高中數(shù)學蘇教版第三章不等式 第3章基本不等式的證明

第3章不等式基本不等式eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(a≥0，b≥0).基本不等式的證明A級基礎鞏固一、選擇題1．如果a、b為絕對值不相等的非零實數(shù)，那么eq\f(a,b)＋eq\f(b,a)的值是()A．大于2 B．小于－2或大于2C．小于等于2 D．大于－2或小于2解析：a，b同號時大于2，a，b異號時小于－2.答案：B2．下列各式中，對任何實數(shù)x都成立的一個式子是()A．lg(x2＋1)≥lg(2x) B．x2＋1>2x\f(1,x2＋1)≤1 D．x＋eq\f(1,x)≥2解析：對于A，當x≤0時，無意義，故A不恒成立；對于B，當x＝1時，x2＋1＝2x，故B不成立；對于D，當x<0時，不成立．對于C，x2＋1≥1，所以eq\f(1,x2＋1)≤1成立．故選C.答案：C3．給出下面四個推導過程：①因為a，b∈R＋，所以eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2eq\r(\f(b,a)·\f(a,b))＝2；②因為x，y∈R＋，所以lgx＋lgy≥2eq\r(lgx·lgy)；③因為a∈R，a≠0，所以eq\f(4,a)＋a≥2eq\r(\f(4,a)·a)＝4；④因為x，y∈R，xy＜0，所以eq\f(x,y)＋eq\f(y,x)＝－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(x,y)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(y,x)))))≤－2eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(x,y)))·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(y,x))))＝－2.其中正確的推導為()A．①②B．②③C．③④D．①④解析：①由于a，b∈R＋，所以eq\f(b,a)，eq\f(a,b)∈R＋，符合基本不等式的條件，故①推導正確；②雖然x，y∈R＋，但當x∈(0，1)和y∈(0，1)時，lgx和lgy都是負數(shù)，所以②的推導過程是錯誤的；③由a∈R，不符合基本不等式的條件，所以eq\f(4,a)＋a≥2eq\r(\f(4,a)·a)＝4是錯誤的；④由xy＜0，得eq\f(x,y)，eq\f(y,x)均為負數(shù)，但在推導過程中將整體eq\f(x,y)＋eq\f(y,x)提出負號后，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(x,y)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(y,x)))均變?yōu)檎龜?shù)，符合基本不等式的條件，故④正確．答案：D4．已知t>0，則函數(shù)y＝eq\f(t2－4t＋1,t)的最小值為()A．－2\f(1,2)C．1D．2解析：因為t>0，y＝eq\f(t2－4t＋1,t)＝t＋eq\f(1,t)－4≥2eq\r(t·\f(1,t))－4＝－2，當且僅當t＝eq\f(1,t)，即t＝1時，等號成立．答案：A5．已知x>0，y>0，x，a，b，y成等差數(shù)列，x，c，d，y成等比數(shù)列，則eq\f(（a＋b）2,cd)的最小值為()A．0B．1C．2D．4解析：由題意，知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋b＝x＋y，,cd＝xy，))所以eq\f(（a＋b）2,cd)＝eq\f(（x＋y）2,xy)＝eq\f(x2＋y2＋2xy,xy)＝eq\f(x2＋y2,xy)＋2≥2＋2＝4，當且僅當x＝y(tǒng)時，等號成立．答案：D二、填空題6．某工廠第一年的產(chǎn)量為A，第二年的增長率為a，第三年的增長率為b，這兩年的平均增長率為x，則x與eq\f(a＋b,2)的大小關系是________．解析：因為A(1＋x)2＝A(1＋a)(1＋b)≤Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋a＋1＋b,2)))eq\s\up12(2)＝Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)，所以x≤eq\f(a＋b,2).答案：x≤eq\f(a＋b,2)7．(2023·湖南卷改編)若實數(shù)a，b滿足eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝eq\r(ab)，則ab的最小值為________．解析：法一：由已知得eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝eq\f(b＋2a,ab)＝eq\r(ab)，且a>0，b>0，所以abeq\r(ab)＝b＋2a≥2eq\r(2ab)，所以ab≥2eq\r(2).法二：由題設易知a>0，b>0，所以eq\r(ab)＝eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)≥2eq\r(\f(2,ab))，即ab≥2eq\r(2).答案：2eq\r(2)8．下列命題正確的是________(填序號)．①若x≠kπ，k∈Z則sin2x＋eq\f(4,sin2x)≥4；②若a<0，則a＋eq\f(4,a)≥－4；③若a>0，b>0，則lga＋lgb≥2eq\r(lga·lgb)；④若a<0，b<0，則eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2.解析：對于①，x≠kπ，k∈Z，則sin2x∈(0，1]．令t＝sin2x，則y＝t＋eq\f(4,t)，函數(shù)y在(0，1]上單調(diào)遞減，所以y≥5，即sin2x＋eq\f(4,sin2x)≥5，當sin2x＝1時等號成立．故①錯誤；對于②，若a<0，則－a>0，－eq\f(4,a)>0.所以a＋eq\f(4,a)＝－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(（－a）＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,a)))))≤－4，當且僅當a＝eq\f(4,a)，即a＝－2時等號成立．故②錯誤；對于③，若a∈(0，1)或b∈(0，1)，則lga<0或lgb<0，不等式不成立．故③錯誤；對于④，a<0，b<0，則eq\f(b,a)>0，eq\f(a,b)>0，所以eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2eq\r(\f(b,a)·\f(a,b))＝2，當且僅當eq\f(b,a)＝eq\f(a,b)，即a＝b時等號成立．