計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)ppt第三章

第三章區(qū)間估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)龔鋒武漢大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院財(cái)稅系3.1區(qū)間估計(jì)3.2假設(shè)檢驗(yàn)3.3特定備擇假設(shè)的拒絕域3.4假設(shè)檢驗(yàn)的例子3.5p值3.6參數(shù)的線性組合ChapterContents3.1區(qū)間估計(jì)存在兩種類型的估計(jì)（1）點(diǎn)估計(jì)b2的估計(jì)值是回歸模型中總體參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)（2）區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì)提供了一個(gè)取值范圍，真實(shí)參數(shù)有可能落在這一區(qū)間。提供取值范圍，明確參數(shù)的可能取值以及估計(jì)的精確度。這一區(qū)間稱之為置信區(qū)間。之所以稱為區(qū)間估計(jì)，是因?yàn)椤爸眯拧币辉~被廣泛誤解和誤用。3.1IntervalEstimationβ2的最小二乘估計(jì)量b2服從正態(tài)分布：將b2

減去其均值并除以其標(biāo)準(zhǔn)誤，可以得到服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的Z：3.1.1Thet-DistributionEq.3.13.1IntervalEstimation根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的特征。有:代入:移項(xiàng):3.1IntervalEstimation3.1.1Thet-Distribution兩個(gè)端點(diǎn)提供了一個(gè)區(qū)間估計(jì)量。在重復(fù)抽樣中，95%的這一區(qū)間包含了β2的

真實(shí)值?；诩僭O(shè)SR6滿足和誤差項(xiàng)方差σ2已知的條件，易于推導(dǎo)出區(qū)間估計(jì)量。3.1IntervalEstimation3.1.1Thet-Distribution用替換σ2創(chuàng)建了一個(gè)隨機(jī)變量t:比值

服從自由度為(N–2)的t分布，我們定義為:Eq.3.23.1IntervalEstimation3.1.1Thet-Distribution如果在簡(jiǎn)單線性回歸模型中假設(shè)SR1-SR6成立，則我們定義：

（1）t分布的概率密度函數(shù)是一個(gè)以0為中心的鐘形曲線。（2）其概率密度函數(shù)類似與正態(tài)分布，除了它發(fā)散范圍更廣、方差更大以及尾部更厚。（3）t分布的形狀由單一參數(shù)控制，稱之為自由度，通常縮寫為df。Eq.3.33.1IntervalEstimation3.1.1Thet-Distribution從t分布中我們可以找到一個(gè)“臨界值”，使得：

其中：

α

為概率，通常取值為α

=0.01或

α=0.05對(duì)自由度為m的t分布，臨界值tc就是百分

位值t(1-α/2,m)。3.1.2ObtainingIntervalEstimates3.1IntervalEstimationFigure3.1Criticalvaluesfromat-distribution.3.1IntervalEstimation3.1.1Thet-Distribution每個(gè)尾部陰影部分包含α/2的概率，因此中間部分包含了1-α

的概率；可以將概率表述為：Eq.3.4Eq.3.53.1IntervalEstimation3.1.2ObtainingIntervalEstimates當(dāng)bk

和se(bk)是基于給定樣本得到的估計(jì)值時(shí)，稱bk±tcse(bk)為bk

的100(1-α)%區(qū)間估計(jì)。這一估計(jì)也可稱為100(1-α)%的置信區(qū)間；通常選α=0.01或α=0.05,因此我們一般獲得99%的置信區(qū)間或95%的置信區(qū)間。3.1IntervalEstimation3.1.2ObtainingIntervalEstimates對(duì)置信區(qū)間進(jìn)行解釋需要注意以下幾點(diǎn)：區(qū)間估計(jì)程序的特征基于重復(fù)抽樣的概念；任何一個(gè)基于特定樣本數(shù)據(jù)得到的置信估計(jì)值，可能包含也可能不包含真實(shí)參數(shù)βk,而且由于βk

