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橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程“嫦娥二號(hào)”于2010年10月1日18時(shí)59分57秒在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心發(fā)射升空數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)同學(xué)們一起觀察以下操作:在圖板上,將一根無(wú)彈性的長(zhǎng)為2a的細(xì)繩的兩端(兩端點(diǎn)距離為2c)用圖釘固定在不同處,套上鉛筆,使筆尖沿細(xì)繩運(yùn)動(dòng),能得到什么圖形??自然界處處存在著橢圓,我們?nèi)绾斡米约旱碾p手畫(huà)出橢圓呢?先回憶如何畫(huà)圓反思(1)在畫(huà)出一個(gè)橢圓的過(guò)程中,細(xì)繩的兩端的位置是固定的還是運(yùn)動(dòng)的?(2)在畫(huà)橢圓的過(guò)程中,繩子的長(zhǎng)度變了沒(méi)有?說(shuō)明了什么?(3)在畫(huà)橢圓的過(guò)程中,繩子長(zhǎng)度與兩定點(diǎn)距離大小有怎樣的關(guān)系??如何定義橢圓?圓的定義:平面上到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合叫圓.橢圓的定義:平面上到兩個(gè)定點(diǎn)F1,
F2的距離之和為固定值(大于|F1F2
|)的點(diǎn)的軌跡叫作橢圓.
1.改變兩圖釘之間的距離,使其與繩長(zhǎng)相等,畫(huà)出的圖形還是橢圓嗎?2.繩長(zhǎng)能小于兩圖釘之間的距離嗎?
1.改變兩圖釘之間的距離,使其與繩長(zhǎng)相等,畫(huà)出的圖形還是橢圓嗎?2.繩長(zhǎng)能小于兩圖釘之間的距離嗎?
回憶圓標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)步驟?提出了問(wèn)題就要試著解決問(wèn)題.怎么推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程呢??求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的一般步驟:1、建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,用有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y)表示曲線上任意一點(diǎn)M的坐標(biāo);2、寫(xiě)出適合條件
P(M);3、用坐標(biāo)表示條件P(M),列出方程;
4、化方程為最簡(jiǎn)形式。坐標(biāo)法?探討建立平面直角坐標(biāo)系的方案OxyOxyOxyMF1F2方案一F1F2方案二OxyMOxy原則:盡可能使方程的形式簡(jiǎn)單、運(yùn)算簡(jiǎn)單;
(一般利用對(duì)稱軸或已有的互相垂直的線段所在的直線作為坐標(biāo)軸.)(對(duì)稱、“簡(jiǎn)潔”)xF1F2P(x,y)0y設(shè)P(x,y)是橢圓上任意一點(diǎn),橢圓的焦距|F1F2|=2c(c>0),則F1、F2的坐標(biāo)分別是(c,0)、(c,0).
P與F1和F2的距離的和為固定值2a(2a>2c)
(問(wèn)題:下面怎樣化簡(jiǎn)?)由橢圓的定義得,限制條件:由于得方程兩邊除以得由橢圓定義可知整理得兩邊再平方,得移項(xiàng),再平方橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程剛才我們得到了焦點(diǎn)在x軸上的橢圓方程,如何推導(dǎo)焦點(diǎn)在y軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程呢?(問(wèn)題:下面怎樣化簡(jiǎn)?)由橢圓的定義得,限制條件:由于得方程?OXYF1F2M(-c,0)(c,0)YOXF1F2M(0,-c)(0,c)?橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(diǎn):(1)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的形式:左邊是兩個(gè)分式的平方和,右邊是1(2)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中三個(gè)參數(shù)a、b、c滿足a2=b2+c2。(3)由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可以求出三個(gè)參數(shù)a、b、c的值。(4)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中,x2與y2的分母哪一個(gè)大,則焦點(diǎn)在哪一個(gè)軸上。分母哪個(gè)大,焦點(diǎn)就在哪個(gè)軸上平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)F1,F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于F1F2)的點(diǎn)的軌跡標(biāo)準(zhǔn)方程不同點(diǎn)相同點(diǎn)圖形焦點(diǎn)坐標(biāo)定義a、b、c的關(guān)系焦點(diǎn)位置的判斷?再認(rèn)識(shí)!xyF1F2POxyF1F2PO則a=
,b=
;則a=
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;5346口答:則a=
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;則a=
,b=
.3例3.求下列橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo),以及橢圓上每一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離的和。解:橢圓方程具有形式其中因此兩焦點(diǎn)坐標(biāo)為橢圓上每一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和為如圖:求滿足下列條件的橢圓方程解:橢圓具有標(biāo)準(zhǔn)方程其中因此所求方程為例4.求出剛才在實(shí)驗(yàn)中畫(huà)出的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程小結(jié):求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的方法一種方法:二類(lèi)方程:三個(gè)意識(shí):求美意識(shí),求簡(jiǎn)意識(shí),前瞻意識(shí)分母哪個(gè)大,焦點(diǎn)就在哪個(gè)軸上平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)F1,F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于F1F2)的點(diǎn)的軌跡標(biāo)準(zhǔn)方程不同點(diǎn)相同點(diǎn)圖形焦點(diǎn)坐標(biāo)定義a、b、c的關(guān)系焦點(diǎn)位置的判斷xyF1F2POxyF1F2PO探索-嫦娥奔月2010年10月8日中國(guó)“嫦娥”二號(hào)衛(wèi)星成功實(shí)現(xiàn)第二次近月制動(dòng),衛(wèi)星進(jìn)入距月球表面近月點(diǎn)高
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