高中數(shù)學人教B版第一章集合 習題課(四)

習題課(四)時間：45分鐘總分：90分一、選擇題(每小題5分，共30分)1．函數(shù)f(x)＝x－eq\f(4,x)的零點有()A．0個B．1個C．2個D．無數(shù)個答案：C解析：令f(x)＝0，即x－eq\f(4,x)＝0.所以x＝±2.故f(x)的零點有2個，選C.2．一次函數(shù)y＝f(x)，經(jīng)過點(0,1)，(1,2)，則y＝f(x)的解析式為()A．y＝xB．y＝x＋1C．y＝－x＋1D．y＝－x答案：B3．已知函數(shù)f(x)(x∈R)為奇函數(shù)，f(2)＝1，f(x＋2)＝f(x)＋f(2)，則f(3)＝()\f(1,2)B．1\f(3,2)D．2答案：C解析：因為f(x＋2)＝f(x)＋f(2)，所以f(3)＝f(1＋2)＝f(1)＋f(2).令x＝－1，則f(－1＋2)＝f(－1)＋f(2),即f(1)＝－f(1)＋f(2)，所以2f(1)＝f(2)＝1，即f(1)＝eq\f(1,2).故f(3)＝eq\f(1,2)＋1＝eq\f(3,2).故選C.4．已知二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(x∈R)，x，f(x)的部分對應值如下表：x－3－2－101234y6m－4－6－6－4n6由此可以判斷方程ax2＋bx＋c＝0的兩個根所在的區(qū)間分別是()A．(－3，－1)和(2,4)B．(－3，－1)和(－1,1)C．(－1,1)和(1,2)D．(－∞，－3)和(4，＋∞)答案：A解析：∵f(－3)＝6＞0，f(－1)＝－4＜0，∴f(－3)·f(－1)＜0.∵f(2)＝－4＜0，f(4)＝6＞0，∴f(2)·f(4)＜0.∴方程ax2＋bx＋c＝0的兩根所在的區(qū)間分別是(－3，－1)和(2,4)．5．商店某種貨物的進價下降了8%，但銷售價不變，于是這種貨物的銷售利率eq\f(銷售價－進價,進價)×100%由原來的r%增加到(r＋10)%，則r的值等于()A．12B．15C．25D．50答案：B解析：設原銷售價為a，原進價為x，可以列出方程組：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a－x,x)×100%＝\f(r,100),\f(a－x1－8%,x1－8%)×100%＝\f(10＋r,100)))解這個方程組，消去a，x，可得r＝15.6．函數(shù)y＝2x2＋bx＋5在(3，＋∞)上單調遞增，則實數(shù)b的取值范圍()A．b≥－6B．b≥－12C．b≤6D．b≤12答案：B解析：由題意，－eq\f(b,4)≤3，∴b≥－12.二、填空題(每小題5分，共15分)7．已知函數(shù)f(x)＝x2＋x＋a在區(qū)間(0,1)上有零點，則實數(shù)a的取值范圍是________．答案：(－2,0)解析：函數(shù)f(x)＝x2＋x＋a在(0,1)上單調遞增．由已知條件，可得f(0)f(1)＜0，即a(a＋2)＜0，解得－2＜a＜0.8．已知S(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，x≥0,－1，x＜0))，則函數(shù)g(x)＝S(|x|)＋|S(x)|的值域為________．答案：{2}解析：由|x|≥0，得S(|x|)＝1，又|S(x)|＝1，所以g(x)＝2.故g(x)的值域為{2}．9．設函數(shù)f(x)＝|x2－2ax＋b|，給出下列命題：①f(x)必是偶函數(shù)；②當f(0)＝f(2)時，f(x)的圖象必關于直線x＝1對稱；③若a2－b≤0，則f(x)在區(qū)間[a，＋∞)上是增函數(shù)；④f(x)有最大值|a2－b|.其中正確命題的序號是________．答案：③解析：若a＝1，b＝1，則f(x)＝|x2－2x＋1|＝x2－2x＋1，顯然f(x)不是偶函數(shù)，所以①錯誤；若a＝－1，b＝－4，則f(x)＝|x2＋2x－4|，滿足f(0)＝f(2)，但顯然f(x)的圖象不關于直線x＝1對稱，所以②錯誤；若a2－b≤0，則f(x)＝|x2－2ax＋b|＝x2－2ax＋b，圖象是開口向上的拋物線，其對稱軸是直線x＝a，此時f(x)在區(qū)間[a，＋∞)上是增函數(shù)，所以③正確；顯然函數(shù)f(x)＝|x2－2ax＋b|(x∈R)沒有最大值，所以④錯誤．