是未知的，我們永遠(yuǎn)不可能知道包含還是不包含；置信度存在于構(gòu)建區(qū)間估計(jì)的程序，而不在于任何基于特定樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得到的區(qū)間估計(jì)值。3.1IntervalEstimation3.1.2ObtainingIntervalEstimates對(duì)食品支出數(shù)據(jù)：臨界值tc=2.024,是與=.05和自由度=38對(duì)應(yīng)的t分布的百分位值；為計(jì)算2的區(qū)間估計(jì)值，需要運(yùn)用最小二乘估計(jì)值b2=10.21及其標(biāo)準(zhǔn)誤：3.1.3AnIllustrationEq.3.63.1IntervalEstimation2的“95%置信區(qū)間估計(jì)”為:當(dāng)我們將這一程序運(yùn)用于許多來自于同一總體的隨機(jī)樣本數(shù)據(jù)，則基于這一程序構(gòu)建的95%的區(qū)間估計(jì)將包含真實(shí)參數(shù)。3.1IntervalEstimation3.1.3AnIllustrationβ2

是否確實(shí)位于區(qū)間

[5.97,14.45]內(nèi)?我們不知道，我們永遠(yuǎn)也不可能知道。我們知道的是，當(dāng)將這一程序應(yīng)用于來自于同一總體的許多隨機(jī)樣本數(shù)據(jù)，則所有區(qū)間估計(jì)的95%將包含真實(shí)參數(shù)值。區(qū)間估計(jì)程序95%的時(shí)候都是有效的；

對(duì)于基于某一個(gè)特定樣本得到的區(qū)間估計(jì)值，我們可以斷言的是，給定估計(jì)程序是可靠的，如果真實(shí)參數(shù)β2落在區(qū)間[5.97,14.45]以外，我們應(yīng)該感到很“奇怪”。3.1IntervalEstimation3.1.3AnIllustrationβ2

區(qū)間估計(jì)值的用處：當(dāng)匯報(bào)回歸結(jié)果時(shí)候，我們通常給出的是一個(gè)點(diǎn)估計(jì)值，比如b2=10.21；點(diǎn)估計(jì)值本身無法給出估計(jì)結(jié)果是否可靠的信息；因此，我們需要匯報(bào)區(qū)間估計(jì)值：

區(qū)間估計(jì)將點(diǎn)估計(jì)和估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤相結(jié)合，后者是最小二乘估計(jì)量變異性的測(cè)度指標(biāo)。3.1IntervalEstimation3.1.3AnIllustration3.1.4TheRepeatedSamplingContext10個(gè)隨機(jī)樣本的最小二乘估計(jì)值3.1IntervalEstimation10個(gè)隨機(jī)樣本的區(qū)間估計(jì)值3.1IntervalEstimation3.1.4TheRepeatedSamplingContext3.2假設(shè)檢驗(yàn)3.2HypothesisTests假設(shè)檢驗(yàn)程序?qū)?duì)總體的推測(cè)和樣本數(shù)據(jù)包含的信息進(jìn)行比較；給定一個(gè)經(jīng)濟(jì)和統(tǒng)計(jì)模型，假設(shè)的形成與經(jīng)濟(jì)行為相關(guān)；這些假設(shè)表示為對(duì)模型參數(shù)的陳述；假設(shè)檢驗(yàn)運(yùn)用包含在樣本數(shù)據(jù)中的參數(shù)及其最小二乘點(diǎn)估計(jì)值和標(biāo)準(zhǔn)誤的信息，得出關(guān)于假設(shè)的結(jié)論。原假設(shè)H0備擇假設(shè)

H1檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量拒絕域結(jié)論3.2HypothesisTestsCOMPONENTSOFHYPOTHESISTESTS

原假設(shè)是我們一直秉持的信念，除非基于樣本證據(jù)，我們確信它不為真，此時(shí)我們就拒絕原假設(shè)。原假設(shè)陳述為：H0:βk=c

其中，c是一個(gè)常數(shù)，在特定的回歸模型的背景下，它是一個(gè)重要的數(shù)值。通常c的取值為0。3.2.1TheNullHypothesis3.2HypothesisTests

與每一個(gè)原假設(shè)成對(duì)的是邏輯上的備擇假設(shè)H1，如果原假設(shè)被拒絕我們就接受備擇假設(shè)。

備擇假設(shè)是彈性的，在某種程度上取決于經(jīng)濟(jì)理論。3.2.2TheAlternativeHypothesis3.2HypothesisTests可能的備擇假設(shè)有:H1

