòng)理論法則是把薄膜波導(dǎo)中的波看作是滿足介質(zhì)平板波導(dǎo)邊界條件的麥克斯韋方程組的解。此時(shí)，在波導(dǎo)的中間介質(zhì)層中波以行波傳輸，襯底和覆蓋層中則是一種倏逝波，光波能量就是由介質(zhì)表面引導(dǎo)下在波導(dǎo)內(nèi)傳輸?shù)?，此時(shí)所傳輸?shù)牟ǚQ之為導(dǎo)行波。若當(dāng)入射角小于臨界角時(shí)，一部分能量由界面折射后不再回到介質(zhì)n1中，此時(shí)無(wú)法導(dǎo)行光波。這種波成為輻射波。特征方程及橫向諧振特性按射線法的原則，光波在薄膜波導(dǎo)中向z方向傳播可看作是無(wú)限大均勻平面波在界面Ⅰ及Ⅱ上依次反射，形成之字形傳播路徑。如圖，薄膜波導(dǎo)中光的入射面為xoz平面。2.射線法分析薄膜波導(dǎo)考察某一時(shí)刻經(jīng)A反射后向下傳播的平面波，其波陣面到達(dá)(MC所示)，而面又是在前一時(shí)刻傳播的平面波經(jīng)B反射到達(dá)界面Ⅰ，又經(jīng)C反射后的面上重疊會(huì)產(chǎn)生干涉，只有當(dāng)兩波相位差的平面波波陣面。這兩個(gè)波在時(shí)，干涉加強(qiáng)，方可在波導(dǎo)內(nèi)形成振蕩，即可以在波導(dǎo)內(nèi)存在并傳為播。這兩個(gè)波之間的相位差可以求得對(duì)S波對(duì)P波當(dāng)滿足干涉加強(qiáng)條件時(shí)，式中，是傳輸光波在真空中的波數(shù)；是介質(zhì)波導(dǎo)的中間層折射率；為波導(dǎo)內(nèi)的入射角。上式稱為薄膜波導(dǎo)的特征方程，或叫作薄膜波導(dǎo)的色散方程。特征方程中表示了電磁波在橫跨薄膜（即沿x方向）時(shí)的相位差。是波在界面上的相位躍變，因此，薄膜波導(dǎo)的特征方程表示了由波導(dǎo)中某點(diǎn)出發(fā)沿波導(dǎo)橫的整數(shù)倍。這使向往復(fù)一次回到原處，總的相位變化應(yīng)是原來(lái)的波加強(qiáng)，即相當(dāng)于波在波導(dǎo)的橫向諧振，因而成為波導(dǎo)的橫向諧振條件。不僅薄膜波導(dǎo)，任意波導(dǎo)都具橫向諧振特性。波導(dǎo)中含三種色散材料色散模式色散波導(dǎo)色散指波導(dǎo)介質(zhì)材料本身的色散，即當(dāng)折射率隨入射光波波長(zhǎng)變化所帶來(lái)的色散。在多模介質(zhì)波導(dǎo)中，一個(gè)信號(hào)同時(shí)激發(fā)不同的模式，即使是同一頻率，各模式的群速度也是不同的。為滿足特征方程，對(duì)同一個(gè)m值即同一個(gè)波導(dǎo)模，不同的波長(zhǎng)對(duì)應(yīng)于不同的入射角。這就是說(shuō)，對(duì)于不同波長(zhǎng)的光，即使沒(méi)有材料色散存在，但由于波導(dǎo)的諧振條件的要求，波在波導(dǎo)內(nèi)經(jīng)過(guò)一段距離傳輸后，將因?yàn)槿肷浣遣煌哂胁煌南辔弧⒊錾浣羌俺錾洳▽?dǎo)的時(shí)間，因此將引起信號(hào)失真。導(dǎo)波的模式由特征方程可對(duì)給定波導(dǎo)及工作波長(zhǎng)對(duì)某一個(gè)求出形成導(dǎo)波的值。