高中數(shù)學(xué)蘇教版1第3章空間向量與立體幾何3．2空間向量的應(yīng)用學(xué)業(yè)第3章

學(xué)業(yè)分層測評(建議用時：45分鐘)[學(xué)業(yè)達標(biāo)]一、填空題1．若兩平面α，β的法向量分別為u＝(2，－3,4)，ν＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，1，－\f(4,3)))，則α與β的位置關(guān)系是________．【解析】∵u＝－3ν，∴u∥ν，∴α∥β.【答案】平行2．若平面α，β的法向量分別為(－1,2,4)，(x，－1，－2)，并且α⊥β，則x的值為________．【解析】∵α⊥β，∴－x－2－8＝0，∴x＝－10.【答案】－103．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，O是B1D1的中點，則B1C與平面ODC1的關(guān)系是________.【【解析】∵eq\o(B1C,\s\up8(→))＝eq\o(B1C1,\s\up8(→))＋eq\o(B1B,\s\up8(→))＝eq\o(B1O,\s\up8(→))＋eq\o(OC1,\s\up8(→))＋eq\o(D1O,\s\up8(→))＋eq\o(OD,\s\up8(→))＝eq\o(OC1,\s\up8(→))＋eq\o(OD,\s\up8(→))，∴eq\o(B1C,\s\up8(→))，eq\o(OC1,\s\up8(→))，eq\o(OD,\s\up8(→))共面．又∵B1C不在平面ODC1內(nèi)，∴B1C∥平面ODC1.【答案】平行4．若eq\o(AB,\s\up8(→))＝λeq\o(CD,\s\up8(→))＋μeq\o(CE,\s\up8(→))(λ，μ∈R)，則直線AB與平面CDE的位置關(guān)系是________．【解析】∵eq\o(AB,\s\up8(→))＝λeq\o(CD,\s\up8(→))＋μeq\o(CE,\s\up8(→))(λ，μ∈R)，∴eq\o(AB,\s\up8(→))與eq\o(CD,\s\up8(→))，eq\o(CE,\s\up8(→))共面，∴AB∥平面CDE或AB?平面CDE.【答案】AB∥平面CDE或AB?平面CDE5．已知eq\o(AB,\s\up8(→))＝(1,5，－2)，eq\o(BC,\s\up8(→))＝(3,1，z)，若eq\o(AB,\s\up8(→))⊥eq\o(BC,\s\up8(→))，eq\o(BP,\s\up8(→))＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，則(x，y，z)等于________．【解析】eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(BC,\s\up8(→))＝3＋5－2z＝0，故z＝\o(BP,\s\up8(→))·eq\o(AB,\s\up8(→))＝x－1＋5y＋6＝0，且eq\o(BP,\s\up8(→))·eq\o(BC,\s\up8(→))＝3(x－1)＋y－12＝0，得x＝eq\f(40,7)，y＝－eq\f(15,7).【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(40,7)，－\f(15,7)，4))6．如圖3-2-13，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，P為A1B1上任意一點，則DP與BC1始終________(填“垂直”或“平行”圖3-2-13【解析】因為eq\o(DP,\s\up8(→))·eq\o(C1B,\s\up8(→))＝(eq\o(DA1,\s\up8(→))＋eq\o(A1P,\s\up8(→)))·eq\o(C1B,\s\up8(→))＝(eq\o(CB1,\s\up8(→))＋eq\o(A1P,\s\up8(→)))·eq\o(C1B,\s\up8(→))＝eq\o(CB1,\s\up8(→))·eq\o(C1B,\s\up8(→))＋eq\o(A1P,\s\up8(→))·eq\o(C1B,\s\up8(→))＝eq\o(A1P,\s\up8(→))·eq\o(C1B,\s\up8(→))＝eq\o(A1P,\s\up8(→))·(eq\o(C1C,\s\up8(→))＋eq\o(CB,\s\up8(→)))＝eq\o(A1P,\s\up8(→))·eq\o(C1C,\s\up8(→))＋eq\o(A1P,\s\up8(→))·eq\o(CB,\s\up8(→))＝0，所以eq\o(DP,\s\up8(→))⊥eq\o(C1B,\s\up8(→))，即DP與BC1始終垂直．【答案】垂直7．已知點A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，則△ABC的形狀是________三角形．【解析】求得eq\o(AC,\s\up8(→))＝(5,1，－7)，eq\o(BC,\s\up8(→))＝(2，－3,1)，因為eq\o(AC,\s\up8(→))·eq\o(BC,\s\up8(→))＝0，所以eq\o(AC,\s\up8(→))⊥eq\o(BC,\s\up8(→))，所以△ABC是直角三角形．【答案】直角8．