:βk>cH1

:βk<cH1

:βk≠c3.2HypothesisTests3.2.2TheAlternativeHypothesis基于檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值，我們決定要么拒絕原假設(shè)，要么不拒絕原假設(shè)。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量具有特別的特征：如果原假設(shè)為真的話，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的概率分布是完全已知的；如果原假設(shè)不為真，則檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量服從其他的分布。3.2.3TheTestStatistic3.2HypothesisTests基本的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為:如果原假設(shè)H0

:=c為真，我們用c替換βk

得到：如果原假設(shè)不為真,則Eq.3.7中的t統(tǒng)計(jì)量不再服從自由度為N-2的t分布。Eq.3.73.2HypothesisTests3.2.3TheTestStatistic拒絕域取決于備擇假設(shè)的形式。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的取值范圍導(dǎo)致拒絕原假設(shè)的拒絕域；只有當(dāng)滿足如下條件時(shí)，才能夠構(gòu)建一個(gè)拒絕域：當(dāng)原假設(shè)為真時(shí)，存在一個(gè)分布已知的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量；存在備擇假設(shè)存在顯著性水平3.2.4TheRejectionRegion3.2HypothesisTests拒絕域由當(dāng)原假設(shè)為真時(shí)不可能出現(xiàn)或出現(xiàn)概率很低的數(shù)值組成。內(nèi)在邏輯鏈條是：

“如果檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的一個(gè)值是在低概率的區(qū)域獲得的，那么檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量就不可能擁有假定的分布，因此原假設(shè)不可能為真?！?.2HypothesisTests3.2.4TheRejectionRegion如果備擇假設(shè)為真，則檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的取值傾向于不尋常地“大”或不尋常地“小”?！按蟆焙汀靶　钡慕缍ㄍㄟ^選擇概率α來實(shí)現(xiàn)，稱α為檢驗(yàn)的顯著性水平，它提供了“不可能事件”的含義。檢驗(yàn)的顯著性水平α通常選擇為0.01,0.05or0.10。3.2HypothesisTests3.2.4TheRejectionRegion我們通常會(huì)犯兩類錯(cuò)誤：當(dāng)原假設(shè)為真時(shí)我們拒絕它，我們就犯了第一類錯(cuò)誤。檢驗(yàn)的顯著性水平是犯第一類錯(cuò)誤的概率；P(第一類錯(cuò)誤)=α當(dāng)原假設(shè)為假時(shí)我們不拒絕它，我們就犯了第二類錯(cuò)誤。

●我們無法控制或計(jì)算發(fā)生這類錯(cuò)誤的概率，因?yàn)樗蕾囉谖粗恼鎸?shí)參數(shù)βk

。3.2HypothesisTests3.2.4TheRejectionRegion你是拒絕原假設(shè)還是不拒絕原假設(shè)？避免說“接受”原假設(shè)；使用標(biāo)準(zhǔn)的做法來表述結(jié)論在你所研究問題的經(jīng)濟(jì)背景下具有什么含義，以及闡明研究發(fā)現(xiàn)的經(jīng)濟(jì)意義是什么。3.2.5Conclusion3.2HypothesisTests3.3特定備擇假設(shè)的拒絕域?yàn)楂@得一個(gè)原假設(shè)的拒絕域，我們需要：一個(gè)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量一個(gè)特定的備擇假設(shè)檢驗(yàn)的顯著性水平α3.3RejectionRegionsforSpecificAlternatives3.3.1One-tailTestwithAlternative“GreaterThan”當(dāng)原假設(shè)H0:βk=c的備擇假設(shè)是H1:βk>c時(shí)，如果下式成立：t≥t(1-α;N-2)則拒絕原假設(shè)，接受備擇假設(shè)。3.3RejectionRegionsforSpecificAlternativesFigure3.2Rejectionregionforaone-tailtestofH0:βk=cagainstH1:βk>c3.3RejectionRegionsforSpecificAlternatives3.3.1One-tailTestwithAlternative“GreaterThan”3.3.1One-tailTestwithAlternative“GreaterThan”當(dāng)原假設(shè)H0:βk=c的備擇假設(shè)是H1:βk<c時(shí)，如果下式成立：

t≤

t(α;N-2)