特征方程中的確定可取不同的值，相應(yīng)于不同的值，與此相應(yīng)的一個(gè)角入射的平面波形成一個(gè)導(dǎo)波模式?；虍?dāng)E矢量或H矢量垂直入射面作振動(dòng)，即時(shí)，分別得到TE?；騎M模。當(dāng)時(shí)，分別可得模，表明各模式的階數(shù)，稱為波指數(shù)。當(dāng)時(shí)，即其場(chǎng)沿x方向變化不足半個(gè)駐波。當(dāng)時(shí)，其場(chǎng)沿x方向變化不足兩個(gè)“半駐波”。m越大，導(dǎo)波的模次越高，m表示了導(dǎo)波場(chǎng)沿x方向（薄膜橫向）出現(xiàn)的完整半駐波個(gè)數(shù)。由特征方程還可以看出，在其他條件不變的情況下，當(dāng)m增加時(shí)，減小。這表明高次模是由入射角較小的平面波構(gòu)成的。當(dāng)較小時(shí)，平面波的射線傾斜比較嚴(yán)重，其橫向相位常數(shù)大，駐波密集。導(dǎo)波模式的橫向相位常數(shù)導(dǎo)波模式的軸向相位常數(shù)對(duì)于給定的波導(dǎo)和工作波長(zhǎng)，模次越高，越小，因而越小。在電磁場(chǎng)解法中將把所有模式中，記為模次最低，故最大。波導(dǎo)的截止波長(zhǎng)在射線法中，截止波長(zhǎng)可直接由全反射的臨界角求得。按假定決定臨界角由下面襯底的折射率當(dāng)處于臨界狀態(tài)時(shí)，界面Ⅱ上的相位躍變即剛剛發(fā)生全反射時(shí)的臨界狀態(tài)的入射角可得：對(duì)S波并且，同樣應(yīng)用上式于色散方程，并把得到的代入，可得以及由上式可求得不同模式下的截止波長(zhǎng)得對(duì)TE0模，時(shí)當(dāng)由此可見(jiàn)，高階模的臨界波長(zhǎng)更小些。對(duì)傳輸工作波長(zhǎng)的幾種情況討論如下：（1）此光波大于0階的臨界波長(zhǎng)，此波不能在波導(dǎo)內(nèi)傳播。（2）此時(shí)只有的零階?？梢詡鬏敚磫文＿\(yùn)行。（3）這樣的光波對(duì)及階模均可被傳輸，發(fā)生多模傳輸。還需指出，對(duì)于對(duì)稱薄膜波導(dǎo)可以得到，這說(shuō)明對(duì)稱波導(dǎo)沒(méi)有截止波長(zhǎng)，任何波長(zhǎng)的波均可在對(duì)稱波導(dǎo)內(nèi)傳播。這時(shí)特征方程變成由此可算出對(duì)波長(zhǎng)為的光波，該波導(dǎo)內(nèi)所允許傳播的模式個(gè)數(shù)為雖然射線法討論薄膜波導(dǎo)物理概念清楚易懂，獲得了有價(jià)值的結(jié)論，這些結(jié)論不僅適用于薄膜波導(dǎo)，對(duì)認(rèn)識(shí)其他形式的介質(zhì)波導(dǎo)也是很有價(jià)值的。但對(duì)更詳細(xì)的場(chǎng)分布、傳輸功率、場(chǎng)方程等問(wèn)題就無(wú)法解決。因此必須要用另一種方法—應(yīng)用電磁場(chǎng)理論—來(lái)求電磁波在介質(zhì)波導(dǎo)這樣一種特殊邊界條件下的波動(dòng)方程解，在此基礎(chǔ)上再去分析傳播模的特性。