高中數(shù)學人教A版2本冊總復(fù)習總復(fù)習（區(qū)一等獎）2

1．1變化率與導(dǎo)數(shù)1．變化率問題1．導(dǎo)數(shù)的概念1．通過對大量實例的分析，經(jīng)歷由平均變化率過渡到瞬時變化率的過程，了解導(dǎo)數(shù)概念的實際背景．2．會求函數(shù)在某一點附近的平均變化率．(重點)3．會利用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)在某點處的導(dǎo)數(shù)．(重點、難點)4．理解函數(shù)的平均變化率，瞬時變化率及導(dǎo)數(shù)的概念．(易混點)[基礎(chǔ)·初探]教材整理1函數(shù)的平均變化率閱讀教材P2～P4“思考”以上部分，完成下列問題．1．函數(shù)的平均變化率對于函數(shù)y＝f(x)，給定自變量的兩個值x1，x2，當自變量x從x1變?yōu)閤2時，函數(shù)值從f(x1)變?yōu)閒(x2)，我們把式子____________稱為函數(shù)y＝f(x)從x1到x2的平均變化率．2．平均變化率的幾何意義設(shè)A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))是曲線y＝f(x)上任意不同的兩點，函數(shù)y＝f(x)的平均變化率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx2－fx1,x2－x1)＝eq\f(fx1＋Δx－fx1,Δx)為割線AB的______，如圖1-1-1所示．圖1-1-1【答案】\f(fx2－fx1,x2－x1)2.斜率判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)由Δx＝x2－x1，知Δx可以為0.()(2)Δy＝f(x2)－f(x1)是Δx＝x2－x1相應(yīng)的改變量，Δy的值可正，可負，也可為零，因此平均變化率可正，可負，可為零．()(3)對山坡的上、下兩點A，B中，eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(y2－y1,x2－x1)可以近似刻畫山坡的陡峭程度．()【答案】(1)×(2)√(3)√教材整理2瞬時速度、導(dǎo)數(shù)的概念閱讀教材P4～P6“例1”以上部分，完成下列問題．1．瞬時速度(1)物體在__________的速度稱為瞬時速度．(2)一般地，設(shè)物體的運動規(guī)律是s＝s(t)，則物體在t0到t0＋Δt這段時間內(nèi)的平均速度為eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(st0＋Δt－st0,Δt).如果Δt無限趨近于0時，eq\f(Δs,Δt)無限趨近于某個常數(shù)v，我們就說當Δt趨向于0時，eq\f(Δs,Δt)的________是v，這時v就是物體在時刻t＝t0時的瞬時速度，即瞬時速度v＝eq\o(lim,\s\do8(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝eq\o(lim,\s\do8(Δt→0))eq\f(st0＋Δt－st0,Δt).2．導(dǎo)數(shù)的定義函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的瞬時變化率是eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)，我們稱它為函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)，記作_____________________，即f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))_________________.【答案】1.(1)某一時刻(2)極限2．f′(x0)或y′|x＝x0eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)1．判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)值與Δx值的正、負無關(guān)．()(2)瞬時變化率是刻畫某函數(shù)值在區(qū)間[x1，x2]上變化快慢的物理量．()(3)在導(dǎo)數(shù)的定義中，Δx，Δy都不可能為零．()【解析】(1)由導(dǎo)數(shù)的定義知，函數(shù)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)只與x0有關(guān)，故正確．(2)瞬時變化率是刻畫某一時刻變化快慢的物理量，故錯誤．(3)在導(dǎo)數(shù)的定義中，Δy可以為零，故錯誤．【答案】(1)√(2)×(3)×2．函數(shù)f(x)＝x2在x＝1處的瞬時變化率是__________．【解析】∵f(x)＝x2.∴在x＝1處的瞬時變化率是eq\o(lim,\s\up6(),\s\do8(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\up6(),\s\do8(Δx→0))eq\f(f1＋Δx－f1,Δx)＝eq\o(lim,\s\up6(),\s\do8(Δx→0))eq\f(1＋Δx2－12,Δx)＝eq\o(lim,\s\up6(),\s\do8(Δx→0))(2＋Δx)＝2.【答案】2[質(zhì)疑·手記]預(yù)習完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1：_______________________________________________________解惑：________________________________________________________疑問2：_______________________________________________________解惑：________________________________________________________疑問3：_______________________________________________________解惑：________________________________________________________[小組合作型]求函數(shù)的平均變化率(1)已知函數(shù)y＝f(x)＝x2＋1，則在x＝2，Δx＝時，Δy的值為()【導(dǎo)學號：60030000】A． B．C． D．(2)已知函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(1,x)，分別計算f(x)在自變量x從1變到2和從3變到5時的平均變化率，并判斷在哪個區(qū)間上函數(shù)值變化得較快．【精彩點撥】(1)由Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝f(2＋－f(2)可得．(2)eq\x(求Δx＝x2－x1)→eq\x(求Δy＝fx2－fx1)→eq\x(計算\f(Δy,Δx))【自主解答】(1)Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝f－f(2)＝－22＝.【答案】B(2)自變量x從1變到2時，函數(shù)f(x)的平均變化率為eq\f(f2－f1,2－1)＝eq\f(2＋\f(1,2)－1＋1,1)＝eq\f(1,2)；自變量x從3變到5時，函數(shù)f(x)的平均變化率為eq\f(f5－f3,5－3)＝eq\f(5＋\f(1,5)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3＋\f(1,3))),2)＝eq\f(14,15).因為eq\f(1,2)<eq\f(14,15)，所以函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(1,x)在自變量x從3變到5時函數(shù)值變化得較快．1．求函數(shù)平均變化率的三個步驟第一步，求自變量的增量Δx＝x2－x1.第二步，求函數(shù)值的增量Δy＝f(x2)－f(x1)．第三步，求平均變化率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx2－fx1,x2－x1).2．求平均變化率的一個關(guān)注點求點x0附近的平均變化率，可用eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)的形式．[再練一題]1．函數(shù)y＝x2＋1在[1,1＋Δx]上的平均變化率是()A．2 B．2xC．2＋Δx D．2＋(Δx)2【解析】∵Δy＝(1＋Δx)2＋1－(12＋1)＝2Δx＋Δx2，∴eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(2Δx＋Δx2,Δx)＝2＋Δx，故選C.