故填③.三、解答題(本大題共3小題，共45分)10．(12分)某股票在30天內每股的交易價格P(元)與時間t(天)組成有序數(shù)對(t，P)，點(t，P)落在下圖中的兩條線段上，該股票在30天內的日交易量Q(萬股)與時間t(天)的部分數(shù)據(jù)如下表所示：第t天4101622Q(萬股)36302418(1)根據(jù)提供的圖象，寫出該種股票每股的交易價格P與時間t所滿足的函數(shù)關系式；(2)根據(jù)表中數(shù)據(jù)確定日交易量Q與時間t的一次函數(shù)關系式；(3)在(1)(2)的結論下，若該股票的日交易額為y(萬元)，寫出y關于t的函數(shù)關系式，并求在這30天中第幾天的日交易額最大，最大值是多少？解：(1)P＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)t＋2，0＜t≤20,－\f(1,10)t＋8，20＜t≤30))(t∈N*)．(2)設Q＝at＋b(a，b為常數(shù))，把(4,36)，(10,30)代入，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a＋b＝36,10a＋b＝30))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－1,b＝40)).所以日交易量Q與時間t的一次函數(shù)關系式為Q＝－t＋40,0＜t≤30，t∈N*.(3)由(1)(2)，可得y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)t＋240－t，0＜t≤20,－\f(1,10)t＋840－t，20＜t≤30))(t∈N*)，即y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,5)t－152＋125，0＜t≤20,\f(1,10)t－602－40，20＜t≤30))(t∈N*)，當0＜t≤20時，y有最大值，即ymax＝125，此時t＝15；當20＜t≤30時，y隨t的增大而減小，ymax＜eq\f(1,10)×(20－60)2－40＝120.所以這30天中的第15天的日交易額最大，最大值是125萬元．11．(13分)當且僅當實數(shù)a滿足什么條件時，函數(shù)y＝f(x)＝ax2＋2x＋1至少有一個零點在原點左側？解：當a＝0時，函數(shù)為y＝2x＋1，令2x＋1＝0，得x＝－eq\f(1,2)，∴函數(shù)y＝2x＋1的零點在原點左側，符合題意．當a≠0時，∵f(0)＝1，∴拋物線y＝ax2＋2x＋1過(0,1)點．若a<0，則拋物線開口向下，如圖(1)所示，函數(shù)必然有一個零點在原點左側；若a>0，要使此函數(shù)至少有一個零點在原點左側，如圖(2)所示，則必須滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝4－4a≥0，,－\f(2,2a)<0))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≤1，,\f(1,a)>0))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≤1，,a>0.))∴0<a≤1.綜上所述，a的取值范圍是(－∞，1]能力提升12．(20分)已知二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c.(1)若a>b>c，且f(1)＝0，試證明：f(x)必有兩個零點；(2)設x1，x2∈R，x1<x2，且f(x1)≠f(x2)，若方程f(x)＝eq\f(1,2)[f(x1)＋f(x2)]有兩個不等實根，試證明必有一個實根屬于區(qū)間(x1，x2)．證明：(1)∵f(1)＝0，∴a＋b＋c＝0.又∵a>b>c，∴a>0，c<0，即ac<0.∴Δ＝b2－4ac≥－4∴方程ax2＋bx＋c＝0必有兩個不等實根，∴f(x)必有兩個零點．(2)令g(x)＝f(x)－eq\f(1,2)[f(x1)＋f(x2)]，則g(x1)＝f(x1)－eq\f(1,2)[f(x1)＋f(x2)]＝eq\f(1,2)[f(x1)－f(x2)]，g(x2)＝f(x2)－eq\f(