用電磁理論分析薄膜介質(zhì)波導(dǎo)，就是求滿足邊界條件時(shí)麥克斯韋方程的解，在定態(tài)條件下就是求解亥姆霍茲方程在此基礎(chǔ)上再分析其特性。3.用電磁理論求解薄膜介質(zhì)波導(dǎo)薄膜波導(dǎo)中的TE波和TM波在介質(zhì)波導(dǎo)中的波型也可以存在TE波和TM波。按照定義，TE波的E矢量在波導(dǎo)的橫截面上，在傳播方向（z方向）上只有磁場(chǎng)分量。而TM波的H矢量在波導(dǎo)的橫截面上，在傳播方向上只有電場(chǎng)分量。TE波(a)和TM波(b)的形成可以認(rèn)為，薄膜中的TE波是由垂直偏振的平面波即S波在薄膜邊界上反射而成，而TM波是由E為水平偏振（在入射面內(nèi)振動(dòng)）的平面波即P波在邊界上反射而成。對(duì)于TE波，其電場(chǎng)只有Ey分量(Ez=0)，磁場(chǎng)包括了Hx、Hz分量。而TM波其磁場(chǎng)只有Hy分量(Hz=0)，而電場(chǎng)包括了Ex、Ez分量?？梢杂蓵r(shí)諧電磁場(chǎng)的麥克斯韋第一、二方程討論對(duì)于所討論的各向同性的均勻介質(zhì)，都是標(biāo)量，把E、H用直角坐標(biāo)下的三分量代入后展開(kāi)，可得到以下公式。針對(duì)現(xiàn)在討論的無(wú)窮大平板介質(zhì)波導(dǎo)，考慮到y(tǒng)方向無(wú)限大，場(chǎng)在該方向不受限制，因而可得又考慮到光是沿z向傳輸，沿該方向場(chǎng)的變化可用一個(gè)傳輸因子來(lái)表示。為了普適地討論為電磁波在三層介質(zhì)中的情況，記表示實(shí)波矢的z分量。由此得到導(dǎo)波的傳播因子因而有式中是z方向的相位常數(shù)。將上述關(guān)系代入方程組，可得到6個(gè)標(biāo)量方程。這6個(gè)標(biāo)量方程又可分為兩組，一組只含Ey,Hx,

Hz三個(gè)分量，另一組只含Hy,Ex,Ez三個(gè)分量，即這兩組方程是完全獨(dú)立的，可分別求解，得出兩組獨(dú)立的解。第一組方程中電場(chǎng)矢量只包含了Ey分量，因而解得的是TE模；第二組方程的磁場(chǎng)矢量只包含了Hy分量，因而解出的是TM模。對(duì)于TE模，求出Ey分量后，可以求得對(duì)于TM模，求出Hy分量后，可以求得因此，求解薄膜介質(zhì)波導(dǎo)問(wèn)題歸結(jié)為T(mén)E模的Ey分量及TM模的Hy分量。波導(dǎo)的場(chǎng)方程及其解TE波對(duì)TE波應(yīng)先求出Ey，由TE波的振動(dòng)在波導(dǎo)的橫截面上，即僅具Ey可寫(xiě)出其電場(chǎng)矢量為分量，并考慮到在z方向的傳播，具有傳播因子為y方向單位矢量。其中將上式代入亥姆霍茲方程，可得式中，角標(biāo)表示對(duì)應(yīng)于介質(zhì)波導(dǎo)的三層介質(zhì)，其對(duì)應(yīng)的折射率分別為為不同介質(zhì)中的波數(shù)，它們的關(guān)系可表示為或于是可寫(xiě)出在三層介質(zhì)中的亥姆霍茲方程其振幅應(yīng)可預(yù)見(jiàn)：在中間薄膜層是駐波解，可用余弦函數(shù)表示；在襯底按前面的分析我們已知，導(dǎo)波在z方向按傳播。而在橫向，于是有及覆蓋層是倏逝波，應(yīng)是衰減解。