高中數(shù)學北師大版3第一章計數(shù)原理 優(yōu)秀作品

學業(yè)分層測評(建議用時：45分鐘)學業(yè)達標]一、選擇題1．(2023·南寧高二檢測)圓上有10個點，過每三個點畫一個圓內(nèi)接三角形，則一共可以畫的三角形個數(shù)為()A．720 B．360C．240 D．120【解析】確定三角形的個數(shù)為Ceq\o\al(3,10)＝120.【答案】D2．某電視臺連續(xù)播放5個廣告，其中有3個不同的商業(yè)廣告和2個不同的奧運廣告．要求最后必須播放奧運廣告，且2個奧運廣告不能連續(xù)播放，則不同的播放方式有()A．120種 B．48種C．36種 D．18種【解析】最后必須播放奧運廣告有Ceq\o\al(1,2)種，2個奧運廣告不能連續(xù)播放，倒數(shù)第2個廣告有Ceq\o\al(1,3)種，故共有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,3)＝36種不同的播放方式．【答案】C3．以一個正方體的頂點為頂點的四面體共有()A．70個 B．64個C．58個 D．52個【解析】∵四個頂點共面的情況有6個表面和6個對角面共12個，∴共有四面體Ceq\o\al(4,8)－12＝58個．故選C.【答案】C4．(2023·柳州高二檢測)將標號為1,2，…，10的10個球放入標號為1,2，…，10的10個盒子里，每個盒內(nèi)放一個球，恰好3個球的標號與其在盒子的標號不一致的放入方法種數(shù)為()A．120 B．240C．360 D．720【解析】先選出3個球有Ceq\o\al(3,10)＝120種方法，不妨設為1,2,3號球，則1,2,3號盒中能放的球為2,3,1或3,1,2兩種．這3個號碼放入標號不一致的盒子中有2種不同的方法，故共有120×2＝240種方法．【答案】B5．(2023·桂林高二檢測)從10名大學畢業(yè)生中選3人擔任村長助理，則甲、乙至少有1人入選，而丙沒有入選的不同選法的種數(shù)為()A．28 B．49C．56 D．85【解析】依題意，滿足條件的不同選法的種數(shù)為Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,7)＋Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,7)＝49種．【答案】B二、填空題6．某單位有15名成員，其中男性10人，女性5人，現(xiàn)需要從中選出6名成員組成考察團外出參觀學習，如果按性別分層，并在各層按比例隨機抽樣，則此考察團的組成方法種數(shù)是________.【導學號：62690016】【解析】按性別分層，并在各層按比例隨機抽樣，則需從10名男性中抽取4人，5名女性中抽取2人，共有Ceq\o\al(4,10)Ceq\o\al(2,5)＝2100種抽法．【答案】21007．有6名學生，其中有3名會唱歌，2名會跳舞，1名既會唱歌也會跳舞．現(xiàn)在從中選出2名會唱歌的，1名會跳舞的去參加文藝演出，則共有選法________種．【解析】Ceq\o\al(2,3)·Ceq\o\al(1,2)＋Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(1,2)＋Ceq\o\al(2,3)＝15種．【答案】158．某球隊有2名隊長和10名隊員，現(xiàn)選派6人上場參加比賽，如果場上最少有1名隊長，那么共有________種不同的選法．【解析】若只有1名隊長入選，則選法種數(shù)為Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(5,10)；若兩名隊長均入選，則選法種數(shù)為Ceq\o\al(4,10)，故不同選法有Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(5,10)＋Ceq\o\al(4,10)＝714(種)．【答案】714三、解答題9．空間有10個點，其中有5個點共面(除此之外再無4點共面)，以每4個點為頂點作一個四面體，問一共可作多少個四面體？【解】不考慮任何限制，10個點可得Ceq\o\al(4,10)個四面體．由于有5個點共面，這5個點中的任意4個點都不能構成四面體，共有Ceq\o\al(4,5)種情形．