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數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入綜合能力檢測(cè)劉大鳴一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中,選出符合題目要求的一項(xiàng))1.a為正實(shí)數(shù),i為虛數(shù)單位,,則a=()A2B.C.D.12.i為虛數(shù)單位,則=()A.-IB.-1C.i3.復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限B.第二象限 C.第三象限D(zhuǎn).第四象限4.下列命題中,正確的是()A.復(fù)數(shù)的??偸钦龑?shí)數(shù)B.復(fù)數(shù)集與復(fù)平面內(nèi)所有向量組成的集合一一對(duì)應(yīng)C.如果與復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限,則與該復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量的終點(diǎn)也一定會(huì)在第一象限D(zhuǎn).相等的向量對(duì)應(yīng)著相等的復(fù)數(shù)5.復(fù)數(shù)滿足:;則()ABC D6.設(shè),是虛數(shù)單位,則“”是“復(fù)數(shù)為純虛數(shù)”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件7.eq\o(z,\s\up6(-))是z的共軛復(fù)數(shù),若z+eq\o(z,\s\up6(-))=2,(z-eq\o(z,\s\up6(-)))i=2(i為虛數(shù)單位),則z=()A.1+iB.-1-iC.-1+iD.1-i8.已知i是虛數(shù)單位,a,b∈R,得“a=b=1”是“(a+bi)2=2i”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件9.設(shè)復(fù)數(shù),其中為虛數(shù)單位,則的虛部為()A.B.C.D.10.設(shè)i是虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)z=的值是 () A. B.C.D.111.復(fù)平面上三點(diǎn)A、B、C分別對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)1,2i,5+2i,則由A,B,C所構(gòu)成的三角形是()A.直角三角形B.等腰三角形C.銳角三角形 D.鈍角三角形12.若A、B是銳角△ABC的兩內(nèi)角,則復(fù)數(shù)z=(cosB-sinA)+(sinB-cosA)i在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限 D.第四象限二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.把答案填在題中橫線上)13若復(fù)數(shù)z=lg(m2-2m-2)+(m2+3m+2)i是純虛數(shù),則14.若是實(shí)系數(shù)方程的一個(gè)虛根,且,則15.,其中為實(shí)數(shù)R,,則的值是___16.已知復(fù)數(shù),則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第______象限.三、解答題(本大題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟)17(10分)已知復(fù)數(shù)滿足(為虛數(shù)單位),復(fù)數(shù)的虛部為,是實(shí)數(shù),求.18.(12分)實(shí)數(shù)k為何值時(shí),復(fù)數(shù)(1+i)k2-(3+5i)k-2(2+3i)分別是(1)實(shí)數(shù);(2)虛數(shù);(3)純虛數(shù);(4)零?19(12分)若是復(fù)數(shù),是純虛數(shù),求20.(12分)已知虛數(shù)z滿足|2z+1-i|=|z+2-2i|(1)求|z|的值;(2)若mz+eq\f(1,z)∈R,求實(shí)數(shù)m的值.21.(12分)已知|z1|=1,|z2|=1,|z1+z2|=eq\r(3),求|z1-z2|.22.(12分)已知關(guān)于x的方程x2-(6+i)x+9+ai=0(a∈R)有實(shí)數(shù)根b.(1)求實(shí)數(shù)a,b的值;(2)若復(fù)數(shù)z滿足|eq\x\to(z)-a-bi|-2|z|=0,求z為何值時(shí),|z|有最小值,并求出|z|的最小值.參考答案一、選擇題5.D7.D提示:,a>0,故a=.2.因?yàn)?故所以選A.3.,對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為,所以為第四象限,選D.4.復(fù)數(shù)的模大于等于0,故A不正確;復(fù)數(shù)集與復(fù)平面內(nèi)所有從原點(diǎn)出發(fā)的向量組成的集合一一對(duì)應(yīng),故B不對(duì);同理C也不正確,故選D.5.6.“”則或,“復(fù)數(shù)為純虛數(shù)”則且,則“”是“復(fù)數(shù)為純虛數(shù)”的必要不充分條件,故選B.7.設(shè)(),則,又,所以,得.又,所以,得,故.8.由a,b∈R,(a+bi)2=a2-b2+2abi=2i,得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2-b2=0,,2ab=2,))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a=1,,b=1))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a=-1,,b=-1.))