統(tǒng)計學第8章時間序列分析和預測

第八章時間序列分析和預測作者：中國人民大學統(tǒng)計學院賈俊平PowerPoint統(tǒng)計學第八章時間序列分析和預測第一節(jié)時間序列的概念和種類第二節(jié)時間序列的描述性分析第三節(jié)時間序列預測的程序和方法第一節(jié)時間序列的概念和種類

一、時間序列的概念和構成要素二、時間序列的種類（一）按時間序列中的數(shù)據(jù)形式不同，可分為絕對數(shù)時間序列、相對數(shù)時間序列和平均數(shù)時間序列（二）按時間序列中的數(shù)據(jù)穩(wěn)定性不同分為平穩(wěn)序列和非平穩(wěn)序列一、時間序列(timesseries)的概念和組成1. 同一現(xiàn)象在不同時間上的相繼觀察值排列而成的數(shù)列2. 形式上由現(xiàn)象所屬的時間和現(xiàn)象在不同時間上的觀察值兩部分組成3. 排列的時間可以是年份、季度、月份或其他任何時間形式年份國內生產總值（億元）年份國內生產總值（億元）199019911992199319941995199619971998199918667.821781.526923.535333.948197.960793.771176.678973.084402.389677.1

20002001200220032004200520062007200899214.6109655.2120332.7135822.8159878.3183867.9210871.0246619.0*300670.0*

要素一：時間t要素二：指標數(shù)值a按數(shù)列中所排列指標的表現(xiàn)形式不同分為：絕對數(shù)數(shù)列相對數(shù)數(shù)列平均數(shù)數(shù)列（平均指標數(shù)列）（相對指標數(shù)列）時點數(shù)列時期數(shù)列時間數(shù)列的種類（總量指標數(shù)列）時間序列的分類時間序列的分類平穩(wěn)序列(stationaryseries)基本上不存在趨勢的序列，各觀察值基本上在某個固定的水平上波動或雖有波動，但并不存在某種規(guī)律，而其波動可以看成是隨機的非平穩(wěn)序列(non-stationaryseries)有趨勢的序列線性的，非線性的有趨勢、季節(jié)性和周期性的復合型序列時間序列的成分時間序列的成分趨勢T季節(jié)性S周期性C隨機性I線性趨勢非線性趨勢時間序列的成分趨勢(trend)持續(xù)向上或持續(xù)下降的狀態(tài)或規(guī)律季節(jié)性(seasonality)也稱季節(jié)變動(Seasonalfluctuation)時間序列在一年內重復出現(xiàn)的周期性波動

周期性(cyclity)

也稱循環(huán)波動(Cyclicalfluctuation)圍繞長期趨勢的一種波浪形或振蕩式變動

隨機性(random)

也稱不規(guī)則波動(Irregularvariations)除去趨勢、周期性和季節(jié)性之后的偶然性波動

含有不同成分的時間序列平穩(wěn)趨勢季節(jié)季節(jié)與趨勢第二節(jié)時間序列的描述性分析一、圖形描述二、水平指標分析（一）發(fā)展水平和平均發(fā)展水平(不作要求)（二）增長量和平均增長量三、速度指標分析（一）發(fā)展速度和增長速度（二）平均發(fā)展速度和平均增長速度一、圖形描述圖形描述

(例題分析)圖形描述

(例題分析)二、水平指標分析

（一）發(fā)展水平和平均發(fā)展水平（二）增長量和平均增長量

發(fā)展水平指時間數(shù)列中每一項指標數(shù)值設時間數(shù)列中各期發(fā)展水平為：或：最初水平中間水平最末水平（n項數(shù)據(jù)）（n+1項數(shù)據(jù)）上一頁下一頁（一）發(fā)展水平和平均發(fā)展水平發(fā)展水平指時間數(shù)列中每一項指標數(shù)值設時間數(shù)列中各期發(fā)展水平為：或：最初水平中間水平最末水平（n項數(shù)據(jù)）（n+1項數(shù)據(jù)）上一頁下一頁（一）發(fā)展水平和平均發(fā)展水平平均發(fā)展水平又叫序時平均數(shù)，是把時間數(shù)列中各期指標數(shù)值加以平均而求得的平均數(shù)一般平均數(shù)與序時平均數(shù)共同點：具有抽象性和代表性區(qū)別：計算的依據(jù)不同：前者是根據(jù)變量數(shù)列計算的，后者則是根據(jù)時間數(shù)列計算的；