所以構成四面體的個數(shù)為Ceq\o\al(4,10)－Ceq\o\al(4,5)＝210－5＝205.10．假設在10件產(chǎn)品中有3件是次品，從中任意抽取5件，求下列抽取方法各有多少種？(1)沒有次品；(2)恰有兩件是次品；(3)至少有兩件是次品．【解】(1)沒有次品的抽法就是從7件正品中抽取5件的抽法，共有Ceq\o\al(5,7)＝21(種)．(2)恰有2件次品的抽法就是從7件正品中抽取3件，并從3件次品中抽取2件的抽法，共有Ceq\o\al(3,7)Ceq\o\al(2,3)＝105(種)．(3)至少有2件次品的抽法，按次品件數(shù)來分有兩類：第一類，從7件正品中抽取3件，并從3件次品中抽取2件，有Ceq\o\al(3,7)Ceq\o\al(2,3)種；第二類，從7件正品中抽取2件，并將3件次品全部抽取，有Ceq\o\al(2,7)Ceq\o\al(3,3)種．按分類加法計數(shù)原理，有Ceq\o\al(3,7)Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(2,7)Ceq\o\al(3,3)＝126(種)．能力提升]1．某單位擬安排6位員工在2023年勞動節(jié)3天假期值班，每天安排2人，每人值班1天．若6位員工中的甲不值第一日，乙不值最后一日，則不同的安排方法共有()【導學號：62690017】A．30種 B．36種C．42種 D．48種【解析】所有排法減去甲值第一日或乙值最后一日，再加上甲值第一日且乙值最后一日的排法，即有Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,4)－2×Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,3)＝42(種)排法．【答案】C2．現(xiàn)有16張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍色、綠色卡片各4張．從中任取3張，要求這3張卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多1張，不同取法的種數(shù)為()A．232 B．252C．472 D．484【解析】顯然該問題是一個組合問題，什么條件也不考慮共有Ceq\o\al(3,16)種取法，同一種顏色共有4Ceq\o\al(3,4)種取法，兩張紅色卡片共有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,12)種取法，不同的取法有：Ceq\o\al(3,16)－4Ceq\o\al(3,4)－Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,12)＝eq\f(16×15×14,6)－16－72＝472.【答案】C3．如圖1-3-1，A，B，C，D為海上的四個小島，要建三座橋，將這四個小島連接起來，則不同的建橋方案共有________種．圖1-3-1【解析】四個小島中每兩島建一座橋共建六座橋，其中建三座橋連接四個小島符合要求的建橋方案是只要三座橋不圍成封閉的三角形區(qū)域符合要求，如橋AC，BC，BD符合要求，而圍成封閉三角形不符合要求，如橋AC，CD，DA，不符合要求，故共有Ceq\o\al(3,6)－4＝16種不同的建橋方案．【答案】164．已知一組曲線y＝eq\f(1,3)ax3＋bx＋1，其中a為2,4,6,8中的任意一個，b為1,3,5,7中的任意一個．現(xiàn)從這些曲線中任取兩條．求它們在x＝1處的切線相互平行的組數(shù)．【解】y′＝ax2＋b，曲線在x＝1處切線的斜率k＝a＋b.切線相互平行，則需它們的斜率相等，因此按照在x＝1處切線的斜率的可能取值可分為五類完成．第一類：a＋b＝5，則a＝2，b＝3；a＝4，b＝1.故可構成2條曲線，有Ceq\o\al(2,2)組．第二類：a＋b＝7，則a＝2，b＝5；a＝4，b＝3；a＝6，b＝1.可構成三條曲線，有Ceq\o\al(2,3)組．第三類：a＋b＝9，則a＝2，b＝7；a＝4，b＝5；a＝6，b＝3；a＝8，b＝1.可構成四條曲線，有Ceq\o\al(2,4)組．第四類：a＋b＝11，則a＝4，b＝7；a＝6，b