=-t(1-α;N-2)則拒絕原假設(shè)，接受備擇假設(shè)。3.3RejectionRegionsforSpecificAlternativesFigure3.3Rejectionregionforaone-tailtestofH0:βk=cagainstH1:βk<c3.3RejectionRegionsforSpecificAlternatives3.3.2One-tailTestwithAlternative“LessThan”3.3.1One-tailTestwithAlternative“GreaterThan”當(dāng)原假設(shè)H0:βk=c的備擇假設(shè)是H1:βk≠c時(shí)，如果下式成立：t

≤

t(α/2;N-2)

或

t

≥

t(1-α/2;N-2)則拒絕原假設(shè)，接受備擇假設(shè)。3.3RejectionRegionsforSpecificAlternativesFigure3.4RejectionregionforatestofH0:βk=cagainstH1:βk≠c3.3RejectionRegionsforSpecificAlternatives3.3.3One-tailTestwithAlternative“NotEqualTo”3.4假設(shè)檢驗(yàn)的例子確定原假設(shè)和備擇假設(shè)；設(shè)定檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量以及當(dāng)原假設(shè)為真時(shí)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的分布；選擇α并確定拒絕域；計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的樣本值；陳述結(jié)論。3.4ExamplesofHypothesisTests假設(shè)檢驗(yàn)的步驟3.4.1aOne-tailTestofSignificance原假設(shè)為H0:β2=0

備擇假設(shè)為

H1:β2>0檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為

Eq.3.7在c=0的情況下,如果原假設(shè)為真，則t=b2/se(b2)~t(N–2)

選擇

α=0.05右尾端拒絕域的臨界值為自由度為N-2=38的t分布的第95百分位數(shù)值,t(0.95,38)=1.686。如果計(jì)算得到的t統(tǒng)計(jì)量大于等于1.686：t≥1.686，則拒絕原假設(shè)；如果t<1.686,則無法拒絕原假設(shè)。3.4ExamplesofHypothesisTests3.4.1aOne-tailTestofSignificance利用食品支出的數(shù)據(jù)，我們估計(jì)得到b2=10.21其標(biāo)準(zhǔn)誤為：se(b2)=2.09檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值為:既然t=4.88>1.686,我們拒絕β2

=0的原假設(shè)，接受β2

>0的備擇假設(shè)。也就是說，我們拒絕“收入和食品支出沒有關(guān)系”的原假設(shè)，得到的結(jié)論是：在家戶收入和食品支出之間存在統(tǒng)計(jì)顯著的正相關(guān)關(guān)系。3.4ExamplesofHypothesisTests3.4.1bOne-tailTestofanEconomicHypothesis原假設(shè)為H0:β2≤5.5

備擇假設(shè)為H1:β2>5.5如果原假設(shè)為真，則檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為t=(b2-5.5)/se(b2)~t(N–2)選擇α=0.01右尾端拒絕域的臨界值為自由度為N-2=38的t分布的第99百分位數(shù)值,t(0.99,38)=2.429。如果計(jì)算得到的t統(tǒng)計(jì)量大于等于2.429：t≥2.429，則拒絕原假設(shè)；如果t<2.429,則無法拒絕原假設(shè)。3.4ExamplesofHypothesisTests利用食品支出數(shù)據(jù)，估計(jì)得到b2=0.21，標(biāo)準(zhǔn)誤為：se(b2)=2.09檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的取值為：既然t=2.25<2.429，我們無法拒絕β2

≤5.5的原假設(shè)；我們無法得出新超市有利可圖的結(jié)論，因此新超市將不會(huì)開始建設(shè)。3.4.1bOne-tailTestofanEconomicHypothesis3.4ExamplesofHypothesisTests3.4.2Left-tailTests原假設(shè)為H0:β2≥15

備擇假設(shè)為H1:β2<15如果原假設(shè)為真，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為t=(b2-15)/se(b2)~t(N–2)