故選A.9.,有上述分析可知選D.10.,選C.11.1,2i,5+2i對(duì)應(yīng)的向量坐標(biāo)為(1,0),(0,2),(5,2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)即eq\o(OA,\s\up6(→))=(1,0),eq\o(OB,\s\up6(→))=(0,2),eq\o(OC,\s\up6(→))=(5,2)eq\o(AB,\s\up6(→))=eq\o(OB,\s\up6(→))-eq\o(OA,\s\up6(→))=(-1,2).eq\o(BC,\s\up6(→))=eq\o(OC,\s\up6(→))-eq\o(OB,\s\up6(→))=(5,0),eq\o(AC,\s\up6(→))=eq\o(OC,\s\up6(→))-eq\o(OA,\s\up6(→))=(4,2)則|eq\o(BC,\s\up6(→))|2=|eq\o(AB,\s\up6(→))|2+|Aeq\o(C,\s\up6(→))|2.所以∠BAC=90°,即由A、B、C所構(gòu)成的三角形是直角三角形.12.因?yàn)锳,B是銳角△ABC的兩內(nèi)角,所以A+B>eq\f(π,2)①由①得A>eq\f(π,2)-B因?yàn)锳,B為銳角△ABC的內(nèi)角所以A∈(0,eq\f(π,2)),(eq\f(π,2)-B)∈(0,eq\f(π,2))又在(0,eq\f(π,2)),正弦函數(shù)單調(diào)遞增∴sinA>sin(eq\f(π,2)-B).即sinA>cosB,所以cosB-sinA<0又由①可得B>eq\f(π,2)-A同理可得sinB>sin(eq\f(π,2)-A)即sinB>cosA.所以sinB-cosA>0,即z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限.二、填空題13.314.416.一提示:13.由復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)的充要條件得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(lgm2-2m-2=0,m2+3m+2≠0)),解得m=3,故填3.14.設(shè),則方程的另一個(gè)根為,且,由韋達(dá)定理所以15.由,得即所以.16.等比數(shù)列求和,利用i的周期性和分母實(shí)屬化求解,.所以在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限.三、解答題解:,設(shè),則,因?yàn)?,所?8.解:令z=(1+i)k2-(3+5i)k-2(2+3i)=(k2-3k-4)+(k2-5k-6)i.(1)當(dāng)k2-5k-6=0時(shí),z∈R,所以k=6或k=-1.(2)當(dāng)k2-5k-6≠0時(shí),z是虛數(shù),即k≠6且k≠-1.(3)當(dāng)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k2-3k-4=0,,k2-5k-6≠0))時(shí),z是純虛數(shù),所以k=4.(4)當(dāng)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k2-3k-4=0,,k2-5k-6=0))時(shí),z=0,解得k=-1.綜上,當(dāng)k=6或k=-1時(shí),z是實(shí)數(shù);當(dāng)k≠6且k≠-1時(shí),z是虛數(shù);當(dāng)k=4時(shí),z是純虛數(shù);當(dāng)k=-1時(shí),z是零.19.解法1:設(shè),則,由于是純虛數(shù),,,故解法2:由于是純虛數(shù),所以可設(shè)所以,解得,6分從而12分20.解:(1)設(shè)虛數(shù)z=a+bi(a,b∈R且b≠0)代入|2z+1-i|=|z+2-2i|得|2a+1+(2b-1)i|=|(a+2)+(b-2)i|,所以(2a+1)2+(2b-1)2=(a+2)2+(b整理得a2+b2=2,即|z|=(2)由(1)知,z=a+bi其中a,b∈R,且b≠+b2=2,又知m∈R,mz+eq\f(1,z)∈R.所以mz+eq\f(1,z)=m(a+bi)+eq\f(1,a+bi)=ma+mbi+eq\f(a-bi,a2+b2)=ma+mbi+eq\f(1,2)a-eq\f(1,2)bi=(ma+eq\f(1,2)a)+(mb-eq\f(1,2)b)i因?yàn)?mz+eq\f(1,z))∈R,所以mb-eq\f(1,2)b=0,所以m=eq\f(1,2).21.解法1:設(shè)z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R).由已知,得a2+b2=1,c2+d2=1,(a+c)2+(b+d)2=3.又因?yàn)?a+c)2+(b+d)2=a2+b2+c2+d2+2ac+2bd=2+2ac+2bd=3.所以2ac又|z1-z2|2=(a-c)2+(b-d)2=a2+b2+c2+d2-2ac-2bd=2-1=1,所以z1-z2解法2:在復(fù)平面內(nèi)設(shè)z1,z2分別對(duì)應(yīng)向量eq\o(OZ1,\s\up6(→))、eq\o(OZ2,\s\up6(→)),則對(duì)角線eq\o(OZ,\s\up6(→))對(duì)應(yīng)z1+z2,eq\o(Z2Z1,\s\up6(→))對(duì)應(yīng)z1-z2,由已知|eq\o(OZ1,\s\up6(→))|=1,|eq\o(OZ2,\s\up6(→))|=1,|eq\o(OZ,\s\up6(→))|=eq\r(3).∴∠OZ1Z=120°.所以∠Z2OZ1=60°.在△OZ1Z2中,eq\o(|Z2Z1|,\s\up6(→))=1,即|z1-z2|=1.22.解:(1)因?yàn)閎是方程x2-(6+i)x+9+ai=0(a∈R)的實(shí)數(shù)根,所以b2-(6+i)b+9+ai=0,即(b2-6b+9)+(a-b)i=0,故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b2-6b+9=0,,a=b,))解得a=b=3.5分(2)設(shè)z=x+yi(x,y∈R),由|eq\
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