【答案】C求瞬時速度(1)以初速度v0(v0>0)垂直上拋的物體，t秒時的高度為s(t)＝v0t－eq\f(1,2)gt2，則物體在t0時刻的瞬時速度為__________．(2)某物體的運動方程為s＝2t3，則物體在第t＝1時的瞬時速度是__________．【精彩點撥】先求出eq\f(Δs,Δt)，再求eq\o(lim,\s\do8(Δt→0))eq\f(Δs,Δt).【自主解答】(1)∵Δs＝v0(t0＋Δt)－eq\f(1,2)g(t0＋Δt)2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(v0t0－\f(1,2)gt\o\al(2,0)))＝v0Δt－gt0Δt－eq\f(1,2)gΔt2，∴eq\f(Δs,Δt)＝v0－gt0－eq\f(1,2)gΔt，∴eq\o(lim,\s\do8(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝v0－gt0，即t0時刻的瞬時速度為v0－gt0.(2)∵當t＝1時，Δs＝2(1＋Δt)3－2×13＝2[1＋(Δt)3＋3Δt＋3(Δt)2]－2＝2＋2(Δt)3＋6Δt＋6(Δt)2－2＝2(Δt)3＋6(Δt)2＋6Δt，∴eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(2Δt3＋6Δt2＋6Δt,Δt)＝2(Δt)2＋6Δt＋6，∴eq\o(lim,\s\do8(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝6，則物體在第t＝1時的瞬時速度是6.【答案】(1)v0－gt0(2)61．求運動物體；瞬時速度的三個步驟(1)求時間改變量Δt和位移改變量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)．(2)求平均速度eq\x\to(v)＝eq\f(Δs,Δt).(3)求瞬時速度，當Δt無限趨近于0時，eq\f(Δs,Δt)無限趨近于常數(shù)v，即為瞬時速度．2．求eq\f(Δy,Δx)(當Δx無限趨近于0時)的極限的方法(1)在極限表達式中，可把Δx作為一個數(shù)來參與運算．(2)求出eq\f(Δy,Δx)的表達式后，Δx無限趨近于0就是令Δx＝0，求出結(jié)果即可．[再練一題]2．一做直線運動的物體，其位移s與時間t的關(guān)系是s＝3t－t2(位移單位：m，時間單位：s).【導(dǎo)學號：60030001】(1)求此物體的初速度；(2)求此物體在t＝2時的瞬時速度；(3)求t＝0到t＝2時的平均速度．【解】(1)初速度v0＝eq\o(lim,\s\up6(),\s\do8(Δt→0))eq\f(sΔt－s0,Δt)＝eq\o(lim,\s\up6(),\s\do8(Δt→0))eq\f(3Δt－Δt2,Δt)＝eq\o(lim,\s\up6(),\s\do8(Δt→0))(3－Δt)＝3，即物體的初速度為3m/s.(2)v瞬＝eq\o(lim,\s\up6(),\s\do8(Δt→0))eq\f(s2＋Δt－s2,Δt)＝eq\o(lim,\s\up6(),\s\do8(Δt→0))eq\f(32＋Δt－2＋Δt2－3×2－4,Δt)＝eq\o(lim,\s\up6(),\s\do8(Δt→0))eq\f(－Δt2－Δt,Δt)＝eq\o(lim,\s\up6(),\s\do8(Δt→0))(－Δt－1)＝－1，即物體在t＝2時的瞬時速度為1m/s，方向與初速度相反．(3)eq\x\to(v)＝eq\f(s2－s0,2－0)＝eq\f(6－4－0,2)＝1，即t＝0到t＝2時的平均速度為1m/s.[探究共研型]求函數(shù)在某點處的導(dǎo)數(shù)一質(zhì)點的運動方程為s＝8－3t2，其中s表示位移，t表示時間．探究1試求質(zhì)點在[1,1＋Δt]這段時間內(nèi)的平均速度．【提示】eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(8－31＋Δt2－8－3×12,Δt)＝－6－3Δt.探究2當Δt趨近于0時探究1中的平均速度趨近于何值？如何理解這一速度？【提示】當Δt趨近于0時，eq\f(Δs,Δt)趨近于－6.這時的平均速度即為t＝1時的瞬時速度．(1)求函數(shù)f(x)＝－x2＋x在x＝－1附近的平均變化率，并求出在該點處的導(dǎo)數(shù)；(2)求函數(shù)y＝3x2在x＝1處的導(dǎo)數(shù)．【精彩點撥】求函數(shù)f(x)在任意點處的導(dǎo)數(shù)都應(yīng)先求平均變化率，再求f′(x0)．【自主解答】(1)∵Δy＝f(－1＋Δx)－f(－1)＝－(－1＋Δx)2＋(－1＋Δx)＋2＝3Δx－(Δx)2，∴eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(3Δx－Δx2,Δx)＝3－Δx，∴f′(－1)＝eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))(3－Δx)＝3.(2)∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝3(1＋Δx)2－3＝6Δx＋3(Δx)2，∴eq\f(Δy,Δx)＝6＋3Δx，∴f′(1)＝eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))(6＋3Δx)＝6.1．通過本例(1)進一步感受平均變化率與瞬時變化率的關(guān)系，對于Δy與Δx的比值，感受和認識在Δx逐漸變小的過程中趨近于一個固定的常數(shù)A這一現(xiàn)象．2．用定義求函數(shù)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)的步驟(1)求函數(shù)的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；(2)求平均變化率eq\f(Δy,Δx)；(3)求極限，得導(dǎo)數(shù)為f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))eq\f(Δy,Δx).簡記為：一差、二比、三趨近．[再練一題]3．求函數(shù)f(x)＝x－eq\f(1,x)在x＝1處的導(dǎo)數(shù)．【解】∵Δy＝(1＋Δx)－eq\f(1,1＋Δx)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,1)))＝Δx＋1－eq\f(1,1＋Δx)＝Δx＋eq\f(Δx,1＋Δx)，∴eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(Δx＋\f(Δx,1＋Δx),Δx)＝1＋eq\f(1,1＋Δx)，∴f′(1)＝eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,1＋Δx)))＝2.[構(gòu)建·體系]1．已知函數(shù)y＝f(x)＝2x2的圖象上點P(1,2)及鄰近點Q(1＋Δx,2＋Δy)，則eq\f(Δy,Δx)的值為()A．4 B．4xC．4＋2Δx2 D．4＋2Δx【解析】eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(21＋Δx2－2×12,Δx)＝4＋2Δx.【答案】D2．一個物體的運動方程為s＝1－t＋t2，其中s的單位是：m，t的單位是：s，那么物體在3s末的瞬時速度是()A．7m/s B．6m/sC．5m/s D．8m/s【解析】∵eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(1－3＋Δt＋3＋Δt2－1－3＋32,Δt)＝5＋Δt，∴eq\o(lim,\s\do8(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝eq\o(lim,\s\do8(Δt→0))(5＋Δt)＝5(m/s)．【答案】C3．質(zhì)點運動規(guī)律s＝eq\f(1,2)gt2，則在時間區(qū)間(3,3＋Δt)內(nèi)的平均速度等于________．(g＝10m/s2)【解析】Δs＝eq\f(1,2)g×(3＋Δt)2－eq\f(1,2)g×32＝eq\f(1,2)×10×[6Δt＋(Δt)2]＝30Δt＋5(Δt)2，eq\x\to(v)＝eq\f(Δs,Δt)＝30＋5Δt.【答案】30＋5Δt4．一質(zhì)點M按運動方程s(t)＝at2＋1做直線運動(位移單位：m，時間單位：s)．若質(zhì)點M在t＝2s時的瞬時速度為8m/s，則常數(shù)a＝________.【導(dǎo)學號：60030002】【解析】因為Δs＝s(2＋Δt)－s(2)＝a(2＋Δt)2＋1－a·22－1＝4aΔt＋a(Δt)2，所以eq\f(Δs,Δt)＝4a＋aΔt，故當t＝2時，瞬時速度為eq\o(lim,\s\do8(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝4a，所以4a＝8，所以a＝2.【答案】25．