選擇α=0.05左尾端拒絕域的臨界值為自由度為N-2=38的t分布的第5百分位數(shù)值,t(0.05,38)=-1.686。如果計(jì)算得到的t統(tǒng)計(jì)量小于等于-1.686：t≤-1.686，則拒絕原假設(shè)；如果t>-1.686,則無法拒絕原假設(shè)。3.4ExamplesofHypothesisTests利用食品支出數(shù)據(jù)，估計(jì)得到b2=10.21，標(biāo)準(zhǔn)誤為：se(b2)=2.09檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的取值為：既然t=-2.29<-1.686我們拒絕β2≥15的原假設(shè)，接受β2<15的備擇假設(shè)。我們得到如下結(jié)論：家戶收入每增加100美元，食品支出的增加會(huì)少于15美元。3.4.2Left-tailTests3.4ExamplesofHypothesisTests3.4.3aTwo-tailTestofanEconomicHypothesis原假設(shè)為H0:β2=7.5

備擇假設(shè)為H1:β2≠7.5如果原假設(shè)為真，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為t=(b2–7.5)/se(b2)~t(N–2選擇α=0.05雙尾拒絕域的臨界值為自由度為N-2=38的t分布的第2.5百分位數(shù)值t(0.025,38)=-2.024和第97.5百分位數(shù)值t(0.975,38)=2.024如果計(jì)算得到t≥2.024或t≤-2.024，則拒絕原假設(shè)；如果有-2.024<t<2.024，則無法拒絕原假設(shè)。3.4ExamplesofHypothesisTests利用食品支出數(shù)據(jù)，計(jì)算得到b2=10.21，標(biāo)準(zhǔn)誤為：se(b2)=2.09檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量取值為：既然-2.024<t=1.29<2.024，則無法拒絕β2

=7.5的原假設(shè)；樣本數(shù)據(jù)與推測(cè)的結(jié)果（“家戶收入每增加100美元，食品支出會(huì)增加7.5美元”）是一致的。3.4.3aTwo-tailTestofanEconomicHypothesis3.4ExamplesofHypothesisTests3.4.3bTwo-tailTestofSignificance原假設(shè)為H0:β2=0

備擇假設(shè)為H1:β2≠0如果原假設(shè)為真，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為t=(b2)/se(b2)~t(N–2)

選擇α=0.05雙尾拒絕域的臨界值為自由度為N-2的t分布的第2.5百分位數(shù)值t(0.025,38)=-2.024和第97.5百分位數(shù)值t(0.975,38)=2.024如果計(jì)算得到

t≥2.024或

t≤-2.024，則拒絕原假設(shè)。3.4ExamplesofHypothesisTests利用食品支出數(shù)據(jù)，計(jì)算得到b2=10.21，標(biāo)準(zhǔn)誤為：se(b2)=2.09檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的取值為：

既然4.88>2.024，則拒絕β2

=0的原假設(shè)；得到如下結(jié)論：在收入和食品支出之間存在統(tǒng)計(jì)顯著的關(guān)系。注意：統(tǒng)計(jì)顯著不等于經(jīng)濟(jì)顯著。3.4.3bTwo-tailTestofSignificance3.4ExamplesofHypothesisTests3.4.3bTwo-tailTestofSignificance

從Eviews匯報(bào)的結(jié)果中,很容易發(fā)現(xiàn)本例計(jì)算的t值：3.4ExamplesofHypothesisTests3.5

P值3.5Thep-Value當(dāng)匯報(bào)統(tǒng)計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)的結(jié)果時(shí)，報(bào)告檢驗(yàn)的P值（概率值的縮寫）成為一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的做法；當(dāng)確定了檢驗(yàn)的P值，則通過比較P值和選擇的顯著性水平α的大小，不檢查或計(jì)算臨界值，就可以確定檢驗(yàn)的結(jié)果。這極大簡(jiǎn)化了統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)的工作量。當(dāng)P值小于或等于顯著性水平α?xí)r，則拒絕原假設(shè)。即如果p≤α則拒絕H0；如果

p>α則無法拒絕H0。P值準(zhǔn)則3.5Thep-Value如果t是t統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算值，則：如果

