高中數(shù)學(xué)北師大版第三章概率單元測(cè)試 第3章古典概型的特征和概率計(jì)算公式

學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)(建議用時(shí)：45分鐘)[學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)]一、選擇題1．下列試驗(yàn)中是古典概型的有()A．種下一粒大豆觀察它是否發(fā)芽B．從規(guī)格直徑為(250±m(xù)m的一批合格產(chǎn)品中任意抽一根，測(cè)量其直徑dC．拋一枚硬幣，觀察其出現(xiàn)正面或反面的情況D．某人射擊中靶或不中靶【解析】A中基本事件“發(fā)芽”與“未發(fā)芽”不是等可能發(fā)生的，B中試驗(yàn)的基本事件有無數(shù)個(gè)，D中“中靶”與“不中靶”也不是等可能發(fā)生的，因此A，B，D都不是古典概型．故選C.【答案】C2．(2023·商丘二模)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3＋ax2＋b2x＋1，若a是從1,2,3三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，b是從0,1,2三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，則該函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)的概率為()\f(7,9) \f(1,3)\f(5,9) \f(2,3)【解析】f′(x)＝x2＋2ax＋b2，要使函數(shù)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則有Δ＝(2a)2－4b2＞0，即a2＞b2.由題意知所有的基本事件有9個(gè)，即(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一個(gè)數(shù)表示a的取值，第二個(gè)數(shù)表示b的取值．滿足a2＞b2的有6個(gè)基本事件，即(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，所以所求事件的概率為eq\f(6,9)＝eq\f(2,3).【答案】D3．一枚硬幣連擲3次，有且僅有2次出現(xiàn)正面向上的概率為()\f(3,8) \f(2,3)\f(1,3) \f(1,4)【解析】所有的基本事件是(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)，共有8個(gè)，僅有2次出現(xiàn)正面向上的有(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)，共3個(gè)．則所求概率為eq\f(3,8).【答案】A4．四條線段的長(zhǎng)度分別是1,3,5,7，從這四條線段中任取三條，則所取出的三條線段能構(gòu)成一個(gè)三角形的概率是()\f(1,4) \f(1,3)\f(1,2) \f(2,5)【解析】從四條長(zhǎng)度各異的線段中任取一條，每條被取出的可能性均相等，所以該問題屬于古典概型．又所有基本事件包括(1,3,5)，(1,3,7)，(1,5,7)，(3,5,7)，共4個(gè)，其中能構(gòu)成一個(gè)三角形的有(3,5,7)，共1個(gè)，則所求概率為eq\f(1,4).【答案】A5．(2023·全國(guó)卷Ⅰ)如果3個(gè)正整數(shù)可作為一個(gè)直角三角形三條邊的邊長(zhǎng)，則稱這3個(gè)數(shù)為一組勾股數(shù)，從1,2,3,4,5中任取3個(gè)不同的數(shù)，則這3個(gè)數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)的概率為()\f(3,10) \f(1,5)\f(1,10) \f(1,20)【解析】從1,2,3,4,5中任取3個(gè)不同的數(shù)共有如下10個(gè)不同的結(jié)果：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，其中勾股數(shù)只有(3,4,5)，所以概率為eq\f(1,10).故選C.【答案】C二、填空題6．三張卡片上分別寫上字母E，E，B，將三張卡片隨機(jī)地排成一行，恰好排成英文單詞BEE的概率為________．