說明的內容不同：前者表明總體內部各單位的一般水平，后者則表明整個總體在不同時期內的一般水平。上一頁下一頁序時平均數(shù)的計算方法⒈計算絕對數(shù)時間數(shù)列的序時平均數(shù)⑴由時期數(shù)列計算，采用簡單算術平均法式中：代表平均發(fā)展水平

a１，a２，a３，···aｎ代表各期發(fā)展水平

n代表時期項數(shù)上一頁下一頁下一問題我國“十五”期間的每年GDP【例】

我國“十五”期間的年平均GDP：年份20012002200320042005GDP（億元）109655120333135823159878183868上一頁下一頁⑵由時點數(shù)列計算①由連續(xù)時點數(shù)列計算對于逐日記錄的時點數(shù)列可視其為連續(xù)

※間隔相等時，采用簡單算術平均法序時平均數(shù)的計算方法上一頁下一頁例：已知某企業(yè)一個月內每天的工人數(shù)，如果計算該月每天平均工人數(shù)，則將每天工人數(shù)相加之和除以該月的日歷天數(shù)即可⑵由時點數(shù)列計算①由連續(xù)時點數(shù)列計算

※間隔不相等時，采用加權算術平均法對于逐日記錄的時點數(shù)列,每變動一次才登記一次序時平均數(shù)的計算方法上一頁下一頁某企業(yè)5月份每日實有人數(shù)資料如下：日期1~9日10~15日16~22日23~31日實有人數(shù)

780784786783解：【例】上一頁下一頁②由間斷時點數(shù)列計算每隔一段時間登記一次，表現(xiàn)為期初或期末值

※間隔相等

時，采用首末折半法一季度初二季度初三季度初四季度初次年一季度初序時平均數(shù)的計算方法上一頁下一頁

※間隔不相等

時，采用加權序時平均法90天90天180天一季度初二季度初三季度初次年一季度初上一頁下一頁時間1月1日5月31日8月31日12月31日社會勞動者人數(shù)362390416420單位：萬人某地區(qū)2007年社會勞動者人數(shù)資料如下：【例】解：則該地區(qū)該年的月平均人數(shù)為：上一頁下一頁⒉計算相對數(shù)或靜態(tài)平均數(shù)時間數(shù)列的序時平均數(shù)基本公式⑴a、b均為時期數(shù)列時序時平均數(shù)的計算方法上一頁下一頁月份一二三計劃利潤（萬元）200300400利潤計劃完成程度（﹪）125120150某化工廠某年一季度利潤計劃完成情況如下：因為所以，該廠一季度的計劃平均完成程度為：【例】上一頁下一頁⑵a、b均為時點數(shù)列時⑶a為時期數(shù)列、b為時點數(shù)列時上一頁下一頁月份三四五六七工業(yè)增加值（萬元）11001260146016301800月末全員人數(shù)（人）20002000220022002300【例】已知某企業(yè)的下列資料：要求計算：①該企業(yè)第二季度各月的勞動生產率；②該企業(yè)第二季度的月平均勞動生產率；③該企業(yè)第二季度的勞動生產率。

上一頁下一頁四月份：五月份：六月份：解：①第二季度各月的勞動生產率：上一頁下一頁③該企業(yè)第二季度的勞動生產率：②該企業(yè)第二季度的月平均勞動生產率：上一頁下一頁序時平均數(shù)的計算方法3.計算動態(tài)平均數(shù)時間數(shù)列的序時平均數(shù)當各動態(tài)平均數(shù)的計算時期或間隔相同時，用簡單算術平均數(shù)計算：當各動態(tài)平均數(shù)的計算時期或間隔不相同時，用加權算術平均數(shù)計算：上一頁下一頁一、發(fā)展速度和增長速度二、平均發(fā)展速度和平均增長速度時間數(shù)列的速度指標上一頁下一頁發(fā)展速度指報告期水平與基期水平的比值，說明現(xiàn)象的發(fā)展程度和方向。設時間數(shù)列中各期發(fā)展水平為：環(huán)比發(fā)展速度定基發(fā)展速度（年速度）（總速度）上一頁下一頁環(huán)比發(fā)展速度與定基發(fā)展速度的關系：上一頁下一頁年距發(fā)展速度增長速度指增長量與基期水平的比值，說明報告期水平較基期水平增長的程度上一頁下一頁環(huán)比增長速度定基增長速度年距增長速度說明發(fā)展速度與增長速度性質不同。前者是動態(tài)相對數(shù)，后者是強度相對數(shù)；定基增長速度與環(huán)比增長速度之間沒有直接的換算關系。上一頁下一頁（二）增長量和平均增長量三、速度指標分析

