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第二章§1一、選擇題(每小題5分,共20分)1.下列說(shuō)法正確的是()A.已知F1(-4,0),F(xiàn)2(4,0),到F1,F(xiàn)2兩點(diǎn)的距離之和為8的點(diǎn)的軌跡是橢圓B.已知F1(-4,0),F(xiàn)2(4,0),到F1,F(xiàn)2兩點(diǎn)的距離之和為6的點(diǎn)的軌跡是橢圓C.到F1(-4,0),F(xiàn)2(4,0)兩點(diǎn)的距離之和等于點(diǎn)M(5,3)到F1,F(xiàn)2的距離之和的點(diǎn)的軌跡是橢圓D.到F1(-4,0),F(xiàn)2(4,0)兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的軌跡是橢圓解析:橢圓是到兩個(gè)定點(diǎn)F1,F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡A中,|F1F2|=8,故到F1,F(xiàn)2兩點(diǎn)距離之和為常數(shù)8的點(diǎn)的軌跡是線段1F中,到F1,F(xiàn)2的兩點(diǎn)距離之和為6,小于|F1F2|的距離,故這樣的軌跡不存在.C中,點(diǎn)(5,3)到F1,F(xiàn)2兩點(diǎn)的距離之和為eq\r(5+42+32)+eq\r(5-42+32)=4eq\r(10)>|F1F2|=8,故軌跡是橢圓.D中,軌跡是線段F1F2的垂直平分線.故選C.答案:C2.已知△ABC的頂點(diǎn)B,C在橢圓eq\f(x2,3)+y2=1上,頂點(diǎn)A是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)且橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)在BC邊上,則△ABC的周長(zhǎng)為()A.2eq\r(3) B.6C.4eq\r(3) D.12解析:根據(jù)橢圓定義知△ABC的周長(zhǎng)l=4a=4eq\r(3).答案:C3.“m>n>0”是“方程mx2+ny2=1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓”的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分又不必要條件解析:將方程mx2+ny2=1轉(zhuǎn)化為eq\f(x2,\f(1,m))+eq\f(y2,\f(1,n))=1,根據(jù)橢圓的定義,要使焦點(diǎn)在y軸上,必須滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,m)>0,\f(1,n)>0,\f(1,n)>\f(1,m)))?m>n>0,故選C.答案:C4.若△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(-4,0)、B(4,0),△ABC的周長(zhǎng)為18,則頂點(diǎn)C的軌跡方程為()\f(x2,25)+eq\f(y2,9)=1(y≠0) B.eq\f(y2,25)+eq\f(x2,9)=1(y≠0)\f(x2,16)+eq\f(y2,9)=1(y≠0) D.eq\f(y2,16)+eq\f(x2,9)=1(y≠0)解析:因?yàn)閨AB|=8,|CA|+|CB|=18-8=10,所以頂點(diǎn)C的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的橢圓(去掉長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)).因2a=10,2c=8,所以b2=9.所以頂點(diǎn)C的軌跡方程為eq\f(x2,25)+eq\f(y2,9)=1(y≠0).答案:A二、填空題(每小題5分,共10分)5.若方程eq\f(x2,k-4)+eq\f(y2,9-k)=1表示橢圓,則參數(shù)k的取值范圍是________.解析:依題意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k-4>0,9-k>0,k-4≠9-k)),∴4<k<9且k≠eq\f(13,2).答案:4<k<9且k≠eq\f(13,2)6.橢圓eq\f(x2,25)+eq\f(y2,9)=1上的點(diǎn)M到焦點(diǎn)F1的距離為2,N是MF1的中點(diǎn),則|ON|(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的值為_(kāi)___________.解析:如圖所示.|ON|=eq\f(1,2)|MF2|=eq\f(1,2)(2×5-|MF1|)=4.答案:4三、解答題(每小題10分,共20分)7.求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:(1)焦點(diǎn)在x軸上,且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,0)和點(diǎn)(0,1);(2)焦點(diǎn)在y軸上,與y軸的一個(gè)交點(diǎn)為P(0,-10),P到它較近的一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于2.解析:(1)因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在x軸上,所以可設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0),∵橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,0)和(0,1),∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(22,a2)+\f(0,b2)=1,\f(0,a2)+\f(1,b2)=1)),∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2=4,b2=1)),故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,4)+y2=1.(2)∵橢圓的焦點(diǎn)在y軸上,所以可設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,a2)+eq\f(x2,b2)=1(a>b>0),∵P(0,-10)在橢圓上,∴a=10.又∵P到它較近的一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于2,∴-c-(-10)=2,故c=8,∴b2=a2-c2=36.∴所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是eq\f(y2,100)+eq\f(x2,36)=1.8.已知圓A:(x+3)2+y2=100,圓A內(nèi)一定點(diǎn)B(3,0),圓P過(guò)B點(diǎn)且與圓A內(nèi)切,求圓心P的軌跡方程.解析:設(shè)|PB|=r.∵圓P與圓A內(nèi)切,圓A的半徑為10,∴兩圓的圓心距|PA|=10-r,即|PA|+|PB|=10(大于|AB|).∴點(diǎn)P的軌跡是以A、B兩點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓.∴2a=10,2c=|∴a=5,c=3.∴b2=a2-c2=25-9=16,即點(diǎn)P的軌跡方程為eq\f(x2,25)+eq\f(y2,16)=1.eq\x(尖子生題庫(kù))☆☆☆9.(10分)在橢圓eq\f(x2,4)+eq\f(y2,3)=1上是否存在點(diǎn)P,使P與橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的連線互相垂直?若存在,求出P點(diǎn)的坐標(biāo);如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.解析:設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2,依題意,a=2,b=eq\r(3),c=1,∴|F1F2如果所求P點(diǎn)存在,則|PF1|+|PF2|
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