【解析】三張卡片的排列方法有EEB，EBE，BEE，共3種．且等可能出現(xiàn)，則恰好排成英文單詞BEE的概率為eq\f(1,3).【答案】eq\f(1,3)7．從集合{a，b，c，d}的子集中任取一個(gè)，這個(gè)集合是集合{a，b，c}的子集的概率是________．【解析】集合{a，b，c，d}的子集有?，{a}，，{c}，3yixyhf，{a，b}，{a，c}，{a，d}，{b，c}，{b，d}，{c，d}，{a，b，c}，{a，b，d}，{b，c，d}，{a，c，d}，{a，b，c，d}，共16個(gè)，{a，b，c}的子集有?，{a}，，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}，共8個(gè)，故所求概率為eq\f(1,2).【答案】eq\f(1,2)8．從三男三女共6名學(xué)生中任選2名(每名同學(xué)被選中的概率均相等)，則2名都是女同學(xué)的概率等于________．【解析】用A，B，C表示三名男同學(xué)，用a，b，c表示三名女同學(xué)，則從6名同學(xué)中選出2人的所有選法為AB，AC，Aa，Ab，Ac，BC，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc，ab，ac，bc，共15種，其中都是女同學(xué)有3種，故所求的概率為eq\f(3,15)＝eq\f(1,5).【答案】eq\f(1,5)三、解答題9．(2023·四川高考)一輛小客車上有5個(gè)座位，其座位號(hào)為1,2,3,4,5.乘客P1，P2，P3，P4，P5的座位號(hào)分別為1,2,3,4,5，他們按照座位號(hào)從小到大的順序先后上車．乘客P1因身體原因沒有坐自己的1號(hào)座位，這時(shí)司機(jī)要求余下的乘客按以下規(guī)則就座：如果自己的座位空著，就只能坐自己的座位；如果自己的座位已有乘客就座，就在這5個(gè)座位的剩余空位中任意選擇座位．(1)若乘客P1坐到了3號(hào)座位，其他乘客按規(guī)則就座，則此時(shí)共有4種坐法．下表給出了其中兩種坐法，請(qǐng)?zhí)钊胗嘞聝煞N坐法(將乘客就座的座位號(hào)填入表中空格處)；乘客P1P2P3P4P5座位號(hào)3214532451(2)若乘客P1坐到了2號(hào)座位，其他乘客按規(guī)則就座，求乘客P5坐到5號(hào)座位的概率．【解】(1)余下兩種坐法如下表所示：乘客P1P2P3P4P5座位號(hào)3241532541(2)若乘客P1坐到了2號(hào)座位，其他乘客按規(guī)則就坐，則所有可能的坐法可用下表表示：乘客P1P2P3P4P5座位號(hào)2134523145234152345123541243152435125341于是，所有可能的坐法共8種．設(shè)“乘客P5坐到5號(hào)座位”為事件A，則事件A中的基本事件的個(gè)數(shù)為4，所以P(A)＝eq\f(4,8)＝eq\f(1,2).即乘客P5坐到5號(hào)座位的概率是eq\f(1,2).10．(2023·安徽高考)某企業(yè)為了解下屬某部門對(duì)本企業(yè)職工的服務(wù)情況，隨機(jī)訪問50名職工．根據(jù)這50名職工對(duì)該部門的評(píng)分，繪制頻率分布直方圖(如圖3-2-1所示)，其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為：[40,50)，[50,60)，…，[80,90)，[90,100)．圖3-2-1(1)求頻率分布直方圖中a的值；(2)估計(jì)該企業(yè)的職工對(duì)該部門評(píng)分不低于80的概率；(3)從評(píng)分在[40,60)的受訪職工中，隨機(jī)抽取2人，求此2人的評(píng)分都在[40,50)的概率．【解】(1)因?yàn)椋玜＋＋×2＋×10＝1，所以a＝.(2)由所給頻率分布直方圖知，50名受訪職工評(píng)分不低于80的頻率為＋×10＝，所以該企業(yè)職工對(duì)該部門評(píng)分不低于80的概率的估計(jì)值為.(3)受訪職工中評(píng)分在[50,60)的有：50××10＝3(人)，記為A1，A2，A3；受訪職工中評(píng)分在[40,50)的有：50××10＝2(人)，記為B1，B2.從這5名受訪職工中隨機(jī)抽取2人，所有可能的結(jié)果共有10種，它們是{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}．