（一）發(fā)展速度和增長速度（二）平均發(fā)展速度和平均增長速度發(fā)展速度指報告期水平與基期水平的比值，說明現(xiàn)象的發(fā)展程度和方向。設時間數(shù)列中各期發(fā)展水平為：環(huán)比發(fā)展速度定基發(fā)展速度（年速度）（總速度）上一頁下一頁環(huán)比發(fā)展速度與定基發(fā)展速度的關系：上一頁下一頁年距發(fā)展速度增長速度指增長量與基期水平的比值，說明報告期水平較基期水平增長的程度上一頁下一頁環(huán)比增長速度定基增長速度年距增長速度說明發(fā)展速度與增長速度性質不同。前者是動態(tài)相對數(shù)，后者是強度相對數(shù)；定基增長速度與環(huán)比增長速度之間沒有直接的換算關系。上一頁下一頁定基增長速度與環(huán)比增長速度之間的換算：環(huán)比增長速度+1環(huán)比發(fā)展速度定基增長速度定基發(fā)展速度∏－1【例】已知某廠的產量2007年比2005年增長150%，2008年比2005年增長180%，請計算2008年比2007年增長多少？解：即2008年比2007年產量增長12%。上一頁下一頁增長1%的絕對值指現(xiàn)象每增長1﹪所代表的實際絕對數(shù)量定基增長速度增長1%的絕對值環(huán)比增長速度增長1%的絕對值上一頁下一頁各環(huán)比發(fā)展速度的平均數(shù)，說明現(xiàn)象每期變動的平均程度平均發(fā)展速度平均增長速度說明現(xiàn)象逐期增長的平均程度上一頁下一頁平均發(fā)展速度的計算⑴幾何平均法（水平法）即有：從最初水平a0出發(fā)，每期按一定的平均發(fā)展速度發(fā)展，經過n個時期后，達到最末水平an，有基本要求上一頁下一頁計算公式⑴幾何平均法（水平法）平均發(fā)展速度的計算總速度環(huán)比速度上一頁下一頁【例】某省外貿出口額環(huán)比發(fā)展速度資料如下：年份20012002200320042005出口額環(huán)比發(fā)展速度%103.9100.995.5101.6108平均發(fā)展速度為：平均增長速度為：上一頁下一頁有關指標的推算:幾何平均法（水平法）推算最末水平an

：上一頁下一頁【例】2004年某廠生產水泥6萬噸，計劃此后每年產量增長10%，計算2009年該廠水泥產量將達到多少？

上一頁下一頁平均發(fā)展速度的計算⑵方程法（累計法）從最初水平a0出發(fā)，每期按一定的平均發(fā)展速度發(fā)展，經過n個時期后，各期推算水平之和等于各期實際水平之和基本要求上一頁下一頁由基本要求有，各期推算水平分別為（該一元n次方程的正根即為平均發(fā)展速度）即：上一頁下一頁【例】某公司2006年實現(xiàn)利潤15萬元，計劃以后三年共實現(xiàn)利潤60萬元，求該公司利潤每年應按多大速度增長才能達到目的。求解方法：查表法上一頁下一頁累計法查對表遞增速度間隔期1～5年平均每年增長﹪各年發(fā)展水平總和為基期的﹪1年2年3年4年5年………………14.9114.90246.92398.61572.90773.1715.0115.00247.25399.34574.24991.0415.1115.10247.58400.06575.571075.57………………上一頁下一頁兩種方法的比較:幾何平均法研究的側重點是最末水平；方程法研究的側重點是各年發(fā)展水平的累計總和。平均發(fā)展速度的計算幾何平均法：方程法：上一頁下一頁平均增長率

