高中數(shù)學人教A版2第一章導數(shù)及其應(yīng)用 評估驗收卷(一)

評估驗收卷(一)(時間：120分鐘滿分：150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求)1．若f(x)＝sinα－cosx，則f′(x)等于()A．cosα＋sinx B．2sinα＋cosxC．sinx D．cosx解析：函數(shù)是關(guān)于x的函數(shù)，因此sinα是一個常數(shù)．答案：C2．函數(shù)f(x)＝sinx＋cosx在點(0，f(0))處的切線方程為()A．x－y＋1＝0 B．x－y－1＝0C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋1＝0解析：f′(x)＝cosx－sinx，f′(0)＝cos0－sin0＝1，又f(0)＝sin0＋cos0＝1，所以f(x)在點(0，f(0))處的切線方程為y－1＝x－0，即x－y＋1＝0.答案：A3．一輛汽車按規(guī)律s＝at2＋1做直線運動，若汽車在t＝2時的瞬時速度為12，則a＝()\f(1,2)\f(1,3)C．2D．3解析：由s＝at2＋1得v(t)＝s′＝2at，依題意v(2)＝12，所以2a·2＝12，得a答案：D4．函數(shù)f(x)＝x2－ln2x的單調(diào)遞減區(qū)間是()\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(\r(2),2)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，0))，eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，＋∞))解析：因為f′(x)＝2x－eq\f(1,x)＝eq\f(2x2－1,x)，當0＜x≤eq\f(\r(2),2)時，f′(x)≤0.答案：C5．函數(shù)f(x)＝3x－4x3(x∈[0，1])的最大值是()A．1\f(1,2)C．0D．－1解析：f′(x)＝3－12x2，令f′(x)＝0，則x＝－eq\f(1,2)(舍去)或x＝eq\f(1,2)，因為f(0)＝0，f(1)＝－1，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(3,2)－eq\f(1,2)＝1，所以f(x)在[0，1]上的最大值為1.答案：A6．函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3處取得極值，則a＝()A．2B．3C．4D．5解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋3，因為f′(－3)＝0.所以3×(－3)2＋2a·(－3)＋3＝0，所以a答案：D7．做直線運動的質(zhì)點在任意位置處所受的力F(x)＝1＋ex，則質(zhì)點沿著與F(x)相同的方向，從點x1＝0處運動到點x2＝1處，力F(x)所做的功是()A．1＋eB．e\f(1,e)D．e－1解析：W＝eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(1,0)F(x)dx＝eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(1,0)(1＋ex)dx＝(x＋ex)|eq\o\al(1,0)＝(1＋e)－1＝e.答案：B8．設(shè)函數(shù)在定義域內(nèi)可導，y＝f(x)的圖象如圖所示，則導函數(shù)的圖象可能是()解析：f(x)在(－∞，0)上為增函數(shù)，在(0，＋∞)上變化規(guī)律是減→增→減，因此f′(x)的圖象在(－∞，0)上，f′(x)＞0，在(0，＋∞)上f′(x)的符號變化規(guī)律是負→正→負，故選項A正確．答案：A9．(2023·山東卷)直線y＝4x與曲線y＝x3在第一象限內(nèi)圍成的封閉圖形的面積為()A．2eq\r(2)B．4eq\r(2)C．2D．4解析：直線y＝4x與曲線y＝x3交點坐標為(0，0)和(2，8)，依題意得S＝eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(2,0)(4x－x3)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x2－\f(1,4)x4))eq\a\vs4\al(|)eq\o\al(2,0)＝4.答案：D10．定義域為R的函數(shù)f(x)滿足f(1)＝1，且f(x)的導函數(shù)f′(x)＞eq\f(1,2)，則滿足2f(x)＜x＋1的x的集合為()A．{x|－1＜x＜1} B．{x|x＜－1或x＞1}C．{x|x＜1} D．