又因?yàn)樗槿?人的評(píng)分都在[40,50)的結(jié)果有1種，即{B1，B2}，故所求的概率為eq\f(1,10).[能力提升]1．(2023·濟(jì)南高一檢測(cè))設(shè)a是從集合{1,2,3,4}中隨機(jī)取出的一個(gè)數(shù)，b是從集合{1,2,3}中隨機(jī)取出的一個(gè)數(shù)，構(gòu)成一個(gè)基本事件(a，b)．記“這些基本事件中，滿足logba≥1”為事件E，則E\f(1,2) \f(5,12)\f(1,3) \f(1,4)【解析】基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,3)共12種，事件E包含(2,2)，(3,2)，(3,3)，(4,2)，(4,3)共5種，則E發(fā)生的概率是eq\f(5,12).【答案】B2．袋中共有6個(gè)除了顏色外完全相同的球，其中有1個(gè)紅球、2個(gè)白球和3個(gè)黑球．從袋中任取兩球，兩球顏色為一白一黑的概率等于()\f(1,5) \f(2,5)\f(3,5) \f(4,5)【解析】標(biāo)記紅球?yàn)锳，白球分別為B1、B2，黑球分別為C1、C2、C3，記事件M為“取出的兩球一白一黑”．則基本事件有(A，B1)，(A，B2)，(A，C1)，(A，C2)，(A，C3)，(B1，B2)，(B1，C1)，(B1，C2)，(B1，C3)，(B2，C1)，(B2，C2)，(B2，C3)，(C1，C2)，(C1，C3)，(C2，C3)，共15個(gè)．其中事件M包含的基本事件有(B1，C1)，(B1，C2)，(B1，C3)，(B2，C1)，(B2，C2)，(B2，C3)，共6個(gè)．根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式可得其概率為P(M)＝eq\f(6,15)＝eq\f(2,5).【答案】B3．甲、乙兩人玩數(shù)字游戲，先由甲心中任想一個(gè)數(shù)字記為a，再由乙猜甲剛才想的數(shù)字，把乙猜的數(shù)字記為b，且a，b∈{1,2,3,4,5,6}，若|a－b|≤1，則稱“甲、乙心有靈犀”，現(xiàn)任意找兩個(gè)人玩這個(gè)游戲，得出他們“心有靈犀”的概率為________．【解析】當(dāng)a＝1，b＝1,2；當(dāng)a＝2時(shí)，b＝1,2,3；當(dāng)a＝3時(shí)，b＝2,3,4；當(dāng)a＝4時(shí)，b＝3,4,5；當(dāng)a＝5時(shí)，b＝4,5,6；當(dāng)a＝6時(shí)，b＝5,6；所以“心有靈犀”包含的基本事件數(shù)有16個(gè)，而基本事件總數(shù)為36，故P＝eq\f(16,36)＝eq\f(4,9).【答案】eq\f(4,9)4．(2023·青島高一檢測(cè))袋中有5張卡片，其中紅色卡片三張，標(biāo)號(hào)分別為1,2,3；藍(lán)色卡片兩張，標(biāo)號(hào)為1,2.(1)從以上五張卡片中任取兩張，求這兩張卡片顏色不同且標(biāo)號(hào)之和小于4的概率；(2)向袋中再放入一張標(biāo)號(hào)為0的綠色卡片，從這六張卡片中任取兩張，求這兩張卡片顏色不同且標(biāo)號(hào)之和小于4的概率.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：63580036】【解】(1)標(biāo)號(hào)為1,2,3的三張紅色卡片分別記為A，B，C，標(biāo)號(hào)為1,2的兩張藍(lán)色卡片分別記為D，E，從五張卡片中任取兩張的所有可能的結(jié)果為：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)，共10種．由于每一張卡片被取到的機(jī)會(huì)均等，因此這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的．從五張卡片中任取兩張，這兩張卡片顏色不同且它們的標(biāo)號(hào)之和小于4的結(jié)果為：(A，D)，(A，E)，(B，D)，共3種．所以這兩張卡片顏色不同且它們的標(biāo)號(hào)之和小于4的概率為eq\f(3,10).(2)記F為標(biāo)號(hào)為0的綠色卡片，從六張卡片中任取兩張的所有可能的結(jié)果為：(A，B)，(A，C)，(A