高中數(shù)學(xué)人教A版2第二章推理與證明 第二章綜合法與分析法_第1頁(yè)
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第二章推理與證明直接證明與間接證明2.2.1綜合法與分析法A級(jí)基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1.“a>0”是“|a|>0A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件解析:因?yàn)閨a|>0?a>0或a<0,且a>0?|a|>0,但|a|>0,a>0,所以“a>0”是“|a|>0”答案:A2.分析法又稱執(zhí)果索因法,若用分析法證明“設(shè)a>b>c,且a+b+c=0,求證eq\r(b2-ac)<eq\r(3)a”索的因應(yīng)是()A.a(chǎn)-b>0 B.a(chǎn)-c>0C.(a-b)(a-c)>0 D.(a-b)(a-c)<0解析:要證明eq\r(b2-ac)<eq\r(3)a,只需證b2-ac<3a2只需證(a+c)2-ac<3a2只需證-2a2+ac+c2<0即證2a2-ac-c2>0即證(a-c)(2a+c)>0即證(a-b)(a-c)>0.答案:C3.在△ABC中,已知sinAcosA=sinBcosB,則該三角形是()A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形解析:由sinAcosA=sinBcosB得sin2A=sin2B,所以2A=2B或2A=π-2B,即A=B或A+B=eq\f(π,2).所以該三角形是等腰或直角三角形.答案:D4.對(duì)于不重合的直線m,l和平面α,β,要證明α⊥β,需要具備的條件是()A.m⊥l,m∥α,l∥βB.m⊥l,α∩β=m,l?αC.m∥l,m⊥α,l⊥βD.m∥l,l⊥β,m?α解析:對(duì)于選項(xiàng)A,與兩相互垂直的直線平行的平面的位置關(guān)系不能確定;對(duì)于選項(xiàng)B,平面內(nèi)的一條直線與另一個(gè)平面的交線垂直,這兩個(gè)平面的位置關(guān)系不能確定;對(duì)于選項(xiàng)C,這兩個(gè)平面有可能平行或重合;根據(jù)面面垂直的判定定理知選項(xiàng)D正確.答案:D5.下面的四個(gè)不等式:①a2+b2+c2≥ab+bc+ca;②a(1-a)≤eq\f(1,4);③eq\f(b,a)+eq\f(a,b)≥2;④(a2+b2)·(c2+d2)≥(ac+bd)2.其中恒成立的有()A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)解析:因?yàn)閍2+b2+c2-(ab+bc+ca)=eq\f(1,2)[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2]≥0;a(1-a)-eq\f(1,4)=-a2+a-eq\f(1,4)=-eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a-\f(1,2)))eq\s\up12(2)≤0;(a2+b2)·(c2+d2)=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2≥a2c2+2abcd+b2d2=(ac+bd)2;而③中,當(dāng)a·b>0時(shí),不等式成立.所以①②④正確.答案:C二、填空題6.已知a≥0,b≥0,且a+b=2,則a2+b2≥__________(填常數(shù)).解析:由a+b=2可得ab≤1,又a2+b2=4-2ab,所以a2+b2≥2.答案:27.已知函數(shù)f(x)=2x,a,b為正實(shí)數(shù),A=feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a+b,2))),B=f(eq\r(ab)),C=feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2ab,a+b))),則A,B,C的大小關(guān)系是__________.解析:因?yàn)閑q\f(a+b,2)≥eq\r(ab)(a,b為正實(shí)數(shù)),eq\f(2ab,a+b)≤eq\r(ab),且f(x)=2x是增函數(shù),所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2ab,a+b)))≤f(eq\r(ab))≤feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a+b,2))),即C≤B≤A.答案:C≤B≤A8.設(shè)a>0,b>0,c>0,若a+b+c=1,則eq\f(1,a)+eq\f(1,b)+eq\f(1,c)的最小值為_(kāi)_______.解析:根據(jù)條件可知,欲求eq\f(1,a)+eq\f(1,b)+eq\f(1,c)的最小值.只需求(a+b+c)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)+\f(1,b)+\f(1,c)))的最小值,因?yàn)?a+b+c)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)+\f(1,b)+\f(1,c)))=3+eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)+\f(a,b)))+eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)+\f(a,c)))+eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,b)+\f(b,c)))≥3+2+2+2=9(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取“=”).答案:9三、解答題9.如圖所示,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,過(guò)點(diǎn)A作SB的垂線,垂足為E,過(guò)點(diǎn)E作SC的垂線,垂足為F.求證:AF⊥SC.證明:要證AF⊥SC,而EF⊥SC,故只需證SC⊥平面AEF,只需證AE⊥SC,而AE⊥SB,故只需證AE⊥平面SBC,只需證AE⊥BC,而AB⊥BC,故只需證BC⊥平面SAB,只需證BC⊥SA.由SA⊥平面ABC可知,SA⊥BC,即上式成立,所以AF⊥SC成立.10.求證:2cos(α-β)-eq\f(sin(2α-β),sinα)=eq\f(sinβ,sinα).證明:要證原等式,只需證:2cos(α-β)sinα-sin(2α-β)=sinβ,①因?yàn)棰僮筮叄?cos(α-β)sinα-sin[(α-β)+α]=2cos(α-β)sinα-sin(α-β)cosα-cos(α-β)sinα=cos(α-β)sinα-sin(α-β)cosα=sinβ.所以①成立,所以原等式成立.B級(jí)能力提升1.若a<b<c,則函數(shù)f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)的兩個(gè)零點(diǎn)分別位于區(qū)間()A.(a,b)和(b,c)內(nèi) B.(-∞,a)和(a,b)內(nèi)C.(b,c)和(c,+∞)內(nèi) D.(-∞,a)和(c,+∞)內(nèi)解析:因?yàn)閍<b<c,所以f(a)=(a-b)(a-c)>0,f(b)=(b-c)(b-a)<0,f(c)=(c-a)(c-b)>0,由零點(diǎn)存在性定理知,選項(xiàng)A正確.答案:A2.如圖所示,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的側(cè)棱垂直于底面,滿足__________________時(shí),BD⊥A1解析:要證BD⊥A1C,只需證BD⊥平面AA1因?yàn)锳A1⊥BD,只要再添加條件AC⊥BD,即可證明BD⊥平面AA1C,從而有BD⊥A1答案:AC⊥BD(答案不唯一)3.已知a、b、c∈R+,求證:eq\r(\f(a2+b2+c2,3))≥eq\f(a+b+c,3).證明:要證eq\r(\f(a2+b2+c2,3))≥eq\f(a+b+c,3),只需證eq\f(a2+b2+c2,3)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a+b+c,3

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