(averagerateofincrease)序列中各逐期環(huán)比值(也稱環(huán)比發(fā)展速度)的幾何平均數(shù)減1后的結果描述現(xiàn)象在整個觀察期內平均增長變化的程度通常用幾何平均法求得。計算公式為平均增長率

(例題分析

)【例】見人均GDP數(shù)據(jù)

年平均增長率為：

2005年和2006年人均GDP的預測值分別為：增長率分析中應注意的問題當時間序列中的觀察值出現(xiàn)0或負數(shù)時，不宜計算增長率例如：假定某企業(yè)連續(xù)五年的利潤額分別為5，2，0，-3，2萬元，對這一序列計算增長率，要么不符合數(shù)學公理，要么無法解釋其實際意義。在這種情況下，適宜直接用絕對數(shù)進行分析在有些情況下，不能單純就增長率論增長率，要注意增長率與絕對水平的結合分析增長率分析中應注意的問題

(例題分析)甲、乙兩個企業(yè)的有關資料年份甲

企

業(yè)乙

企

業(yè)利潤額(萬元)增長率(%)利潤額(萬元)增長率(%)2002500—60—2003600208440【例】

假定有兩個生產條件基本相同的企業(yè)，各年的利潤額及有關的速度值如下表增長率分析中應注意的問題

(增長1%絕對值)增長率每增長一個百分點而增加的絕對量用于彌補增長率分析中的局限性計算公式為甲企業(yè)增長1%絕對值=500/100=5萬元乙企業(yè)增長1%絕對值=60/100=0.6萬元第三節(jié)時間序列預測的程序和方法13.3.1確定時間序列的成分13.3.2選擇預測方法13.3.3預測方法的評估確定時間序列的成分確定趨勢成分

(例題分析)【例】一種股票連續(xù)16周的收盤價如下表所示。試確定其趨勢及其類型

確定趨勢成分

(例題分析)直線趨勢方程回歸系數(shù)檢驗P=0.000179R2=0.645確定趨勢成分

(例題分析)二次曲線方程回歸系數(shù)檢驗P=0.012556R2=0.7841確定季節(jié)成分

(例題分析)【例】下面是一家啤酒生產企業(yè)2000～2005年各季度的啤酒銷售量數(shù)據(jù)。試根據(jù)這6年的數(shù)據(jù)繪制年度折疊時間序列圖，并判斷啤酒銷售量是否存在季節(jié)性年度折疊時間序列圖

(foldedannualtimeseriesplot)將每年的數(shù)據(jù)分開畫在圖上若序列只存在季節(jié)成分，年度折疊序列圖中的折線將會有交叉若序列既含有季節(jié)成分又含有趨勢，則年度折疊時間序列圖中的折線將不會有交叉，而且如果趨勢是上升的，后面年度的折線將會高于前面年度的折線，如果趨勢是下降的，則后面年度的折線將低于前面年度的折線選擇預測方法預測方法的選擇是否時間序列數(shù)據(jù)是否存在趨勢否是是否存在季節(jié)是否存在季節(jié)否平滑法預測簡單平均法移動平均法指數(shù)平滑法季節(jié)性預測法季節(jié)多元回歸模型季節(jié)自回歸模型時間序列分解是趨勢預測方法線性趨勢推測非線性趨勢推測自回歸預測模型評估預測方法計算誤差平均誤差ME(meanerror)平均絕對誤差MAD(meanabsolutedeviation)計算誤差均方誤差MSE(meansquareerror)平均百分比誤差MPE(meanpercentageerror)平均絕對百分比誤差MAPE(meanabsolutepercentageerror)