在曲線y＝f(x)＝x2＋3上取一點P(1,4)及附近一點(1＋Δx,4＋Δy)，求：(1)eq\f(Δy,Δx)；(2)f′(1)．【解】(1)eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f1＋Δx－f1,Δx)＝eq\f(1＋Δx2＋3－12＋3,Δx)＝2＋Δx.(2)f′(1)＝eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))eq\f(f1＋Δx－f1,Δx)＝eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))(2＋Δx)＝2.我還有這些不足：(1)(2)我的課下提升方案：(1)(2)學業(yè)分層測評(建議用時：45分鐘)[學業(yè)達標]一、選擇題1．函數(shù)f(x)＝x2－1在區(qū)間[1，m]上的平均變化率為3，則實數(shù)m的值為()A．3 B．2C．1 D．4【解析】由已知得：eq\f(m2－1－12－1,m－1)＝3，∴m＋1＝3，∴m＝2.【答案】B2．一質(zhì)點運動的方程為s＝5－3t2，若該質(zhì)點在時間段[1,1＋Δt]內(nèi)相應(yīng)的平均速度為－3Δt－6，則該質(zhì)點在t＝1時的瞬時速度是()【導(dǎo)學號：60030003】A．－3 B．3C．6 D．－6【解析】由平均速度和瞬時速度的關(guān)系可知，v＝s′(1)＝eq\o(lim,\s\do6(Δt→0))(－3Δt－6)＝－6.【答案】D3．已知函數(shù)f(x)＝2x2－4的圖象上一點(1，－2)及附近一點(1＋Δx，－2＋Δy)，則eq\f(Δy,Δx)＝()A．4 B．4xC．4＋2Δx D．4＋2(Δx)2【解析】因為Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝2(1＋Δx)2－4－(2×12－4)＝4Δx＋2(Δx)2，所以eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(4Δx＋2Δx2,Δx)＝4＋2Δx.【答案】C4．設(shè)函數(shù)f(x)在點x0附近有定義，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b為常數(shù))，則()A．f′(x)＝a B．f′(x)＝bC．f′(x0)＝a D．f′(x0)＝b【解析】∵f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(aΔx＋bΔx2,Δx)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))(a＋bΔx)＝a，∴f′(x0)＝a.【答案】C5．設(shè)函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處可導(dǎo)，且eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(fx0－3Δx－fx0,Δx)＝1，則f′(x0)等于()A．1 B．－1C．－eq\f(1,3) \f(1,3)【解析】∵eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(fx0－3Δx－fx0,Δx)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))[eq\f(fx0－3Δx－fx0,－3Δx)·(－3)]＝－3f′(x0)＝1，∴f′(x0)＝－eq\f(1,3).【答案】C二、填空題6．(2023·太原高二檢測)若f′(x0)＝1，則eq\o(lim,\s\do6(k→0))eq\f(fx0－k－fx0,2k)＝__________.【解析】eq\o(lim,\s\do6(k→0))eq\f(fx0－k－fx0,2k)＝－eq\f(1,2)eq\o(lim,\s\do6(k→0))eq\f(fx0－k－fx0,－k)＝－eq\f(1,2)f′(x0)＝－eq\f(1,2).【答案】－eq\f(1,2)7．汽車行駛的路程s和時間t之間的函數(shù)圖象如圖1-1-2所示．在時間段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分別為eq\x\to(v)1，eq\x\to(v)2，eq\x\to(v)3，其三者的大小關(guān)系是________．圖1-1-2【解析】∵eq\x\to(v)1＝eq\f(st1－st0,t1－t0)＝kMA，eq\x\to(v)2＝eq\f(st2－st1,t2－t1)＝kAB，eq\x\to(v)3＝eq\f(st3－st2,t3－t2)＝kBC，由圖象可知：kMA<kAB<kBC，∴eq\x\to(v)3>eq\x\to(v)2>eq\x\to(v)1.【答案】eq\x\to(v)3>eq\x\to(v)2>eq\x\to(v)18．一物體位移s和時間t的關(guān)系是s＝2t－3t2，則物體的初速度是__________．【解析】物體的速度為v＝s′(t)，∴s′(t)＝eq\o(lim,\s\do6(Δt→0))eq\f(st＋Δt－st,Δt)＝eq\o(lim,\s\do6(Δt→0))eq\f(2t＋Δt－3t＋Δt2－2t＋3t2,Δt)＝eq\o(lim,\s\do6(Δt→0))eq\f(2Δt－6tΔt－3Δt2,Δt)＝2－6t.即v＝2－6t，所以物體的初速度是v0＝2－6×0＝2.【答案】2三、解答題9．已知某物體按照s(t)＝3t2＋t＋4(t的單位：s，s的單位：m)的規(guī)律做直線運動，求該物體在4s附近的平均速度．【解】eq\x\to(v)＝eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(s4＋Δt－s4,Δt)＝eq\f(34＋Δt2＋4＋Δt＋4－3×42＋4＋4,Δt)＝(25＋3Δt)m/s，即該物體在4s附近的平均速度為(25＋3Δt)m/s.10．(2023·聊城高二檢測)求函數(shù)y＝x2＋ax＋b(a，b為常數(shù))的導(dǎo)數(shù)．【解】因為Δy＝[(x＋Δx)2＋a(x＋Δx)＋b]－(x2＋ax＋b)＝2x·Δx＋(Δx)2＋a·Δx＝(2x＋a)·Δx＋(Δx)2，故eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(2x＋a·Δx＋Δx2,Δx)＝(2x＋a)＋Δx，eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))(2x＋a＋Δx)＝2x＋a，所以y′＝2x＋a.[能力提升]1．若f(x)＝x3，f′(x0)＝3，則x0的值是()A．1 B．－1C．±1 D．3eq\r(3)【解析】∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝(x0＋Δx)3－xeq\o\al(3,0)＝3xeq\o\al(2,0)Δx＋3x0(Δx)2＋(Δx)3，∴eq\f(Δy,Δx)＝3xeq\o\al(2,0)＋3x0Δx＋(Δx)2，∴f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))[3xeq\o\al(2,0)＋3x0Δx＋(Δx)2]＝3xeq\o\al(2,0)，由f′(x0)＝3，得3xeq\o\al(2,0)＝3，∴x0＝±1.【答案】C2．如果函數(shù)y＝f(x)在x＝1處的導(dǎo)數(shù)為1，那么eq\o(lim,\s\do6(x→0))eq\f(fx＋1－f1,2x)＝()【導(dǎo)學號：60030004】\f(1,2) B．1C．2 \f(1,4)【解析】因為f′(1)＝1，所以eq\o(lim,\s\do6(x→0))eq\f(f1＋x－f1,x)＝1，所以eq\o(lim,\s\do6(x→0))eq\f(fx＋1－f1,2x)＝eq\f(1,2)eq\o(lim,\s\do6(x→0))eq\f(f1＋x－f1,x)＝eq\f(1,2).【答案】A3．已知f′(x0)>0，若a＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)，b＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(fx0－Δx－fx0,Δx)，c＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(fx0＋2Δx－fx0,Δx)，d＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0－Δx,2Δx)，e＝eq\o(lim,\s\do6(x→x0))eq\f(fx－fx0,x－x0)，則a，b，c，d，e的大小關(guān)系為__________．