高中數(shù)學(xué)北師大版第三章指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù) 全國一等獎(jiǎng)

(本欄目內(nèi)容，在學(xué)生用書中以獨(dú)立形式分冊裝訂！)一、選擇題(每小題5分，共20分)1．f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，當(dāng)x∈(4，＋∞)時(shí)，對三個(gè)函數(shù)的增長速度進(jìn)行比較，下列選項(xiàng)中正確的是()A．f(x)>g(x)>h(x) B．g(x)>f(x)>h(x)C．g(x)>h(x)>f(x) D．f(x)>h(x)>g(x)解析：畫出函數(shù)的圖像，當(dāng)x∈(4，＋∞)時(shí)，指數(shù)函數(shù)的圖像位于二次函數(shù)圖像的上方，二次函數(shù)的圖像位于對數(shù)函數(shù)圖像的上方，故g(x)>f(x)>h(x)．答案：B2．設(shè)x∈(0，1)時(shí)，y＝xp(p∈Z)的圖像在直線y＝x的上方，則p的取值范圍是()A．p≥0 B．0<p<1C．p<1且p≠0 D．p>1解析：當(dāng)p<0時(shí)，f(x)＝xp＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))eq\s\up12(－p)，在(0，1)上單調(diào)遞減，∴y>f(1)＝1在直線y＝x上面，故只有C正確．答案：C3．某種細(xì)菌經(jīng)60分鐘培養(yǎng)，可繁殖為原來的2倍，且知該細(xì)菌的繁殖規(guī)律為y＝10ekt，其中k為常數(shù)，t表示時(shí)間(單位：小時(shí))，y表示細(xì)菌個(gè)數(shù)，10個(gè)細(xì)菌經(jīng)過7小時(shí)培養(yǎng)，細(xì)菌能達(dá)到的個(gè)數(shù)為()A．640 B．1280C．2560 D．5120解析：由題意可知，當(dāng)t＝0時(shí)，y＝10，當(dāng)t＝1時(shí)，y＝10ek＝20，可得ek＝2.故10個(gè)細(xì)菌經(jīng)過7小時(shí)培養(yǎng)，能達(dá)到的細(xì)菌個(gè)數(shù)為10e7k＝10×(ek)7＝1280.答案：B4．某山區(qū)加強(qiáng)環(huán)境保護(hù)，綠色植被的面積每年都比上一年增長%，若原來綠色植被的面積為1，那么，經(jīng)過x年，綠色植被面積可增長為原來的y倍，則函數(shù)y＝f(x)的大致圖像為()解析：y＝，指數(shù)增長型函數(shù)．答案：D二、填空題(每小題5分，共10分)5．近幾年由于北京房價(jià)的上漲，引起了二手房市場交易的火爆．房子沒有什么變化，但價(jià)格卻上漲了，小張?jiān)?023年以15萬元的價(jià)格購得一所新房子，假設(shè)這10年來價(jià)格年增長率不變，那么到2023年，這所房子的價(jià)格y(萬元)與價(jià)格年增長率x之間的函數(shù)關(guān)系式是____________．解析：1年后，y＝15(1＋x)；2年后，y＝15(1＋x)2；3年后，y＝15(1＋x)3，…，10年后，y＝15(1＋x)10.答案：y＝15(1＋x)106．已知元素“碳14”每經(jīng)過5730年，其質(zhì)量就變成原來的一半．現(xiàn)有一文物，測得其中“碳14”的殘存量為原來的41%，此文物距現(xiàn)在約有________年．(注：精確到百位數(shù)，lg2＝0，lg＝解析：設(shè)距現(xiàn)在為x年，則有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up6(\f(x,5730))＝41%，兩邊取對數(shù)，利用計(jì)算器可得x≈7400.答案：7400三、解答題(每小題10分，共20分)7．某化工廠生產(chǎn)一種溶液，按市場要求，雜質(zhì)含量不能超過%，若初時(shí)含雜質(zhì)2%，每過濾一次可使雜質(zhì)含量減少eq\f(1,3)，問至少應(yīng)過濾幾次才能使產(chǎn)品達(dá)到市場要求？(已知：lg2＝0，lg3＝1)解析：依題意，得eq\f(2,100)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(n)≤eq\f(1,1000)，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(n)≤eq\f(1,20).則n(lg2－lg3)≤－(1＋lg2)，故n≥eq\f(1＋lg2,lg3－lg2)≈，考慮到n∈N，即至少要過濾8次才能達(dá)到市場要求．8．某公司擬投資100萬元，有兩種投資方案可供選擇：一種是年利率為10%，按單利計(jì)算，5年后收回本金和利息；另一種是年利率為9%，按每年復(fù)利一次計(jì)算，5年后收回本金和利息．哪一種投資更有利？這種投資比另一種投資5年可多得利息多少元？(結(jié)果精確到萬元)解析：本金100萬元，年利率為10%，按單利計(jì)算，5年后的本息和是100×(1＋10%×5)＝150(萬元)．本金100萬元，年利率為9%，按每年復(fù)利一次計(jì)算，5年后的本息和是100×(1＋9%)5≈(萬元)．由此可見，按年利率為9%每年復(fù)利一次計(jì)算的投資方式要比按年利率為10%單利計(jì)算的更有利，5年后多得利息萬元．eq\x(尖子生題庫)☆☆☆9．(10分)現(xiàn)有某種細(xì)胞100個(gè)，其中占總數(shù)eq\f(1,2)的細(xì)胞每小時(shí)分裂一次，即由1個(gè)細(xì)胞分裂為2個(gè)細(xì)胞，按這種規(guī)律發(fā)展下去，經(jīng)過多少小時(shí)，細(xì)胞總數(shù)可以超過1010個(gè)？(參考數(shù)據(jù)：lg3＝，lg2＝解析：現(xiàn)有細(xì)胞100個(gè)，先考慮經(jīng)過1，2，3，4個(gè)小時(shí)后的細(xì)胞總數(shù)；1h后，細(xì)胞總數(shù)為eq\f(1,2)×100＋eq\f(1,2)×100×2＝eq\f(3,2)×100；2h后，細(xì)胞總數(shù)為eq\f(1,2)×eq\f(3,2)×100＋eq\f(1,2)×eq\f(3,2)×100×2＝eq\f(9,4)×100；3h后，細(xì)胞總數(shù)為eq\f(1,2)×eq\f(9,4)×100＋eq\f(1,2)×eq\f(9,4)×100×2＝eq\f(27,8)×100；4h后，細(xì)胞總數(shù)為eq\f(1,2)×eq\f(27,8)×100＋eq\f(1,2)×eq\f(27,8)×100×2＝eq\f(81,16)×100.可見，細(xì)胞總數(shù)y與時(shí)間x(h)之間的函數(shù)關(guān)系為y＝100×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(x)，x∈N＋.由100×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(x)>1010，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,