13.4平穩(wěn)序列的預測13.4.1簡單平均法13.4.2移動平均法13.4.3指數(shù)平滑法簡單平均法簡單平均法

(simpleaverage)根據(jù)過去已有的t期觀察值來預測下一期的數(shù)值設時間序列已有的其觀察值為Y1，

Y2，

…，Yt，則第t+1期的預測值Ft+1為有了第t+1的實際值，便可計算出預測誤差為第t+2期的預測值為簡單平均法

(特點)適合對較為平穩(wěn)的時間序列進行預測預測結果不準將遠期的數(shù)值和近期的數(shù)值看作對未來同等重要從預測角度看，近期的數(shù)值要比遠期的數(shù)值對未來有更大的作用當時間序列有趨勢或有季節(jié)變動時，該方法的預測不夠準確移動平均法移動平均法

(movingaverage)對簡單平均法的一種改進方法通過對時間序列逐期遞移求得一系列平均數(shù)作為預測值(也可作為趨勢值)有簡單移動平均法和加權移動平均法兩種簡單移動平均法

(simplemovingaverage)將最近k期數(shù)據(jù)平均作為下一期的預測值

設移動間隔為k(1<k<t)，則t期的移動平均值為

t+1期的簡單移動平均預測值為預測誤差用均方誤差(MSE)

來衡量簡單移動平均法

(特點)將每個觀察值都給予相同的權數(shù)只使用最近期的數(shù)據(jù)，在每次計算移動平均值時，移動的間隔都為k主要適合對較為平穩(wěn)的序列進行預測對于同一個時間序列，采用不同的移動步長預測的準確性是不同的選擇移動步長時，可通過試驗的辦法，選擇一個使均方誤差達到最小的移動步長簡單移動平均法

(例題分析)【例】對居民消費價格指數(shù)數(shù)據(jù)，分別取移動間隔k=3和k=5，用Excel計算各期居民消費價格指數(shù)的預測值，計算出預測誤差，并將原序列和預測后的序列繪制成圖形進行比較簡單移動平均法

(例題分析)簡單移動平均法

(例題分析)指數(shù)平滑平均法指數(shù)平滑法

(exponentialsmoothing)是加權平均的一種特殊形式對過去的觀察值加權平均進行預測的一種方法觀察值時間越遠，其權數(shù)也跟著呈現(xiàn)指數(shù)的下降，因而稱為指數(shù)平滑有一次指數(shù)平滑、二次指數(shù)平滑、三次指數(shù)平滑等一次指數(shù)平滑法也可用于對時間序列進行修勻，以消除隨機波動，找出序列的變化趨勢一次指數(shù)平滑

(singleexponentialsmoothing)只有一個平滑系數(shù)觀察值離預測時期越久遠，權數(shù)變得越小以一段時期的預測值與觀察值的線性組合作為第t+1期的預測值，其預測模型為

Yt為第t期的實際觀察值

Ft

為第t期的預測值為平滑系數(shù)(0<<1)一次指數(shù)平滑在開始計算時，沒有第1期的預測值F1，通?？梢栽OF1等于第1期的實際觀察值，即F1=Y1第2期的預測值為第3期的預測值為一次指數(shù)平滑

(預測誤差)預測精度，用誤差均方來衡量

Ft+1是第t期的預測值Ft加上用調整的第t期的預測誤差(Yt-Ft)一次指數(shù)平滑

(的確定)不同的會對預測結果產生不同的影響當時間序列有較大的隨機波動時，宜選較大的，以便能很快跟上近期的變化當時間序列比較平穩(wěn)時，宜選較小的

選擇時，還應考慮預測誤差誤差均方來衡量預測誤差的大小確定時，可選擇幾個進行預測，然后找出預測誤差最小的作為最后的值一次指數(shù)平滑

(例題分析)第1步：選擇【工具】下拉菜單第2步：選擇【數(shù)據(jù)分析】，并選擇【指數(shù)平滑】，然后【確定】第3步：當對話框出現(xiàn)時

在【輸入區(qū)域】中輸入數(shù)據(jù)區(qū)域

在【阻尼系數(shù)】(注意：阻尼系數(shù)=1-)輸入的值

選擇【確定”】【例】對居民消費價格指數(shù)數(shù)據(jù)，選擇適當?shù)钠交禂?shù)，采用Excel進行指數(shù)平滑預測，計算出預測誤差，并將原序列和預測后的序列繪制成圖形進行比較一次指數(shù)平滑

(例題分析)一次指數(shù)平滑

(例題分析)