【解析】a＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)＝f′(x0)，b＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(fx0－Δx－fx0,Δx)＝－eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(fx0－Δx－fx0,－Δx)＝－f′(x0)，c＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(fx0＋2Δx－fx0,Δx)＝2eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(fx0＋2Δx－fx0,2Δx)＝2f′(x0)，d＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0－Δx,2Δx)＝f′(x0)，e＝eq\o(lim,\s\do6(x→x0))eq\f(fx－fx0,x－x0)＝f′(x0)．即c>a＝d＝e>b.【答案】c>a＝d＝e>b4．(2023·南充高二檢測)某一運動物體，在x(s)時離開出發(fā)點的距離(單位：m)是f(x)＝eq\f(2,3)x3＋x2＋2x.(1)求在第1s內(nèi)的平均速度；(2)求在1s末的瞬時速度；(3)經(jīng)過多少時間該物體的運動速度達到14m/s?【解】(1)物體在第1s內(nèi)的平均變化率(即平均速度)為eq\f(f1－f0,1－0)＝eq\f(11,3)m/s.(2)eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f1＋Δx－f1,Δx)＝eq\f(\f(2,3)1＋Δx3＋1＋Δx2＋21＋Δx－\f(11,3),Δx)＝6＋3Δx＋eq\f(2,3)(Δx)2.當Δx→0時，eq\f(Δy,Δx)→6，所以物體在1s末的瞬時速度為6m/s.(3)eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx＋Δx－fx,Δx)＝eq\f(\f(2,3)x＋Δx3＋x＋Δx2＋2x＋Δx－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)x3＋x2＋2x)),Δx)＝2x2＋2x＋2＋eq\f(2,3)(Δx)2＋2x·Δx＋Δx.當Δx→0時，eq\f(Δy,Δx)→2x2＋2x＋2，令2x2＋2x＋2＝14，解得x＝2，即經(jīng)過2s該物體的運動速度達到14m/s.1．導(dǎo)數(shù)的幾何意義1．了解導(dǎo)函數(shù)的概念，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義．2．會求導(dǎo)函數(shù)．(重點、難點)3．根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，會求曲線上某點處的切線方程．(重點)4．正確理解曲線“過某點”和“在某點”處的切線，并會求其方程．(易混點)[基礎(chǔ)·初探]教材整理1導(dǎo)數(shù)的幾何意義閱讀教材P7～P8“例3”以上部分，完成下列問題．1．切線的概念：如圖1-1-3，對于割線PPn(n＝1,2,3,4)，當點Pn趨近于點P時，割線PPn趨近于確定的位置，這個確定位置的直線________________稱為點P處的切線．圖1-1-32．導(dǎo)數(shù)f′(x0)的幾何意義：導(dǎo)數(shù)f′(x0)表示曲線y＝f(x)在點________________處的切線的斜率k，即k＝__________.3．切線方程：曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))處的切線方程為________________．【答案】2.(x0，f(x0))f′(x0)－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)的幾何意義是曲線y＝f(x)在點x＝x0處切線的斜率．()(2)若曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))處有切線，則f′(x0)必存在．()(3)若f′(x0)不存在，則曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))處的切線斜率不存在．()【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及切線的定義知曲線在(x0，y0)處有導(dǎo)數(shù)，則切線一定存在，但反之不一定成立．【答案】(1)√(2)×(3)√教材整理2導(dǎo)函數(shù)閱讀教材P8“例3”～P9部分，完成下列問題．對于函數(shù)y＝f(x)，當x＝x0時，f′(x0)是一個確定的數(shù)，當x變化時，f′(x)便是x的一個函數(shù)，我們稱它為f(x)的導(dǎo)函數(shù)(簡稱為導(dǎo)數(shù))，即f′(x)＝y(tǒng)′＝______________.【答案】eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))eq\f(fx＋Δx－fx,Δx)1．判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)導(dǎo)函數(shù)f′(x)的定義域與函數(shù)f(x)的定義域相同．()(2)直線與曲線相切，則直線與已知曲線只有一個公共點．()(3)函數(shù)f(x)＝0沒有導(dǎo)函數(shù)．()【解析】(1)錯．導(dǎo)函數(shù)的定義域和原函數(shù)的定義域可能不同，如f(x)＝xeq\f(1,2)，其定義域為[0，＋∞)，而其導(dǎo)函數(shù)f′(x)＝eq\f(1,2\r(x))，其定義域為(0，＋∞)．(2)錯．直線與曲線相切時，直線與曲線的交點可能有多個．(3)錯．函數(shù)f(x)＝0為常函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)f′(x)＝0，并不是沒有導(dǎo)數(shù)．【答案】(1)×(2)×(3)×2．已知函數(shù)y＝f(x)在點(2,1)處的切線與直線3x－y－2＝0平行，則y′|x＝2等于()A．1 B．－1C．－3 D．3【解析】由題意知f′(2)＝3，即y′|x＝2＝3.【答案】D[質(zhì)疑·手記]預(yù)習完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1：解惑：疑問2：解惑：疑問3：解惑：[小組合作型]求曲線在某點處切線的方程已知曲線C：y＝x3.(1)求曲線C在橫坐標為x＝1的點處的切線方程；(2)第(1)小題中的切線與曲線C是否還有其他的公共點？【精彩點撥】(1)先求切點坐標，再求y′|x＝1，最后利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義寫出切線方程．(2)將切線方程與曲線C的方程聯(lián)立求解．【自主解答】(1)將x＝1代入曲線C的方程得y＝1，∴切點P(1,1)．y′|x＝1＝eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))eq\f(1＋Δx3－1,Δx)＝eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))[3＋3Δx＋Δx2]＝3.∴k＝y(tǒng)′|x＝1＝3.∴曲線在點P(1,1)處的切線方程為y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0.(2)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝3x－2，,y＝x3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝－8，))從而求得公共點為P(1,1)或M(－2，－8)，即切線與曲線C的公共點除了切點外，還有另一公共點(－2，－8)．1．利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線的切線方程的步驟：(1)求出函數(shù)f(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)；(2)寫出切線方程，即y－y0＝f′(x0)·(x－x0)．特別注意：若在點(x0，y0)處切線的傾斜角為eq\f(π,2)，此時所求的切線平行于y軸，所以直線的切線方程為x＝x0.2．曲線的切線與曲線的交點可能不止一個．[再練一題]1．若函數(shù)f(x)在點A(1,2)處的導(dǎo)數(shù)是－1，那么過點A的切線方程是__________.【導(dǎo)學號：60030005】【解析】切線的斜率為k＝－1.∴點A(1,2)處的切線方程為y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.【答案】x＋y－3＝0求切點坐標已知拋物線y＝2x2＋1.求：(1)拋物線上哪一點的切線的傾斜角為45°？