高中數(shù)學人教A版第一章三角函數(shù) 正弦函數(shù)余弦函數(shù)的性質(zhì)學案

2023學年高一年級數(shù)學2023學年高一年級數(shù)學導學案（39）班級姓名學號編寫：趙海通審閱：侯國會§1.4.2正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)（1）2．會求函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期．3．掌握函數(shù)y＝sinx，y＝cosx的奇偶性，會判斷簡單三角函數(shù)的奇偶性．學習重點：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性、奇偶性。學習難點：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性、奇偶性的綜合應(yīng)用。【學法指導】1．在函數(shù)的周期定義中是對定義域中的每一個x值來說，對于個別的x0滿足f(x0＋T)＝f(x0)，并不能說T是f(x)的周期．例如：既使sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋\f(π,2)))＝sineq\f(π,4)成立，也不能說eq\f(π,2)是f(x)＝sinx的周期．2．判斷函數(shù)的奇偶性應(yīng)堅持“定義域優(yōu)先”原則，即先求其定義域，看它是否關(guān)于原點對稱，一些函數(shù)的定義域比較容易觀察，直接判斷f(－x)與f(x)的關(guān)系即可；一些復雜的函數(shù)要防止沒有研究定義域是否關(guān)于原點對稱而出錯.一．知識導學1．函數(shù)的周期性(1)對于函數(shù)f(x)，如果存在一個，使得當x取定義域內(nèi)的時，都有，那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期．(2)如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的．2．正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性由sin(x＋2kπ)＝，cos(x＋2kπ)＝知y＝sinx與y＝cosx都是函數(shù)，都是它們的周期，且它們的最小正周期都是2π.3．正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的奇偶性(1)正弦函數(shù)y＝sinx與余弦函數(shù)y＝cosx的定義域都是，定義域關(guān)于對稱．(2)由sin(－x)＝知正弦函數(shù)y＝sinx是R上的函數(shù)，它的圖象關(guān)于對稱．(3)由cos(－x)＝知余弦函數(shù)y＝cosx是R上的函數(shù)，它的圖象關(guān)于對稱.二．探究與發(fā)現(xiàn)【探究點一】周期函數(shù)的定義一般地，對于函數(shù)y＝f(x)，如果存在一個不為零的常數(shù)T，使得當x取定義域內(nèi)的每一個值時，f(x＋T)＝f(x)都成立，那么就把函數(shù)y＝f(x)叫做周期函數(shù)，不為零的常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期．(1)證明函數(shù)y＝sinx和y＝cosx都是周期函數(shù)．(2)滿足條件：f(x＋a)＝－f(x)(a為常數(shù)且a≠0)的函數(shù)y＝f(x)是周期函數(shù)嗎？如果是，給出一個周期，如果不是，說明理由．【探究點二】最小正周期如果非零常數(shù)T是函數(shù)y＝f(x)的一個周期，那么kT(k∈Z且k≠0)都是函數(shù)y＝f(x)的周期．(1)周期函數(shù)的周期不止一個，若T是周期，則kT(k∈Z，且k≠0)一定也是周期．例如，正弦函數(shù)y＝sinx和余弦函數(shù)y＝cosx的最小正周期都是,它們的所有周期可以表示為：．(2)“并不是所有的周期都存在最小正周期”，即存在某些周期函數(shù)，這些函數(shù)沒有最小正周期．請你寫出符合上述特征的一個周期函數(shù)：.(3)證明函數(shù)的最小正周期常用反證法．下面是利用反證法證明2π是正弦函數(shù)y＝sinx的最小正周期的過程．請你補充完整．證明：由于2π是y＝sinx的一個周期，設(shè)T也是正弦函數(shù)y＝sinx的一個周期，且，根據(jù)周期函數(shù)的定義，當x取定義域內(nèi)的每一個值時，都有.令x＝eq\f(π,2)，代入上式，得sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋T))＝sineq\f(π,2)＝1，又sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋T))＝，所以.另一方面，當T∈(0,2π)時，，這與矛盾．故2π是正弦函數(shù)y＝sinx的最小正周期．同理可證，余弦函數(shù)y＝cosx的最小正周期也是2π.【探究點三】函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))(Aω≠0)的周期證明eq\f(2π,|ω|)是函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(或f(x)＝Acos(ωx＋φ))的最小正周期．【探究點四】正、余弦函數(shù)的奇偶性正弦曲線余弦曲線從函數(shù)圖象看，正弦函數(shù)y＝sinx的圖象關(guān)于對稱，余弦函數(shù)y＝cosx的圖象關(guān)于對稱；從誘導公式看，sin(－x)＝，cos(－x)＝均對一切x∈R恒成立．所以說，正弦函數(shù)是R上的函數(shù)，余弦函數(shù)是R上的函數(shù)．例1．求下列函數(shù)的周期．(1)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))(x∈R)；(2)y＝cos(1－πx)(x∈R)；(3)y＝|sinx|(x∈R)．跟蹤訓練1。求下列函數(shù)的周期：(1)y＝cos2x；(2)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)x＋\f(π,3)))；(3)y＝|cosx|.例2．跟蹤訓練2。若f(x)是以eq\f(π,2)為周期的奇函數(shù)，且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝1，求feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5π,6)))的值．例3．判斷下列函數(shù)的奇偶性．(1)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)x＋\f(π,2)))；(2)f(x)＝lg(1－sinx)－lg(1＋sinx)；(3)f(x)＝eq\f(1＋sinx－cos2x,1＋sinx).跟蹤訓練3。判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)π＋2x))＋x2·sinx；(2)f(x)＝eq\r(1－2cosx)＋eq\r(2cosx－1).三．鞏固訓練：1．函數(shù)y＝sin(4x＋eq\f(3,2)π)的周期是 ()A．2π B．π C．eq\f(π,2) D．eq\f(π,4)2．下列函數(shù)中，周期為eq\f(π,2)的是()A．y＝sineq\f(x,2)B．y＝sin2xC．y＝coseq\f(x,4) D．y＝cos(－4x)3．已知f(x)是R上的奇函數(shù)，且f(1)＝2，f(x＋3)＝f(x)，則f(8)＝________.4．若f(x)是奇函數(shù)，當x>0時，f(x)＝x2－sinx，求當x<0時，f(x)的解析式．四．課堂小結(jié)：1．求函數(shù)的最小正周期的常用方法：(1)定義