H1:βK>c p=位于t值右側(cè)的概率如果H1:βK<c p=位于t值左側(cè)的概率如果H1:βK≠c p=位于|t|值右側(cè)的概率加位于|t|值左側(cè)的概率。3.5Thep-Value從3.4.1b節(jié),我們有：原假設(shè)為H0:β2≤5.5備擇假設(shè)為H1:β2>5.5P值為：3.5.1p-ValueforaRight-tailTest3.5Thep-Value3.5.1p-ValueforaRight-tailTestFigure3.5Thep-valueforaright-tailtest.3.5Thep-Value從3.4.2節(jié),我們有：原假設(shè)為H0:β2≥15備擇假設(shè)為H1:β2<15P值為：3.5.2p-ValueforaLeft-tailTest3.5Thep-ValueFigure3.6Thep-valueforaleft-tailtest.3.5.2p-ValueforaLeft-tailTest3.5Thep-Value從3.4.3a節(jié),我們有：原假設(shè)為H0:β2=7.5備擇假設(shè)為H1:β2≠7.5P值為：3.5.3p-ValueforaTwo-tailTest3.5Thep-ValueFigure3.7Thep-valueforatwo-tailtestofsignificance.3.5.3p-ValueforaTwo-tailTest3.5Thep-Value從3.4.3b節(jié),我們有：原假設(shè)為H0:β2=0備擇假設(shè)為H1:β2≠0P值為：3.5.4p-ValueforaTwo-tailTestofSignificance3.5Thep-Value

從Eviews匯報(bào)的結(jié)果中,很容易發(fā)現(xiàn)本例的

P值。3.5.4p-ValueforaTwo-tailTestofSignificance3.5Thep-Value3.6參數(shù)的線性組合3.6LinearCombinationsofParameters我們可能會(huì)希望估計(jì)和檢驗(yàn)關(guān)于參數(shù)線性組合的假設(shè)：λ=c1β1+c2β2,其中，c1

和c2

為我們?cè)O(shè)定的常數(shù)。在假設(shè)SR1–SR5滿足的情況下，最小二乘估計(jì)量b1、b2是β1

、β2的最優(yōu)線性無偏估計(jì)量；=c1b1+c2b2也是λ=c1β1+c2β2

的最優(yōu)線性無偏估計(jì)量。線性組合的例子。令c1=1和c2=x0,則有：

3.6LinearCombinationsofParameters估計(jì)量

是無偏的，因?yàn)椋?.6LinearCombinationsofParameters

的方差為：

上式中的方差和協(xié)方差由Eq.2.20-2.22給出。Eq.3.83.6LinearCombinationsofParameters

利用方差和協(xié)方差的估計(jì)值替換Eq.2.20-2.22中未知的方差和協(xié)方差，我們估計(jì)的方差為：Eq.3.93.6LinearCombinationsofParameters

的標(biāo)準(zhǔn)誤為估計(jì)方差的平方根：Eq.3.103.6LinearCombinationsofParameters如果假設(shè)SR6成立，或樣本量很大的話，最小二乘估計(jì)量b1

和b2服從（漸進(jìn)）正態(tài)分布。服從正態(tài)分布的變量其線性組合也服從正態(tài)分布。因此，有：3.6LinearCombinationsofParameters我們可以估計(jì)食品的平均支出（期望支出）：如果家戶的收入是$2000,由于收入以100美元衡量，則樣本中的數(shù)據(jù)應(yīng)為20，平均支出為：我們估計(jì)收入為2000美元的家戶，食品支出的期望值為每周287.6美元。3.6.1EstimatingExpectedFoodExpenditure3.6LinearCombinationsofParameters線性組合的t統(tǒng)計(jì)量為:3.6.2AnIntervalEstimateofExpectedFoodExpenditureEq.3.113.6LinearCombinationsofParameters將t值帶入P(-tc≤t≤tc)=1–α,得到:

因此(1–α)%的置信區(qū)間是：3.6.2AnIntervalEstimateofExpectedFoodExpenditure3.6LinearCombinationsofParameters在我們的例子中，期望的方差和協(xié)方差是：3.6.2AnIntervalEstimateofExpectedFoodExpenditureCIncomeC1884.442-85.9032Income-85.90324.38183.6LinearCombinationsofParameters期望食品支出的估計(jì)方差為：

對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)誤為:3.6.2AnIntervalEstimateofExpectedFoodExpenditure3.6LinearCombinationsofParameters則95%的置信區(qū)間為：

或我們?cè)?5%的置信水平上估計(jì)：收入為2000美元的家戶，其期望食品支出在$258.91和$316.31之間。3.6.2AnIntervalEstimateofExpectedFoodExpenditure3.6LinearCombinationsofParameters包含