(2)拋物線上哪一點的切線平行于直線4x－y－2＝0?【精彩點撥】eq\x(設(shè)點的坐標)→eq\x(求出在該點處的導(dǎo)數(shù))→eq\x(利用條件建立方程)→eq\x(求出點的坐標)【自主解答】設(shè)切點的坐標為(x0，y0)，則Δy＝2(x0＋Δx)2＋1－2xeq\o\al(2,0)－1＝4x0·Δx＋2(Δx)2.∴eq\f(Δy,Δx)＝4x0＋2Δx.∴f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))(4x0＋2Δx)＝4x0.(1)∵拋物線的切線的傾斜角為45°，∴斜率為tan45°＝1，即f′(x0)＝4x0＝1，得x0＝eq\f(1,4)，該點為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(9,8))).(2)∵拋物線的切線平行于直線4x－y－2＝0，∴斜率為4，即f′(x0)＝4x0＝4，得x0＝1，該點為(1,3)．1．本題關(guān)鍵是由條件得到直線的斜率，從而得知函數(shù)在某點處的導(dǎo)數(shù)，進而求出切點的橫坐標．2．根據(jù)切線斜率求切點坐標的步驟(1)設(shè)切點坐標(x0，y0)；(2)求導(dǎo)函數(shù)f′(x)；(3)求切線的斜率f′(x0)；(4)由斜率間的關(guān)系列出關(guān)于x0的方程，解方程求x0；(5)點(x0，y0)在曲線f(x)上，將(x0，y0)代入求y0得切點坐標．[再練一題]2．上例中條件不變，求拋物線上哪一點的切線垂直于直線x＋8y－3＝0?【解】∵拋物線的切線與直線x＋8y－3＝0垂直，∴拋物線的切線的斜率為8.由上例知f′(x0)＝4x0＝8，∴x0＝2，y0＝9.即所求點的坐標為(2,9)．[探究共研型]求曲線過某點的切線方程探究1若函數(shù)y＝f(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)存在，則曲線y＝f(x)在點P(x0，f(x0))處的切線方程是什么？【提示】根據(jù)直線的點斜式方程，得切線方程為y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)．探究2曲線在某點處的切線是否與曲線只有一個交點．【提示】不一定，切線只是一個局部概念，是該點處的割線的極限位置，在其他地方可能還有一個或多個公共點．探究3函數(shù)在某點處的導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)有什么區(qū)別和聯(lián)系．【提示】區(qū)別：函數(shù)在某點處的導(dǎo)數(shù)是一個定值，導(dǎo)函數(shù)是一個函數(shù)．聯(lián)系：函數(shù)f(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)就是導(dǎo)函數(shù)f′(x)在x＝x0時的函數(shù)值．已知曲線f(x)＝eq\f(1,x).(1)求曲線過點A(1,0)的切線方程；(2)求滿足斜率為－eq\f(1,3)的曲線的切線方程．【精彩點撥】(1)點A不在曲線上，設(shè)切點坐標，寫出切線方程，把A(1,0)代入求出切點坐標，進而求出切線方程．(2)設(shè)出切點坐標，由該點斜率為－eq\f(1,3)，求出切點，進而求出切線方程．【自主解答】(1)f′(x)＝eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))eq\f(\f(1,x＋Δx)－\f(1,x),Δx)＝eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))eq\f(－1,x＋Δxx)＝－eq\f(1,x2).設(shè)過點A(1,0)的切線的切點為Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0，\f(1,x0)))，①則f′(x0)＝－eq\f(1,x\o\al(2,0))，即該切線的斜率為k＝－eq\f(1,x\o\al(2,0)).因為點A(1,0)，Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0，\f(1,x0)))在切線上，所以eq\f(\f(1,x0)－0,x0－1)＝－eq\f(1,x\o\al(2,0))，②解得x0＝eq\f(1,2).故切線的斜率k＝－4.故曲線過點A(1,0)的切線方程為y＝－4(x－1)，即4x＋y－4＝0.(2)設(shè)斜率為－eq\f(1,3)的切線的切點為Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(1,a)))，由(1)知，k＝f′(a)＝－eq\f(1,a2)＝－eq\f(1,3)，得a＝±eq\r(3).所以切點坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)，\f(\r(3),3)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\r(3)，－\f(\r(3),3))).故滿足斜率為－eq\f(1,3)的曲線的切線方程為y－eq\f(\r(3),3)＝－eq\f(1,3)(x－eq\r(3))或y＋eq\f(\r(3),3)＝－eq\f(1,3)(x＋eq\r(3))，即x＋3y－2eq\r(3)＝0或x＋3y＋2eq\r(3)＝0.1．求曲線過已知點的切線方程的步驟2．若已知切線的斜率，則可根據(jù)切點處的導(dǎo)數(shù)即為斜率求得切點的坐標，根據(jù)點斜式寫出切線方程．[再練一題]3．求曲線y＝f(x)＝x2＋1過點P(1,0)的切線方程．【解】設(shè)切點為Q(a，a2＋1)，eq\f(fa＋Δx－fa,Δx)＝eq\f(a＋Δx2＋1－a2＋1,Δx)＝2a＋Δx，當Δx趨于0時，(2a＋Δx)趨于2a，所以所求切線的斜率為2a.因此，eq\f(a2＋1－0,a－1)＝2a，解得a＝1±eq\r(2)，所求的切線方程為y＝(2＋2eq\r(2))x－(2＋2eq\r(2))或y＝(2－2eq\r(2))x－(2－2eq\r(2))．[構(gòu)建·體系]1．若曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))處的切線方程為2x－y＋1＝0，則()A．f′(x0)＞0 B．f′(x0)＜0C．f′(x0)＝0 D．f′(x0)不存在【解析】由切線方程可以看出其斜率是2，又曲線在該點處的切線的斜率就是函數(shù)在該點處的導(dǎo)數(shù)．【答案】A2．曲線y＝eq\f(1,2)x2－2在點x＝1處的切線的傾斜角為()A．30° B．45°C．135° D．165°【解析】∵y＝eq\f(1,2)x2－2，∴y′＝eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))eq\f(\f(1,2)x＋Δx2－2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x2－2)),Δx)＝eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))eq\f(\f(1,2)Δx2＋x·Δx,Δx)＝eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)Δx))＝x.∴y′eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1))＝1，∴切線的斜率為1，傾斜角為45°.【答案】B3．曲線f(x)＝eq\f(2,x)在點(－2，－1)處的切線方程為________．【解析】f′(－2)＝eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))eq\f(f－2＋Δx－f－2,Δx)＝eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))eq\f(\f(2,－2＋Δx)＋1,Δx)＝eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))eq\f(1,－2＋Δx)＝－eq\f(1,2)，∴切線方程為y＋1＝－eq\f(1,2)(x＋2)，即x＋2y＋4＝0.【答案】x＋2y＋4＝04．已知二次函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖1-1-4所示，則y＝f(x)在A，B兩點處的導(dǎo)數(shù)f′(a)與f′(b)的大小關(guān)系為：f′(a)________f′(b)(填“＜”或“＞”)．圖1-1-4【解析】f′(a)與f′(b)分別表示函數(shù)圖象在點A，B處的切線斜率，由圖象可得f′(a)＞f′(b)．【答案】＞5．已知直線y＝4x＋a和曲線y＝x3－2x2＋3相切，求切點坐標及a的值.