故④正確．答案：④三、解答題9．已知a＞0，b＞0，c＞0，d＞0，求證：eq\f(ad＋bc,bd)＋eq\f(bc＋ad,ac)≥4.證明：eq\f(ad＋bc,bd)＋eq\f(bc＋ad,ac)＝eq\f(a,b)＋eq\f(c,d)＋eq\f(b,a)＋eq\f(d,c)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)＋\f(b,a)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,d)＋\f(d,c)))≥2＋2＝4，當且僅當a＝b且c＝d時取“＝”號，所以eq\f(ad＋bc,bd)＋eq\f(bc＋ad,ac)≥4.10．求下列函數(shù)的最值：(1)已知函數(shù)y＝x＋eq\f(1,x)，x∈(－∞，0)，求此函數(shù)的最大值；(2)已知x>0，求f(x)＝eq\f(12,x)＋3x的最小值．解：(1)因為x<0，所以eq\f(1,x)<0.則－x>0，eq\f(1,（－x）)>0，x＋eq\f(1,x)＝－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(（－x）＋\f(1,（－x）)))≤－2eq\r(（－x）\f(1,（－x）))＝－2，當且僅當－x＝eq\f(1,（－x）)即x＝－1時，取“＝”．因此當x＝－1時，函數(shù)有最大值－2.(2)因為x>0，所以f(x)＝eq\f(12,x)＋3x≥2eq\r(\f(12,x)·3x)＝12，當且僅當3x＝eq\f(12,x)，即x＝2時取等號．所以f(x)的最小值為12.B級能力提升一、選擇題11．設a＞b＞0，則a2＋eq\f(1,ab)＋eq\f(1,a（a－b）)的最小值是()A．1B．2C．3D．4解析：因為a＞b＞0，a2＋eq\f(1,ab)＋eq\f(1,a（a－b）)＝a2＋eq\f(a－b＋b,ab（a－b）)＝a2＋eq\f(1,b（a－b）)≥a2＋eq\f(1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b＋a－b,2)))\s\up12(2))＝a2＋eq\f(4,a2)≥4(當且僅當a＝2b＝eq\r(2)時取“＝”)，故eq\a\vs4\al(選D).答案：D12．若x>0，y>0，且eq\f(2,x)＋eq\f(8,y)＝1，則xy有()A．最大值64 B．最小值eq\f(1,64)C．最小值eq\f(1,2) D．最小值64解析：xy＝xyeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)＋\f(8,y)))＝2y＋8x≥2eq\r(2y·8x)＝8eq\r(xy)，所以eq\r(xy)≥8，即xy有最小值64，等號成立的條件是x＝4，y＝16.答案：D13．已知a、b是正數(shù)，則eq\f(a＋b,2)、eq\r(ab)和eq\r(\f(a2＋b2,2))的大小順序是()\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)≥eq\r(\f(a2＋b2,2))\f(a＋b,2)≥eq\r(\f(a2＋b2,2))≥eq\r(ab)C.eq\r(\f(a2＋b2,2))≥eq\r(ab)≥eq\f(a＋b,2)D.eq\r(\f(a2＋b2,2))≥eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)解析：a、b是正數(shù)，顯然有eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)(當且僅當a＝b時，取等號)；再比較eq\r(\f(a2＋b2,2))與eq\f(a＋b,2)，因為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)－eq\f(a2＋b2,2)＝－eq\f(（a2＋b2－2ab）,4)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a－b,2)))eq\s\up12(2)≤0，所以eq\f(a＋b,2)≤eq\r(\f(a2＋b2,2))，故選D.答案：D二、填空題14．若a＞0，b＞0，a＋b＝2，則下列不等式對一切滿足條件的a，b恒成立的是________(寫出所有正確命題的序號)．①ab≤1；②eq\r(a)＋eq\r(b)≤eq\r(2)；③a2＋b2≥2；④a3＋b3≥3；⑤eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)≥2.解析：①項，因為a＞0，b＞0，2＝a＋b，a＋b≥2eq\r(ab)，所以eq\r(ab)≤1，即ab≤1.②項，因為eq\f(a＋b,2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(a)＋\r(b),2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(（\r(a)－\r(b)）2,4)≥0，所以eq\f(\r(a)＋\r(b),2)≤eq\r(\f(a＋b,2)).所以eq\r(a)＋eq\r(b)≤eq\r(2（a＋b）)，故eq\r(a)＋eq\r(b)≤2.③項，因為eq\f(a2＋b2,2)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)，所以a2＋b2≥eq\f(（a＋b）2,2).又因為a＋b＝2，所以a2＋b2≥2.④項，因為a3＋b3＝(a＋b)3－3a2b－3ab2＝8－3ab(a＋b8－6ab≥8－6＝2(由①ab≤1)．⑤項，eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)≥eq\f(2,\r(ab))≥2.答案：①③⑤15．若不等式|2a－1|≤eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))對一切非零實數(shù)x恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是________．解析：因為eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))＝|x|＋eq\f(1,|x|)≥2，當且僅當x＝±1時取“＝”號，所以要使不等式恒成立，必須且只需|2a－1|≤2，即－2≤2a－1≤2?－eq\f(1,2)≤a≤eq\f(3,2).答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(3,2)))三、解答題16．設a，b，c均為正數(shù)，且a＋b＋c＝1，證明：(1)ab＋bc＋ca≤eq\f(1,3)；(2)eq\f(a2,b)＋eq\f(