{x|x＞1}解析：令g(x)＝2f(x)－x－1，因為f′(x)＞eq\f(1,2)，所以g′(x)＝2f′(x)－1＞0，所以g(x)為單調(diào)增函數(shù)，因為f(1)＝1，所以g(1)＝2f(1)－1－1＝0，所以當x＜1時，g(x)＜0，即2f(x)＜x答案：C11．函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(1,ax)在(－∞，－1)上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍是()A．[1，＋∞) B．(－∞，0)∪(0，1]C．(0，1] D．(－∞，0)∪[1，＋∞)解析：f′(x)＝1－eq\f(1,ax2)，依題意，f′(x)＞0在(－∞，－1)上恒成立，即1－eq\f(1,ax2)＞0在(－∞，－1)上恒成立．當a＜0時，1－eq\f(1,ax2)＞0在(－∞，－1)上恒成立，排除選項A、C；取a＝2，因為x＜－1，所以x2＞1，所以0＜eq\f(1,x2)＜1，所以0＜eq\f(1,2x2)＜eq\f(1,2)，所以1－eq\f(1,ax2)＞0在(－∞，－1)上恒成立．所以a＝2符合條件．故選項D正確．答案：D12．函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)ax3＋eq\f(1,2)ax3－2ax＋1的圖象經(jīng)過四個象限，則實數(shù)a的取值范圍是()A．－eq\f(3,10)＜a＜eq\f(6,7) B．－eq\f(8,5)＜a＜－eq\f(3,16)C．－eq\f(8,3)＜a＜－eq\f(1,16) D．a(chǎn)＜－eq\f(3,10)或a＞eq\f(6,7)解析：f′(x)＝ax2＋ax－2a＝a(x＋2)(x－1)，要使函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過四個象限，則f(－2)f(1)＜0，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,3)a＋1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,6)a＋1))，解得a＜－eq\f(3,10)或a＞eq\f(6,7).答案：D二．填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．把正確答案填在題中橫線上)13．已知y＝lneq\f(1,\r(1＋x2))，則y′＝________．解析：y＝lneq\f(1,\r(1＋x2))＝ln(1＋x2)－eq\f(1,2)＝－eq\f(1,2)ln(1＋x2)，所以y′＝－eq\f(1,2)×eq\f(1,1＋x2)·(2x)＝－eq\f(x,1＋x2).答案：－eq\f(x,1＋x2)\a\vs4\al(∫)eq\o\al(3,－3)(x2－2sinx)dx＝________．解析：eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(3,－3)(x2－2sinx)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x3＋2cosx))eq\a\vs4\al(|)eq\o\al(3,－3)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)×27＋2cos3))－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)×（－27）＋2cos（－3）))＝18.答案：1815．曲線y＝eq\f(x＋1,x2)(x＞0)在點(1，2)處的切線方程為____________．解析：y′＝eq\f(x2－2（x＋1）x,x4)＝eq\f(－x2－2x,x4)＝eq\f(－x－2,x3)，所以過點(1，2)的切線的斜率為k＝y(tǒng)′|x＝1＝－3，所以切線方程為y－2＝－3(x－1)，即3x－y－5＝0.答案：3x－y－5＝016．函數(shù)f(x)＝ax3－3x在區(qū)間[－1，1]上為單調(diào)減函數(shù)，則a的取值范圍是________．解析：f′(x)＝3ax2－3，因為f(x)在[－1，1]上為單調(diào)減函數(shù)，所以f′(x)≤0在[－1，1]上恒成立，即3ax2－3≤0在[－1，1]上恒成立，所以a≤eq\f(1,x2)，因為x∈[－1，1]，所以a≤1.答案：(－∞，1]三．解答題(本大題共6小題，共70分．解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17．(本小題滿分10分)設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\f(ex,x)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間．