【導(dǎo)學號：60030006】【解】設(shè)直線l與曲線相切于點P(x0，y0)，則f′(x)＝eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))eq\f(x＋Δx3－2x＋Δx2＋3－x3－2x2＋3,Δx)＝3x2－4x.由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，得k＝f′(x0)＝3xeq\o\al(2,0)－4x0＝4，解得x0＝－eq\f(2,3)或x0＝2，∴切點坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，\f(49,27)))或(2,3)．當切點為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，\f(49,27)))時，有eq\f(49,27)＝4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))＋a，∴a＝eq\f(121,27).當切點為(2,3)時，有3＝4×2＋a，∴a＝－5，因此切點坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，\f(49,27)))或(2,3)，a的值為eq\f(121,27)或－5.我還有這些不足：(1)(2)我的課下提升方案：(1)(2)學業(yè)分層測評(建議用時：45分鐘)[學業(yè)達標]一、選擇題1．已知曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線方程為2x－y＋2＝0，則f′(1)＝()A．4 B．－4C．－2 D．2【解析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知f′(1)＝2，故選D.【答案】D2．直線y＝kx＋1與曲線y＝x2＋ax＋b相切于點A(1,3)，則2a＋bA．2 B．－1C．1 D．－2【解析】依導(dǎo)數(shù)定義可求得y′＝3x2＋a，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(12＋a＋b＝3，,3×12＋a＝k，,k＋1＝3，))由此解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝3，,k＝2，))所以2a＋b＝1，選C.【答案】C3．已知曲線y＝x3在點P處的切線的斜率k＝3，則點P的坐標是()【導(dǎo)學號：60030007】A．(1,1) B．(－1,1)C．(1,1)或(－1，－1) D．(2,8)或(－2，－8)【解析】因為y＝x3，所以y′＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(x＋Δx3－x3,Δx)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))[3x2＋3x·Δx＋(Δx)2]＝3x2.由題意，知切線斜率k＝3，令3x2＝3，得x＝1或x＝－1.當x＝1時，y＝1；當x＝－1時，y＝－1.故點P的坐標是(1,1)或(－1，－1)．【答案】C4．(2023·銀川高二檢測)若曲線f(x)＝x2的一條切線l與直線x＋4y－8＝0垂直，則l的方程為()A．4x－y－4＝0 B．x＋4y－5＝0C．4x－y＋3＝0 D．x＋4y＋3＝0【解析】設(shè)切點為(x0，y0)，∵f′(x)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(x＋Δx2－x2,Δx)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))(2x＋Δx)＝2x.由題意可知，切線斜率k＝4，即f′(x0)＝2x0＝4，∴x0＝2，∴切點坐標為(2,4)，∴切線方程為y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0，故選A.【答案】A5．曲線y＝eq\f(1,x)在點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))處的切線的斜率為()A．2 B．－4C．3 \f(1,4)【解】因為y′＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(\f(1,x＋Δx)－\f(1,x),Δx)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(－1,x2＋x·Δx)＝－eq\f(1,x2)，所以曲線在點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))處的切線斜率為k＝y(tǒng)′|x＝eq\f(1,2)＝－4.【答案】B二、填空題6．已知函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖1-1-5所示，則函數(shù)y＝f′(x)的圖象可能是__________(填序號)．圖1-1-5【解析】由y＝f(x)的圖象及導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，當x<0時f′(x)>0，當x＝0時f′(x)＝0，當x>0時f′(x)<0，故②符合．【答案】②7．曲線y＝x2－2x＋3在點A(－1,6)處的切線方程是__________.【解析】因為y＝x2－2x＋3，切點為點A(－1,6)，所以斜率k＝y(tǒng)′|x＝－1＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(－1＋Δx2－2－1＋Δx＋3－1＋2＋3,Δx)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))(Δx－4)＝－4，所以切線方程為y－6＝－4(x＋1)，即4x＋y－2＝0.【答案】4x＋y－2＝08．若曲線y＝x2＋2x在點P處的切線垂直于直線x＋2y＝0，則點P的坐標是__________．【解析】設(shè)P(x0，y0)，則y′|x＝x0＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(x0＋Δx2＋2x0＋Δx－x\o\al(2,0)－2x0,Δx)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))(2x0＋2＋Δx)＝2x0＋2.因為點P處的切線垂直于直線x＋2y＝0，所以點P處的切線的斜率為2，所以2x0＋2＝2，解得x0＝0，即點P的坐標是(0,0)．【答案】(0,0)三、解答題9．(2023·安順高二檢測)已知拋物線y＝f(x)＝x2＋3與直線y＝2x＋2相交，求它們交點處拋物線的切線方程．【解】由方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x2＋3，,y＝2x＋2，))得x2－2x＋1＝0，解得x＝1，y＝4，所以交點坐標為(1,4)，又eq\f(Δx＋12＋3－12＋3,Δx)＝Δx＋2.當Δx趨于0時Δx＋2趨于2，所以在點(1,4)處的切線斜率k＝2，所以切線方程為y－4＝2(x－1)，即y＝2x＋2.10．試求過點P(3,5)且與曲線y＝x2相切的直線方程．【解】y′＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(x＋Δx2－x2,Δx)＝2x.設(shè)所求切線的切點為A(x0，y0)．∵點A在曲線y＝x2上，∴y0＝xeq\o\al(2,0)，又∵A是切點，∴過點A的切線的斜率y′|x＝x0＝2x0，∵所求切線過P(3,5)和A(x0，y0)兩點，∴其斜率為eq\f(y0－5,x0－3)＝eq\f(x\o\al(2,0)－5,x0－3).∴2x0＝eq\f(x\o\al(2,0)－5,x0－3)，解得x0＝1或x0＝5.從而切點A的坐標為(1,1)或(5,25)．當切點為(1,1)時，切線的斜率為k1＝2x0＝2；當切點為(5,25)時，切線的斜率為k2＝2x0＝10.∴所求的切線有兩條，方程分別為y－1＝2(x－1)和y－25＝10(x－5)，即y＝2x－1和y＝10x－25.[能力提升]1．(2023·天津高二檢測)設(shè)f(x)為可導(dǎo)函數(shù)，且滿足eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(f1－f1－x,2x)＝－1，則過曲線y＝f(x)上點(1，f(1))處的切線斜率為()【導(dǎo)學號：60030008】A．2 B．－1C．1 D．－2【解析】∵eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(f1－f1－x,2x)＝eq\f(1,2)eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(f1－x－f1,－x)＝－1，∴eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(f1－x－f1,－x)＝－2，即f′(1)＝－2.