13.5趨勢型序列的預測13.5.1線性趨勢預測13.5.2非線性趨勢預測趨勢序列及其預測方法趨勢(trend)持續(xù)向上或持續(xù)下降的狀態(tài)或規(guī)律有線性趨勢和非線性趨勢方法主要有線性趨勢預測非線性趨勢預測自回歸模型預測線性趨勢預測線性趨勢

(lineartrend)現(xiàn)象隨著時間的推移而呈現(xiàn)出穩(wěn)定增長或下降的線性變化規(guī)律由影響時間序列的基本因素作用形成時間序列的成分之一預測方法：線性模型法線性模型法

(線性趨勢方程)線性方程的形式為

—時間序列的預測值

t—時間標號

b0—趨勢線在Y軸上的截距

b1—趨勢線的斜率，表示時間t

變動一個單位時觀察值的平均變動數(shù)量線性模型法

(a和b的求解方程)根據(jù)最小二乘法得到求解b0和b1的標準方程為解得預測誤差可用估計標準誤差來衡量m為趨勢方程中待確定的未知常數(shù)的個數(shù)

線性模型法

(例題分析)【例】根據(jù)人均GDP數(shù)據(jù)，根據(jù)最小二乘法確定直線趨勢方程，計算出各期的預測值和預測誤差，預測2005年的人均GDP，并將原序列和各期的預測值序列繪制成圖形進行比較

線性趨勢方程：預測的R2和估計標準誤差：R2=0.9806

2005年人口自然增長率的預測值

線性模型法

(例題分析)在Excel中最小平方法測定曲線趨勢“工具”“數(shù)據(jù)分析”“分析工具”“回歸”,進入回歸分析對話框?！皔值輸入區(qū)域”輸入y，“x值輸入區(qū)域”輸入x選擇“殘差”和“線性擬合圖”，即可得出回歸統(tǒng)計表及擬合趨勢直線圖。上一頁下一頁下一節(jié)tyi一階差分yi-yi-11234na+ba+2ba+3ba+4ba+nb—bbbb直線趨勢方程：上一頁下一頁tyi一階差分二階差分1234na+b+ca+2b+4ca+3b+9ca+4b+16ca+nb+n2c—b+3cb+5cb+7cb+(2n-1)c——2c2c2c拋物線趨勢方程：上一頁下一頁非線性趨勢預測時間序列以幾何級數(shù)遞增或遞減一般形式為指數(shù)曲線

(exponentialcurve)b0，b1為待定系數(shù)

若b1

>1，增長率隨著時間t的增加而增加若b1

<1，增長率隨著時間t的增加而降低若b0>0，b1<1，趨勢值逐漸降低到以0為極限指數(shù)曲線

(a，b的求解方法)采取“線性化”手段將其化為對數(shù)直線形式根據(jù)最小二乘法，得到求解lgb0、lgb1

的標準方程為求出lgb0和lgb1后，再取其反對數(shù)，即得算術形式的b0和b1

指數(shù)曲線

(例題分析)【例】根據(jù)轎車產量數(shù)據(jù)，確定指數(shù)曲線方程，計算出各期的預測值和預測誤差，預測2005年的轎車產量，并將原序列和各期的預測值序列繪制成圖形進行比較

指數(shù)曲線趨勢方程：預測的估計標準誤差：

2005年轎車產量的預測值

指數(shù)曲線

(例題分析)指數(shù)曲線與直線的比較比一般的趨勢直線有著更廣泛的應用可以反應現(xiàn)象的相對發(fā)展變化程度上例中，b1=1.27286表示1990—2004年轎車產量的年平均增長率為27.286%

不同序列的指數(shù)曲線可以進行比較比較分析相對增長程度趨勢線的選擇觀察散點圖根據(jù)觀察數(shù)據(jù)本身，按以下標準選擇趨勢線一次差大體相同，配合直線二次差大體相同，配合二次曲線對數(shù)的一次差大體相同，配合指數(shù)曲線一次差的環(huán)比值大體相同，配合修正指數(shù)曲線對數(shù)一次差的環(huán)比值大體相同，配合Gompertz曲線倒數(shù)一次差的環(huán)比值大體相同，配合Logistic曲線3.比較估計標準誤差13.6復合型序列的分解預測