如圖3-2-14所示，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝eq\r(3)，AD＝2eq\r(2)，P為C1D1的中點，M為BC的中點，則AM與PM的位置關(guān)系為________．圖3-2-14【解析】以D點為原點，分別以DA，DC，DD1所在直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz，依題意，可得D(0,0,0)，P(0,1，eq\r(3))，C(0,2,0)，A(2eq\r(2)，0,0)，M(eq\r(2)，2,0)．∴eq\o(PM,\s\up8(→))＝(eq\r(2)，2,0)－(0,1，eq\r(3))＝(eq\r(2)，1，－eq\r(3))，eq\o(AM,\s\up8(→))＝(eq\r(2)，2,0)－(2eq\r(2)，0,0)＝(－eq\r(2)，2,0)，∴eq\o(PM,\s\up8(→))·eq\o(AM,\s\up8(→))＝(eq\r(2)，1，－eq\r(3))·(－eq\r(2)，2,0)＝0，即eq\o(PM,\s\up8(→))⊥eq\o(AM,\s\up8(→))，∴AM⊥PM.【答案】垂直二、解答題9．已知四棱錐P-ABCD的底面是直角梯形，AB∥DC，∠DAB＝90°，PD⊥底面ABCD，圖3-2-15且PD＝DA＝CD＝2AB＝2，M點為PC的中點．(1)求證：BM∥平面PAD；(2)在平面PAD內(nèi)找一點N，使MN⊥平面PBD.【解】(1)證明：因為PD⊥底面ABCD，CD∥AB，CD⊥AD.所以以D為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz(如圖所示)．由于PD＝CD＝DA＝2AB＝2，所以D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,1,0)，C(0,2,0)，P(0,0,2)，M(0,1,1)，所以eq\o(BM,\s\up8(→))＝(－2,0,1)，eq\o(DC,\s\up8(→))＝(0,2,0)，因為DC⊥平面PAD，所以eq\o(DC,\s\up8(→))是平面PAD的法向量，又因為eq\o(BM,\s\up8(→))·eq\o(DC,\s\up8(→))＝0，且BM?平面PAD，所以BM∥平面PAD.(2)設(shè)N(x,0，z)是平面PAD內(nèi)一點，則eq\o(MN,\s\up8(→))＝(x，－1，z－1)，eq\o(DP,\s\up8(→))＝(0,0,2)，eq\o(DB,\s\up8(→))＝(2,1,0)，若MN⊥平面PBD，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2z－1＝0，,2x－1＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2)，,z＝1，))所以在平面PAD內(nèi)存在點Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，1))，使MN⊥平面PBD.10．如圖3-2-16所示，在四棱錐P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四邊形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，點M在PB上，PB＝4PM，PB與平面ABCD成30°的角．求證：圖3-2-16(1)CM∥平面PAD；(2)平面PAB⊥平面PAD.【證明】以C為坐標(biāo)原點，CB所在直線為x軸，CD所在直線為y軸，CP所在直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C-xyz.∵PC⊥平面ABCD，∴∠PBC為PB與平面ABCD所成的角，∴∠PBC＝30°.∵PC＝2，∴BC＝2eq\r(3)，PB＝4，∴D(0,1,0)，B(2eq\r(3)，0,0)，A(2eq\r(3)，4,0)，P(0,0,2)，Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，0，\f(3,2)))，∴eq\o(DP,\s\up8(→))＝(0，－1,2)，eq\o(DA,\s\up8(→))＝(2eq\r(3)，3,0)，eq\o(CM,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，0，\f(3,2)))，(1)法一：令n＝(x，y，z)為平面PAD的一個法向量，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(DP,\s\up8(→))·n＝0，,\o(DA,\s\up8(→))·n＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－y＋2z＝0，,2\r(3)x＋3y＝0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(z＝\f(1,2)y，,x＝－\f(\r(3),2)y，))令y＝2，得n＝(－eq\r(3)，2,1)．∵n·eq\o(CM,\s\up8(→))＝－eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＋2×0＋1×eq\f(3,2)＝0，∴n⊥eq\o(CM,\s\up8(→))，又CM?平面PAD，∴CM∥平面PAD.