由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，曲線在點(1，f(1))處的切線斜率k＝f′(1)＝－2，故選D.【答案】D2．直線y＝kx＋1與曲線y＝x2＋ax＋b相切于點A(1,3)，則2a＋bA．2 B．－1C．1 D．－2【解析】依導(dǎo)數(shù)定義可求得y′＝3x2＋a，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(13＋a＋b＝3，,3×12＋a＝k，,k＋1＝3，))由此解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝3，,k＝2，))所以2a＋b＝1，選C.【答案】C3．(2023·鄭州高二檢測)已知直線x－y－1＝0與拋物線y＝ax2相切，則a的值為________．【解析】設(shè)切點為P(x0，y0)．則f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(ax0＋Δx2－ax\o\al(2,0),Δx)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))(2ax0＋aΔx)＝2ax0，即2ax0＝1.又y0＝axeq\o\al(2,0)，x0－y0－1＝0，聯(lián)立以上三式，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2ax0＝1，,y0＝ax\o\al(2,0)，,x0－y0－1＝0，))解得a＝eq\f(1,4).【答案】eq\f(1,4)4．已知函數(shù)f(x)＝ax2＋1(a>0)，g(x)＝x3＋bx.若曲線y＝f(x)與曲線y＝g(x)在它們的交點(1，c)處具有公切線，求a，b的值．【解】因為f′(x)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(ax＋Δx2＋1－ax2＋1,Δx)＝2ax，所以f′(1)＝2a，即切線斜率k1＝2a.因為g′(x)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(x＋Δx3＋bx＋Δx－x3＋bx,Δx)＝3x2＋b，所以g′(1)＝3＋b，即切線的斜率k2＝3＋b.因為在交點(1，c)處有公切線，所以2a＝3＋b.①又因為c＝a＋1，c＝1＋b，所以a＋1＝1＋b，即a＝b，代入①式，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝3.))導(dǎo)數(shù)的計算1．幾個常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1．基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的運算法則(一)1．能根據(jù)定義求函數(shù)y＝c，y＝x，y＝x2，y＝eq\f(1,x)，y＝eq\r(x)的導(dǎo)數(shù)．(難點)2．掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，并能進行簡單的應(yīng)用．(重點、易混點)[基礎(chǔ)·初探]教材整理1幾個常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)閱讀教材P12～P14“1.2.2”節(jié)以上部分，完成下列問題．原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f(x)＝c(c為常數(shù))f′(x)＝____f(x)＝xf′(x)＝____f(x)＝x2f′(x)＝______f(x)＝eq\f(1,x)f′(x)＝______________f(x)＝eq\r(x)f′(x)＝eq\f(1,2\r(x))【答案】012x－eq\f(1,x2)判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)若y＝x3＋2，則y′＝3x2＋2.()(2)若y＝eq\f(1,x)，則y′＝eq\f(1,x2).()(3)若y＝e，則y′＝0.()【解析】(1)由y＝x3＋2，∴y′＝3x2.(2)由y＝eq\f(1,x)，∴y′＝－eq\f(1,x2).(3)由y＝e，∴y′＝0.【答案】(1)×(2)×(3)√教材整理2基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式閱讀教材P14“例1”以上部分內(nèi)容，完成下列問題．原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f(x)＝c(c為常數(shù))f′(x)＝______f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝__________f(x)＝sinxf′(x)＝________f(x)＝cosxf′(x)＝________f(x)＝axf′(x)＝____________f(x)＝exf′(x)＝__________f(x)＝logaxf′(x)＝eq\f(1,xlna)f(x)＝lnxf′(x)＝eq\f(1,x)【答案】0αxα－1cosx－sinxaxlnaex1．給出下列命題：①y＝ln2，則y′＝eq\f(1,2)；②y＝eq\f(1,x2)，則y′|x＝3＝－eq\f(2,27)；③y＝2x，則y′＝2xln2；④y＝log2x，則y′＝eq\f(1,xln2).其中正確命題的個數(shù)為()A．1B．2C．3D．4【解析】對于①，y′＝0，故①錯；對于②，∵y′＝－eq\f(2,x3)，∴y′|x＝3＝－eq\f(2,27)，故②正確；顯然③，④正確，故選C.【答案】C2．若函數(shù)y＝10x，則y′|x＝1等于()\f(1,10) B．10C．10ln10 \f(1,10ln10)【解析】∵y′＝10xln10，∴y′|x＝1＝10ln10.【答案】C[質(zhì)疑·手記]預(yù)習完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1：解惑：疑問2：解惑：疑問3：解惑：[小組合作型]利用導(dǎo)數(shù)公式求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y＝x12；(2)y＝eq\f(1,x4)；(3)y＝eq\r(5,x3)；(4)y＝3x；(5)y＝log5x.【精彩點撥】首先觀察函數(shù)解析式是否符合求導(dǎo)形式，若不符合可先將函數(shù)解析式化為基本初等函數(shù)的求導(dǎo)形式．【自主解答】(1)y′＝(x12)′＝12x11.(2)y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x4)))′＝(x－4)′＝－4x－5＝－eq\f(4,x5).(3)y′＝(eq\r(5,x3))′＝(xeq\f(3,5))′＝eq\f(3,5)x－eq\f(2,5).(4)y′＝(3x)′＝3xln3.(5)y′＝(log5x)′＝eq\f(1,xln5).1．若所求函數(shù)符合導(dǎo)數(shù)公式，則直接利用公式求解．2．對于不能直接利用公式的類型，一般遵循“先化簡，再求導(dǎo)”的基本原則，避免不必要的運算失誤．3．要特別注意“eq\f(1,x)與lnx”，“ax與logax”，“sinx與cosx”的導(dǎo)數(shù)區(qū)別．[再練一題]1．若f(x)＝x3，g(x)＝log3x,則f′(x)－g′(x)＝__________.【導(dǎo)學號：60030009】【解析】∵f′(x)＝3x2，g′(x)＝eq\f(1,xln3)，∴f′(x)－g′(x)＝3x2－eq\f(1,xln3).【答案】3x2－eq\f(1,xln3)利用公式求函數(shù)在某點處的導(dǎo)數(shù)質(zhì)點的運動方程是s＝sint，(1)求質(zhì)點在t＝eq\f(π,3)時的速度；(2)求質(zhì)點運動的加速度．【精彩點撥】(1)先求s′(t)，再求s′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3))).(2)加速度是速度v(t)對t的導(dǎo)數(shù)，故先求v(t)，再求導(dǎo)．【自主解答】(1)v(t)＝s′(t)＝cost，∴veq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝coseq\f(π,3)＝eq\f(1,2).即質(zhì)點在t＝eq\f(π,3)時的速度為eq\f(1,2).(2)∵v(t)＝cost，∴加速度a(t)＝v′(t)＝(cost)′＝－sint.1．速度是路程對時間的導(dǎo)數(shù)，加速度是速度對時間的導(dǎo)數(shù)．2．求函數(shù)在某定點(點在函數(shù)曲線上)的導(dǎo)數(shù)的方法步驟是：(1)先求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)；(2)把對應(yīng)點的橫坐標代入導(dǎo)函數(shù)求相應(yīng)的導(dǎo)數(shù)值．