將上式各區(qū)域中Ey的表達(dá)式代入對(duì)應(yīng)的各亥姆霍茲方程，可得由于都必須是正實(shí)數(shù)，這就限定這與用射線得出的結(jié)果是一致的。射線法中由及得由為臨界角，可得此處約定下面再利用邊界條件進(jìn)一步求解常數(shù)薄膜波導(dǎo)的邊界條件為：在處，切向分量連續(xù)，切向分量也連續(xù)，由此得也連續(xù)?？傻茫涸诩刺?，在連續(xù)，即處，得這樣可得在連續(xù)，即處，在連續(xù)，即處，因此，只要求出就可求出其他各量。A1可以由輸入波導(dǎo)的導(dǎo)波功率確定。通過(guò)以上耦合方程組可以得到參照S波在Ⅰ、Ⅱ界面上全反射相位躍變的公式，并考慮到及可知上式左邊的后兩項(xiàng)正是S波的相位躍變之半，因此上式可寫(xiě)為或這就是薄膜波導(dǎo)特征方程。波導(dǎo)的場(chǎng)方程及其解TM波（略）對(duì)于TM波，應(yīng)先求出TM模的電磁分量為其做法完全類似于TE波求解。寫(xiě)出磁場(chǎng)矢量為代入以下的亥姆霍茲方程，得到依照TE模推導(dǎo)，設(shè)在三層介質(zhì)中具有如下不同形式，即的解為考慮到薄膜波導(dǎo)的邊界條件：在上、下界面上及連續(xù)，在下界面處以及處即連續(xù)，得即在上界面處，且在處有連續(xù)，得以下推到完全類似于TE波，導(dǎo)出的表達(dá)式及場(chǎng)分布與TE模形式相同，其特征方程也有相同的形式只不過(guò)式中與表達(dá)式應(yīng)當(dāng)取作P波的全反射時(shí)的相位躍變表達(dá)式。因此，波指數(shù)相同的TE模和TM模的是不同的，從而求解出波的參數(shù)也不同。另外，從TE波（或TM波）求解過(guò)程中也可以看出，上式中的正是界面上Ⅱ的相位躍變半角它是決定場(chǎng)分布極大值位置的參量。圖解法求解特征方程薄膜波導(dǎo)特征方程只能通過(guò)圖解法或數(shù)值法求解。以TE模為例，上式可改寫(xiě)為式中為中間層折射率，及分別為基底及覆蓋層折射率。利用三角公式可得，為將上式右端化為的函數(shù)可以利用以下關(guān)系式可得，因此，特征方程的解就是由與的交點(diǎn)，如圖與實(shí)線的交點(diǎn)。從左到右各交點(diǎn)（原點(diǎn)除外）相應(yīng)于各階模的解，的值，若薄膜厚度從這些交點(diǎn)的橫坐標(biāo)確定出已知，則通過(guò)求得模的傳播常數(shù)截止波長(zhǎng)導(dǎo)波的截止波長(zhǎng)也可從電磁場(chǎng)解法中導(dǎo)出。從射線法觀點(diǎn)看，出現(xiàn)襯底輻射模的標(biāo)志是而從電磁理論的觀點(diǎn)看，出現(xiàn)襯底輻射模意味著為虛數(shù)，此時(shí)由原來(lái)的振幅沿x方向衰減的倏逝波變?yōu)橛纱淼妮椛洳?，即在介質(zhì)中有向x方向傳播的行波存在，這時(shí)能得量從泄漏，此波便無(wú)法在薄膜波導(dǎo)中傳播，因此就是確定截止波長(zhǎng)的條件。由可見(jiàn)，截止時(shí)傳播常數(shù)等于介質(zhì)2中的波數(shù)。于是有可以得到將以上二式代入特征方程，并考慮到可得截止波長(zhǎng)這與用射線法求出的結(jié)果完全一致。