β1

和β2

兩個(gè)參數(shù)的一般線性假設(shè)可以表述為：

或等價(jià)地表述為：3.6.3TestingaLinearCombinationofParametersEq.3.12aEq.3.12b3.6LinearCombinationsofParameters備擇假設(shè)可以是下面任何一個(gè)：3.6.3TestingaLinearCombinationofParameters3.6LinearCombinationsofParameterst統(tǒng)計(jì)是:

如果原假設(shè)為真：?jiǎn)挝埠碗p尾備擇假設(shè)(i)–(iii)的拒絕域與第3.3節(jié)表述的拒絕域是一樣的，對(duì)結(jié)論的解釋也與前面一樣。3.6.3TestingaLinearCombinationofParametersEq.3.133.6LinearCombinationsofParameters假定我們推測(cè):以此作為備擇假設(shè):

或3.6.4TestingExpectedFoodExpenditure3.6LinearCombinationsofParameters原假設(shè)自然為:

或此處原假設(shè)和備擇假設(shè)與一般線性假設(shè)是一樣的，只是設(shè)定了

c1=1、c2=20、c0=250。3.6.4TestingExpectedFoodExpenditure3.6LinearCombinationsofParameterst統(tǒng)計(jì)量為：3.6.4TestingExpectedFoodExpenditure3.6LinearCombinationsofParameters既然t=2.65>tc=1.686,我們拒絕“收入為2000美元的家戶每周花250美元或更少食品支出”的原假設(shè)，得到結(jié)論：這一家戶食品支出高于250美元的推測(cè)是正確的，犯第一類錯(cuò)誤的概率為0.05。3.6.4TestingExpectedFoodExpenditure3.6LinearCombinationsofParametersKeyWordsalternativehypothesisconfidenceintervalscriticalvaluedegreesoffreedomhypotheseshypothesistestingInference

Keywordsintervalestimationlevelofsignificancelinearhypothesisnullhypothesisone-tailtestspointestimatesprobabilityvalue

p-valuerejectionregiontestofsignificanceteststatistictwo-tailtestsTypeIerrorTypeIIerror

附錄3A推導(dǎo)t分布3B備擇假設(shè)H1下的t統(tǒng)計(jì)量的分布3C蒙特卡羅模擬3ADerivationofthet-Distribution考慮β2的最小二乘估計(jì)量b2服從正態(tài)分布：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布為:Eq.3A.1如果所有的隨機(jī)殘誤差項(xiàng)是獨(dú)立的，則：由于真實(shí)的隨機(jī)誤差項(xiàng)是不可觀測(cè)的，我們用樣本估計(jì)得到的最小二乘殘差替換它：Eq.3A.3Eq.3A.23ADerivationofthet-Distribution因此：雖然我們并沒有解釋為什么卡方隨機(jī)變量V在統(tǒng)計(jì)上獨(dú)立于最小二乘估計(jì)量b1和b2，但這確實(shí)是成立的。因此，V和標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機(jī)變量Z是獨(dú)立的。Eq.3A.43ADerivationofthet-Distribution通過將標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機(jī)變量Z~N(0,1)除以獨(dú)立的卡方隨機(jī)變量V~χ2(m)

除以自由度m后的平方根，得到服從t分布的隨機(jī)變量：3ADerivationofthet-Distribution利用Z和V的公式（分別來自于Eq.3A.1和Eq.3A.4），我們得到:Eq.3A.53ADerivationofthet-Distribution3BDistributionofthet-StatisticunderH1Toexaminethedistributionofthet-statisticinEq.3.7whenthenullhypothesisisnottrue,supposethatthetrueβ2=1Wecanshowthat:Ifβ2=1andweincorrectlyhypothesizethatβ2=c,thenthenumeratorinEq.3A.5thatisusedinformingEq.3.7hasthedistribution:Sinceitsmeanisnotzero,thedistributionofthevariableinEq.3B.1isnotstandardnormal,asrequiredintheformationofat-randomvariableEq.3B.13BDistributionofthet-StatisticunderH13CMonteCarloSimulationWhenstudyingtheperformanceofhypothesistestsandintervalestimatorsiti