[再練一題]2．(1)求函數(shù)f(x)＝eq\f(1,\r(3,x))在(1,1)處的導(dǎo)數(shù)；(2)求函數(shù)f(x)＝cosx在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(\r(2),2)))處的導(dǎo)數(shù)．【解】(1)∵f′(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(3,x))))′＝(x－eq\f(1,3))′＝－eq\f(1,3)x－eq\f(4,3)＝－eq\f(1,3\r(3,x4))，∴f′(1)＝－eq\f(1,3\r(3,1))＝－eq\f(1,3).(2)∵f′(x)＝－sinx，∴f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝－sineq\f(π,4)＝－eq\f(\r(2),2).[探究共研型]導(dǎo)數(shù)公式的應(yīng)用探究1f(x)＝x，f(x)＝x2，f(x)＝eq\r(x)均可表示為y＝xα(α∈Q*)的形式，其導(dǎo)數(shù)有何規(guī)律？【提示】∵(x)′＝1·x1－1，(x2)′＝2·x2－1，(eq\r(x))′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x\f(1,2)))′＝eq\f(1,2)xeq\f(1,2)－1，∴(xα)′＝α·xα－1.探究2點P是曲線y＝ex上的任意一點，求點P到直線y＝x的最小距離．【提示】如圖，當曲線y＝ex在點P(x0，y0)處的切線與直線y＝x平行時，點P到直線y＝x的距離最近，則曲線y＝ex在點P(x0，y0)處的切線斜率為1，又y′＝(ex)′＝ex，∴ex0＝1，得x0＝0，代入y＝ex，得y0＝1，即P(0,1)．利用點到直線的距離公式得最小距離為eq\f(\r(2),2).(2023·長沙高二檢測)求過曲線f(x)＝cosx上一點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(1,2)))且與曲線在這點的切線垂直的直線方程．【精彩點撥】eq\x(求導(dǎo)數(shù)f′x0)→eq\x(計算f′\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3))))→eq\x(所求直線斜率k＝－\f(1,f′\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))))→eq\x(利用點斜式寫出直線方程)【自主解答】因為f(x)＝cosx，所以f′(x)＝－sinx，則曲線f(x)＝cosx在點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(1,2)))的切線斜率為f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝－sineq\f(π,3)＝－eq\f(\r(3),2)，所以所求直線的斜率為eq\f(2,3)eq\r(3)，所求直線方程為y－eq\f(1,2)＝eq\f(2,3)eq\r(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))，即y＝eq\f(2,3)eq\r(3)x－eq\f(2\r(3),9)π＋eq\f(1,2).求曲線方程或切線方程時，應(yīng)注意：1切點是曲線與切線的公共點，切點坐標既滿足曲線方程也滿足切線方程；2曲線在切點處的導(dǎo)數(shù)就是切線的斜率；3必須明確已知點是不是切點，如果不是，應(yīng)先設(shè)出切點.[再練一題]3．若將上例中點P的坐標改為(π，－1)，求相應(yīng)的直線方程．【解】∵f(x)＝cosx，∴f′(x)＝－sinx，則曲線f(x)＝cosx在點P(π，－1)處的切線斜率為f′(π)＝－sinπ＝0，所以所求直線的斜率不存在，所以所求直線方程為x＝π.[構(gòu)建·體系]1．已知f(x)＝xα(α∈Q*)，若f′(1)＝eq\f(1,4)，則α等于()\f(1,3) \f(1,2)\f(1,8) \f(1,4)【解析】∵f(x)＝xα，∴f′(x)＝αxα－1，∴f′(1)＝α＝eq\f(1,4).【答案】D2．給出下列結(jié)論：①若y＝eq\f(1,x3)，則y′＝－eq\f(3,x4)；②若y＝eq\r(3,x)，則y′＝eq\f(1,3)eq\r(3,x)；③若f(x)＝3x，則f′(1)＝3.其中正確的個數(shù)是()A．1 B．2C．3 D．0【解析】對于①，y′＝eq\f(0－x3′,x6)＝eq\f(－3x2,x6)＝eq\f(－3,x4)，正確；對于②，y′＝eq\f(1,3)xeq\f(1,3)－1＝eq\f(1,3)x－eq\f(2,3)，不正確；對于③，f′(x)＝3，故f′(1)＝3，正確．【答案】B3．(2023·全國卷Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝ax3＋x＋1的圖象在點(1，f(1))處的切線過點(2,7)，則a＝________.【解析】∵f′(x)＝3ax2＋1，∴f′(1)＝3a＋1.又f(1)＝a＋2，∴切線方程為y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1)．∵切線過點(2,7)，∴7－(a＋2)＝3a＋1，解得a＝1.【答案】14．(2023·煙臺高二檢測)已知函數(shù)y＝kx是曲線y＝lnx的一條切線，則k＝__________.【導(dǎo)學號：60030010】【解析】設(shè)切點為(x0，y0)，∵y′＝eq\f(1,x)，∴k＝eq\f(1,x0)，∴y＝eq\f(1,x0)·x，又點(x0，y0)在曲線y＝lnx上，∴y0＝lnx0，∴l(xiāng)nx0＝eq\f(x0,x0)，∴x0＝e，∴k＝eq\f(1,e).【答案】eq\f(1,e)5．已知直線y＝kx是曲線y＝3x的切線，則k的值為________.【解析】設(shè)切點為(x0，y0)．因為y′＝3xln3，①所以k＝3x0ln3，所以y＝3x0ln3·x，又因為(x0，y0)在曲線y＝3x上，所以3x0ln3·x0＝3x0，②所以x0＝eq\f(1,ln3)＝log3e.所以k＝eln3.【答案】eln3我還有這些不足：(1)(2)我的課下提升方案：(1)(2)學業(yè)分層測評(建議用時：45分鐘)[學業(yè)達標]一、選擇題1．下列結(jié)論正確的是()A．若y＝cosx，則y′＝sinxB．若y＝sinx，則y′＝－cosxC．若y＝eq\f(1,x)，則y′＝－eq\f(1,x2)D．若y＝eq\r(x)，則y′＝eq\f(\r(x),2)【解析】∵(cosx)′＝－sinx，∴A不正確；∵(sinx)′＝cosx，∴B不正確；∵(eq\r(x))′＝eq\f(1,2\r(x))，∴D不正確．【答案】C2．(2023·濟南高二檢測)在曲線f(x)＝eq\f(1,x)上切線的傾斜角為eq\f(3,4)π的點的坐標為()A．(1,1) B．(－1，－1)C．(－1,1) D．(1,1)或(－1，－1)【解析】切線的斜率k＝taneq\f(3,4)π＝－1，設(shè)切點為(x0，y0)，則f′(x0)＝－1，又f′(x)＝－eq\f(1,x2)，∴－eq\f(1,x\o\al(2,0))＝－1，∴x0＝1或－1，∴切點坐標為(1,1)或(－1，－1)．故選D.【答案】D3．對任意的x，有f′(x)＝4x3，f(1)＝－1，則此函數(shù)解析式為()A．f(x)＝x3 B．f(x)＝x4－2C．f(x)＝x3＋1 D．f(x)＝x4－1【解析】由f′(x)＝4x3知f(x)中含有x4項，然后將x＝1代入選項中驗證可得，選B.【答案】B4．(2023·北京高二檢測)已知曲線y＝x3在點(2,8)處的切線方程為y＝kx＋b，則k－b＝()A．4 B．－4C．28 D．－28【解析】∵y′＝3x2，∴點(2,8)處的切線斜率k＝f′(2)＝12.∴切線方程為y－8＝12(x－2)，即y＝12x－16，∴k＝12，b＝－16，∴k－b＝28.【答案】C5．若f(x)＝sinx，f′(α)＝eq\f(1,2)，則下列α的值中滿足條件的是()\f(π,3) \f(π,6)\f(2,3)π \f(5,6)π【解析】∵f(x)＝sinx，∴f′(x)＝cosx.又∵f′(α)＝cosα＝eq\f(1,2)，∴α＝2kπ±eq\f(π,3)(k∈Z)．當k＝0時，α＝eq\f(π,3).【答案】A二、填空題6．(2023·菏澤高二檢測)已知f(x)＝x2，g(x)＝lnx，若f′(x)－g′(x)＝1，則x＝________.【解析】因為f(x)＝x2，g(x)＝lnx，所以f′(x)＝2x，g′(x)＝eq\f(1,x)且x>0，f′(x)－g′(x)＝2x－eq\f(1,x)＝1，即2x2－x－1＝0，解得x＝1或x＝－eq\f(1,2)(舍去)．故x＝1.【答案】17．直