以TE波為例，薄膜波導(dǎo)中TE波的分量為以及薄膜波導(dǎo)中的特征方程可以求出，它們是小于零的數(shù)。4.介質(zhì)薄膜波導(dǎo)中的場(chǎng)分布對(duì)于TE0?？芍梢?jiàn)，橫跨薄膜的相位變化即場(chǎng)沿x方向的變化不足半個(gè)駐波。由以上公式可以得到按邊界條件：處，處，（3）中間層中，場(chǎng)變化極大值在處，即滿足故有且由可知在界面Ⅰ上的相位移動(dòng)大于下界面的相移即代入上式這意味著場(chǎng)分布的極大值（波腹）偏向襯底。（4）由及且可知這表示場(chǎng)在覆蓋層中衰減得比在下襯底中快。由以上四點(diǎn)，可以畫(huà)出模在波導(dǎo)截面上場(chǎng)分布情況，如圖所示。中間層場(chǎng)在x向變化不足兩個(gè)“半駐波”，階數(shù)m越大，在覆蓋層及襯底類似地還可以導(dǎo)出模場(chǎng)分布特征，如對(duì)波，中振幅衰減越緩慢，即能量在和二介質(zhì)中延伸部分越多，能量越分散。導(dǎo)波的傳輸功率就是通過(guò)波導(dǎo)橫截面的功率。由于薄膜波導(dǎo)在y方向是無(wú)限寬，故只計(jì)算在y方向上單位寬度上傳輸?shù)墓β?，即?jì)算的條形面積上傳輸?shù)墓β省挾葹?，高度（x方向上）為類似于金屬導(dǎo)波中的求法，傳輸?shù)墓β实扔谠谝蟮慕孛嫔系姆e分，即對(duì)于TE波，且考慮到單位寬度的條形面積則得5.介質(zhì)平面波導(dǎo)中的傳輸功率把在x上分布的公式代入上式，進(jìn)行分段積分，得其中是單位寬度的波導(dǎo)傳輸?shù)钠骄β拭芏龋礊榈刃Ш穸?。表示衰減到處的深度，這一深度正是全反射中的倏逝波的穿透深度因此，傳輸功率可以看作是在厚度為的平板波導(dǎo)中以平均功率密度傳輸。而x方向上實(shí)際傳輸功率是變化的，在波腹處傳輸?shù)墓β拭芏葮O大值為對(duì)于TM波，利用求得單位寬度的介質(zhì)薄膜波導(dǎo)傳輸功率其中上式在形式上與TE波類似，但要注意的是，其中的等效厚度與TE波中的值不同，這是因?yàn)閷?duì)于TE波與TM波，與的數(shù)值不同，從而由特征方程對(duì)同一個(gè)m值及值將有不同的值，這是使的值對(duì)于P波與S波均不同而造成的。同樣我們也可以證明，等效厚度中的和就是全反射中用古斯-漢森位移所求出來(lái)的倏逝穿透深度。介質(zhì)平板波導(dǎo)中的古斯-漢森位移及穿透深度6.圓形介質(zhì)波導(dǎo)（光纖）的一般概念（a）均勻光纖；（b）非均勻光纖在均勻光纖中可以存在兩種光射線：子午光線—光線處在過(guò)光纖軸線的子午面內(nèi)；孤矢光線—不通過(guò)光纖軸的光線。對(duì)于子午光線，入射角應(yīng)滿足全反射條件此時(shí)方可在光纖中傳播。芯層與包層折射率之差直接影響到光纖的性能。引入幾個(gè)常用的概念：（1）相對(duì)折射率指數(shù)差對(duì)于相差極小的光纖，相對(duì)折射率指數(shù)差可近似為這種光纖稱為弱導(dǎo)波光纖。（2）數(shù)值孔徑NA數(shù)值孔徑是描寫(xiě)允許進(jìn)入光纖芯內(nèi)形成導(dǎo)波的光線范圍參數(shù)。如圖。設(shè)光線以與光軸成角度方向從光纖端面入射，設(shè)光纖外的環(huán)境折射率為