高中數(shù)學北師大版第三章指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù) 全國一等獎

(本欄目內容，在學生用書中以獨立形式分冊裝訂！)一、選擇題(每小題5分，共20分)1．f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，當x∈(4，＋∞)時，對三個函數(shù)的增長速度進行比較，下列選項中正確的是()A．f(x)>g(x)>h(x) B．g(x)>f(x)>h(x)C．g(x)>h(x)>f(x) D．f(x)>h(x)>g(x)解析：畫出函數(shù)的圖像，當x∈(4，＋∞)時，指數(shù)函數(shù)的圖像位于二次函數(shù)圖像的上方，二次函數(shù)的圖像位于對數(shù)函數(shù)圖像的上方，故g(x)>f(x)>h(x)．答案：B2．設x∈(0，1)時，y＝xp(p∈Z)的圖像在直線y＝x的上方，則p的取值范圍是()A．p≥0 B．0<p<1C．p<1且p≠0 D．p>1解析：當p<0時，f(x)＝xp＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))eq\s\up12(－p)，在(0，1)上單調遞減，∴y>f(1)＝1在直線y＝x上面，故只有C正確．答案：C3．某種細菌經60分鐘培養(yǎng)，可繁殖為原來的2倍，且知該細菌的繁殖規(guī)律為y＝10ekt，其中k為常數(shù)，t表示時間(單位：小時)，y表示細菌個數(shù)，10個細菌經過7小時培養(yǎng)，細菌能達到的個數(shù)為()A．640 B．1280C．2560 D．5120解析：由題意可知，當t＝0時，y＝10，當t＝1時，y＝10ek＝20，可得ek＝2.故10個細菌經過7小時培養(yǎng)，能達到的細菌個數(shù)為10e7k＝10×(ek)7＝1280.答案：B4．某山區(qū)加強環(huán)境保護，綠色植被的面積每年都比上一年增長%，若原來綠色植被的面積為1，那么，經過x年，綠色植被面積可增長為原來的y倍，則函數(shù)y＝f(x)的大致圖像為()解析：y＝，指數(shù)增長型函數(shù)．答案：D二、填空題(每小題5分，共10分)5．近幾年由于北京房價的上漲，引起了二手房市場交易的火爆．房子沒有什么變化，但價格卻上漲了，小張在2023年以15萬元的價格購得一所新房子，假設這10年來價格年增長率不變，那么到2023年，這所房子的價格y(萬元)與價格年增長率x之間的函數(shù)關系式是____________．解析：1年后，y＝15(1＋x)；2年后，y＝15(1＋x)2；3年后，y＝15(1＋x)3，…，10年后，y＝15(1＋x)10.答案：y＝15(1＋x)106．已知元素“碳14”每經過5730年，其質量就變成原來的一半．現(xiàn)有一文物，測得其中“碳14”的殘存量為原來的41%，此文物距現(xiàn)在約有________年．(注：精確到百位數(shù)，lg2＝0，lg＝解析：設距現(xiàn)在為x年，則有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up6(\f(x,5730))＝41%，兩邊取對數(shù)，利用計算器可得x≈7400.答案：7400三、解答題(每小題10分，共20分)7．某化工廠生產一種溶液，按市場要求，雜質含量不能超過%，若初時含雜質2%，每過濾一次可使雜質含量減少eq\f(1,3)，問至少應過濾幾次才能使產品達到市場要求？(已知：lg2＝0，lg3＝1)解析：依題意，得eq\f(2,100)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(n)≤eq\f(1,1000)，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(n)≤eq\f(1,20).則n(lg2－lg3)≤－(1＋lg2)，故n≥eq\f(1＋lg2,lg3－lg2)≈，考慮到n∈N，即至少要過濾8次才能達到市場要求．8．某公司擬投資100萬元，有兩種投資方案可供選擇：一種是年利率為10%，按單利計算，5年后收回本金和利息；另一種是年利率為9%，按每年復利一次計算，5年后收回本金和利息．哪一種投資更有利？這種投資比另一種投資5年可多得利息多少元？(結果精確到萬元)解析：本金100萬元，年利率為10%，按單利計算，5年后的本息和是100×(1＋10%×5)＝150(萬元)．本金100萬元，年利率為9%，按每年復利一次計算，5年后的本息和是100×(1＋9%)5≈(萬元)．由此可見，按年利率為9%每年復利一次計算的投資方式要比按年利率為10%單利計算的更有利，5年后多得利息萬元．eq\x(尖子生題庫)☆☆☆9．(10分)現(xiàn)有某種細胞100個，其中占總數(shù)eq\f(1,2)的細胞每小時分裂一次，即由1個細胞分裂為2個細胞，按這種規(guī)律發(fā)展下去，經過多少小時，細胞總數(shù)可以超過1010個？(參考數(shù)據(jù)：lg3＝，lg2＝解析：現(xiàn)有細胞100個，先考慮經過1，2，3，4個小時后的細胞總數(shù)；1h后，細胞總數(shù)為eq\f(1,2)×100＋eq\f(1,2)×100×2＝eq\f(3,2)×100；2h后，細胞總數(shù)為eq\f(1,2)×eq\f(3,2)×100＋eq\f(1,2)×eq\f(3,2)×100×2＝eq\f(9,4)×100；3h后，細胞總數(shù)為eq\f(1,2)×eq\f(9,4)×100＋eq\f(1,2)×eq\f(9,4)×100×2＝eq\f(27,8)×100；4h后，細胞總數(shù)為eq\f(1,2)×eq\f(27,8)×100＋eq\f(1,2)×eq\f(27,8)×100×2＝eq\f(81,16)×100.可見，細胞總數(shù)y與時間x(h)之間的函數(shù)關系為y＝100×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(x)，x∈N＋.由100×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(x)>1010，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,