法二：∵eq\o(PD,\s\up8(→))＝(0,1，－2)，eq\o(PA,\s\up8(→))＝(2eq\r(3)，4，－2)，令eq\o(CM,\s\up8(→))＝xeq\o(PD,\s\up8(→))＋yeq\o(PA,\s\up8(→))，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)＝2\r(3)y，,0＝x＋4y，,\f(3,2)＝－2x－2y，))方程組有解為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝\f(1,4)，))∴eq\o(CM,\s\up8(→))＝－eq\o(PD,\s\up8(→))＋eq\f(1,4)eq\o(PA,\s\up8(→))，由共面向量定理知eq\o(CM,\s\up8(→))與eq\o(PD,\s\up8(→))，eq\o(PA,\s\up8(→))共面．又∵CM?平面PAD，∴CM∥平面PAD.(2)取AP的中點E，連結(jié)BE，則E(eq\r(3)，2,1)，eq\o(BE,\s\up8(→))＝(－eq\r(3)，2,1)，∵PB＝AB，∴BE⊥PA.又∵eq\o(BE,\s\up8(→))·eq\o(DA,\s\up8(→))＝(－eq\r(3)，2,1)·(2eq\r(3)，3,0)＝0，∴eq\o(BE,\s\up8(→))⊥eq\o(DA,\s\up8(→))，∴BE⊥DA，又PA∩DA＝A，∴BE⊥平面PAD.又∵BE?平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD.[能力提升]1．空間直角坐標(biāo)系中，A(1,2,3)，B(－2，－1,6)，C(3,2,1)，D(4,3,0)，則直線AB與CD的位置關(guān)系是________________．【導(dǎo)學(xué)號：09390085】【解析】由題意得，eq\o(AB,\s\up8(→))＝(－3，－3,3)，eq\o(CD,\s\up8(→))＝(1,1，－1)，∴eq\o(AB,\s\up8(→))＝－3eq\o(CD,\s\up8(→))，∴eq\o(AB,\s\up8(→))與eq\o(CD,\s\up8(→))共線．又eq\o(AB,\s\up8(→))與eq\o(CD,\s\up8(→))沒有公共點．∴AB∥CD.【答案】平行2.如圖3-2-17，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為1的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD＝1，若E，F(xiàn)分別為PB，AD中點，則直線EF與平面PBC的位置關(guān)系________．圖3-2-17【解析】以D為原點，DA，DC，DP所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，\f(1,2)))，F(xiàn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，0))，∴eq\o(EF,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,2)，－\f(1,2)))，平面PBC的一個法向量n＝(0,1,1)．∵eq\o(EF,\s\up8(→))＝－eq\f(1,2)n，∴eq\o(EF,\s\up8(→))∥n，∴EF⊥平面PBC.【答案】垂直3．已知空間兩點A(－1,1,2)，B(－3,0,4)，直線l的方向向量為a，若|a|＝3，且直線l與直線AB平行，則a＝________.【解析】設(shè)a＝(x，y，z)，∵eq\o(AB,\s\up8(→))＝(－2，－1,2)，且l與AB平行，∴a∥eq\o(AB,\s\up8(→))，∴eq\f(x,－2)＝eq\f(y,－1)＝eq\f(z,2)，∴x＝2y，z＝－2y.又∵|a|＝3，∴|a|2＝x2＋y2＋z2＝4y2＋y2＋4y2＝9，∴y＝±1，∴a＝(2,1，－2)或(－2，－1,2)．【答案】(2,1，－2)或(－2，－1,2)4．如圖3-2-18所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝a，∠ABC＝60°，平面ACFE⊥平面ABCD，四邊形ACFE是矩形，AE＝a，點M在線段EF上．當(dāng)EM為何值時，AM∥平面BDF？證明你的結(jié)論．圖3-2-18【解】法一：當(dāng)EM＝eq\f(\r(3),3)a時，AM∥平面BDF，以點C為原點，CA，CB，CF所在直線為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則C(0,0,0)，B(0，a,0)，A(eq\r(3)a,0,0)，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3)a,2)，－\f(1,2)a，0))，F(xiàn)(0,0，a)，E(eq\r(3)a,0，a)，因為AM?平面BDF，所以AM∥平面BDF?eq\o(AM,\s\up8(→))與eq\o(FB,\s\up8(→))，eq\o(FD,\s\up8(→))共面，所以存在實數(shù)m，n，使eq\o(AM,\s\up8(→))＝meq\o(FB,\s\up8(→))＋neq\o(FD,\s\up8(→))，設(shè)e