解：f′(x)＝－eq\f(1,x2)ex＋eq\f(1,x)ex＝eq\f(x－1,x2)ex，由f′(x)＝0，得x＝1.因為當x＜0時，f′(x)＜0；當0＜x＜1時，f′(x)＜0；當x＞1時，f′(x)＞0.所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是[1，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，0)，(0，1]．18．(本小題滿分12分)曲線f(x)＝x3在點A處的切線的斜率為3，求該曲線在點A處的切線方程．解：可由導數(shù)定義求得f′(x)＝3x2.令3x2＝3，則x＝±1.當x＝1時，切點為(1，1)，所以該曲線在(1，1)處的切線方程為y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0；當x＝－1時，切點坐標為(－1，－1)，所以該曲線在(－1，－1)處的切線方程為y＋1＝3(x＋1)，即3x－y＋2＝0.綜上知，曲線f(x)＝x3在點A處的切線方程為3x－y－2＝0或3x－y＋2＝0.19．(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3－x2＋ax＋b的圖象在點P(0，f(0))處的切線方程是3x－y－2＝0.(1)求a、b的值；(2)設(shè)t∈[－2，－1]，函數(shù)g(x)＝f(x)＋(m－3)x在上(t，＋∞)為增函數(shù)，求m的取值范圍．解：(1)f′(x)＝x2－2x＋a，所以切線的斜率k＝f′(0)＝a，又切線方程為3x－y－2＝0，故a＝3.而點P(0，b)在切線上，則b＝－2.(2)因為f(x)＝eq\f(1,3)x3－x2＋3x－2，所以f(x)＝eq\f(1,3)x3－x2＋3x－2＋(m－3)x＝eq\f(1,3)x3－x2＋mx－2，所以g′(x)＝x2－2x＋m，又g(x)是(t，＋∞)上的增函數(shù)，所以g′(x)≥0在t∈[－2，－1]上恒成立，即t2－2t＋m≥0在t∈[－2，－1]上恒成立，又函數(shù)h(t)＝t2－2t＋m在t∈[－2，－1]是減函數(shù)，則h(x)min＝h(－1)＝m＋3≥0，所以m≥－3.20．(本小題滿分12分)某個體戶計劃經(jīng)銷A，B兩種商品，據(jù)調(diào)查統(tǒng)計，當投資額為x(x≥0)萬元時，在經(jīng)銷A，B商品中所獲得的收益分別為f(x)萬元與g(x)萬元，其中f(x)＝a(x－1)＋2，g(x)＝6ln(x＋b)(a＞0，b＞0)．已知投資額為零時收益為零．(1)求a，b的值；(2)如果該個體戶準備投入5萬元經(jīng)銷這兩種商品，請你幫他制定一個資金投入方案，使他能獲得最大利潤．解：(1)由投資額為零時收益為零，可知f(0)＝－a＋2＝0，g(0)＝6lnb＝0，解得a＝2，b＝1.(2)由(1)可得f(x)＝2x，g(x)＝6ln(x＋1)．設(shè)投入經(jīng)銷B商品的資金為x萬元(0＜x≤5)，則投入經(jīng)銷A商品的資金為(5－x)萬元，設(shè)所獲得的收益為S(x)萬元，則S(x)＝2(5－x)＋6ln(x＋1)＝6ln(x＋1)－2x＋10(0＜x≤5)．S′(x)＝eq\f(6,x＋1)－2，令S′(x)＝0，得x＝2.當0＜x＜2時，S′(x)＞0，函數(shù)S(x)單調(diào)遞增；當2＜x≤5時，S′(x)＜0，函數(shù)S(x)單調(diào)遞減．所以，當x＝2時，函數(shù)S(x)取得最大值，S(x)max＝S(2)＝6ln3＋6≈萬元．所以，當投入經(jīng)銷A商品3萬元，B商品2萬元時，他可獲得最大收益，收益的最大值約為萬元．21．(本小題滿分12分)設(shè)函數(shù)f(x)＝x(ex－1)－ax2.(1)若a＝eq\f(1,2)，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若當x≥0時，f(x)≥0，求a的取值范圍．解：(1)a＝eq\f(1,2)時，f(x)＝x(ex－1)－eq\f(1,2)x2，f′(x)＝ex－1＋xex－x＝(ex－1)(x＋1)．當x∈(－∞，－1)時，f′(x)＞0；當x∈(－1，0)時，f′(x)＜0；當x∈(0，＋∞)時，f′(x)＞0.故f(x)在(－∞，－1)，(0，＋∞)上單調(diào)遞增，在(－1，0)上單調(diào)遞減．(2)f(x)＝x(ex－1－ax)，令g(x)＝ex－1－ax，則g′(x)＝ex－a.若a≤1，則當x∈(0，＋∞)時，g′(x)＞0，g(x)為增函數(shù)，而g(0)＝0，從而當x≥0時g(x)≥0，即f(x)≥0.若a＞1，則當x∈(0，lna)時，g′(x