系統(tǒng)建模與仿真的基本原理

第2章系統(tǒng)建模與仿真的基本原理

2.1離散事件系統(tǒng)及其模型分類2.2離散事件系統(tǒng)建模的基本元素2.3離散事件系統(tǒng)仿真程序的基本結(jié)構(gòu)2.4建立系統(tǒng)模型的常用方法

2.4.1分析與綜合

2.4.2抽象與概括

2.4.3歸納與總結(jié)

2.4.4演繹與推理

2.4.5比較與類比

2.4.6概率統(tǒng)計(jì)法

2.4.7層次分析法2/5/202312.1離散事件系統(tǒng)及其模型分類

系統(tǒng)分類連續(xù)系統(tǒng)（continuoussystem）離散事件動(dòng)態(tài)系統(tǒng)（DEDS）確定性系統(tǒng)（

deterministicsystem

）隨機(jī)系統(tǒng)（stochasticsystem）靜態(tài)系統(tǒng)（staticsystem）

動(dòng)態(tài)系統(tǒng)（dynamicsystem）

2/5/202322.1離散事件系統(tǒng)及其模型分類白箱（whitebox）

灰箱（greybox）

黑箱（blackbox）

微觀模型（microscopicmodel）

宏觀模型（macroscopicmodel）

集中參數(shù)模型（

lumpedparametersmodel）

分布參數(shù)模型（distributionparametersmodel）

2/5/202332.2離散事件系統(tǒng)建模的基本元素離散事件系統(tǒng)建模與仿真中的基本元素包括：1．實(shí)體（entity）：系統(tǒng)內(nèi)的對(duì)象,構(gòu)成系統(tǒng)模型的基本要素

臨時(shí)實(shí)體（temporaryentity

）

永久實(shí)體（permanententity

）

2．屬性（attribute）：實(shí)體的狀態(tài)和特性

3．狀態(tài)（state）：任一時(shí)刻，系統(tǒng)中所有實(shí)體的屬性的集合2/5/202342.2離散事件系統(tǒng)建模的基本元素4．事件（event）：引起系統(tǒng)狀態(tài)變化的行為和起因，是系統(tǒng)狀態(tài)變化的驅(qū)動(dòng)力

5．活動(dòng)（activity）：指兩個(gè)事件之間的持續(xù)過程，它標(biāo)志系統(tǒng)狀態(tài)的轉(zhuǎn)移

6．進(jìn)程（process）：與某類實(shí)體相關(guān)的若干有序事件及活動(dòng)組成，它描述了相關(guān)事件及活動(dòng)之間的邏輯和時(shí)序關(guān)系

2/5/202352.2離散事件系統(tǒng)建模的基本元素7．仿真時(shí)鐘（simulationclock）：用于顯示仿真時(shí)間的變化，是仿真模型運(yùn)行時(shí)序的控制機(jī)構(gòu)

?。。》抡鏁r(shí)鐘是指所模擬的實(shí)際系統(tǒng)運(yùn)行所需的時(shí)間，而不是指計(jì)算機(jī)執(zhí)行仿真程序所需的時(shí)間。

2/5/202362.2離散事件系統(tǒng)建模的基本元素

常用的仿真時(shí)鐘的推進(jìn)機(jī)制：仿真時(shí)鐘可以按固定的長(zhǎng)度向前推進(jìn)，也可以按變化的節(jié)拍向前推進(jìn)，將仿真時(shí)鐘變化的機(jī)制稱為

仿真時(shí)鐘的推進(jìn)機(jī)制（timeadvancemechanism）①固定步長(zhǎng)時(shí)間推進(jìn)機(jī)制（fixed-incrementtimeadvancemechanism）②下次事件時(shí)間推進(jìn)機(jī)制（nexteventtimeadvancemechanism）③混合時(shí)間推進(jìn)機(jī)制（mixedtimeadvancemechanism）2/5/202372.2離散事件系統(tǒng)建模的基本元素8.規(guī)則（rule）

：用于描述實(shí)體之間的邏輯關(guān)系和系統(tǒng)運(yùn)行策略的邏輯語(yǔ)句和約定

常用的規(guī)則：①先進(jìn)先出（FirstInFirstOut，F(xiàn)IFO）②后進(jìn)先出（LastInFirstOut，LIFO）③加工或服務(wù)時(shí)間最短（shortesttime）④按優(yōu)先級(jí)（highestpriority）⑤隨機(jī)（random）選擇

2/5/202382.3離散事件系統(tǒng)仿真程序的基本結(jié)構(gòu)2/5/202392.3離散事件系統(tǒng)仿真程序的基本結(jié)構(gòu)離散事件仿真程序中的子程序：1．變量、實(shí)體屬性和系統(tǒng)狀態(tài)：用來(lái)記錄系統(tǒng)在不同時(shí)刻所處的工作狀況。2．初始化子程序：在仿真模型開始運(yùn)行前完成模型的初始化工作，產(chǎn)生必要的初試參數(shù)。

3．仿真時(shí)鐘：用于記錄仿真模型的運(yùn)行時(shí)間，可作為評(píng)價(jià)系統(tǒng)性能的依據(jù)，也可作為仿真調(diào)度和仿真程序是否結(jié)束的依據(jù)。

4．事件列表：按事件按發(fā)生的先后順序建立的數(shù)據(jù)列表，是仿真模型運(yùn)行和仿真時(shí)鐘推進(jìn)的依據(jù)。

2/5/2023102.3離散事件系統(tǒng)仿真程序的基本結(jié)構(gòu)5．定時(shí)子程序：根據(jù)事件表確定下一個(gè)將發(fā)生的事件，并將仿真時(shí)鐘推進(jìn)到下次事件發(fā)生的時(shí)刻。

6．事件子程序：根據(jù)實(shí)際系統(tǒng)抽象出的事件程序。7．仿真數(shù)據(jù)處理與分析子程序：用于計(jì)算、顯示、分析和打印仿真結(jié)果，并為系統(tǒng)的優(yōu)化和改進(jìn)提供依據(jù)。

2/5/2023112.4建立系統(tǒng)模型的常用方法

系統(tǒng)建模要求建模者具備以下能力：建立系統(tǒng)模型是復(fù)雜的思維過程，它要求建模者具備扎實(shí)的專業(yè)知識(shí)，了解研究對(duì)象的結(jié)構(gòu)、參數(shù)、運(yùn)行和性能特征，還要求建模者掌握系統(tǒng)建模的基本方法，熟練應(yīng)用相關(guān)的數(shù)學(xué)工具和方法。

①對(duì)研究對(duì)象的分析和綜合能力；②抽象和概括能力；③洞察和想象能力；④運(yùn)用數(shù)學(xué)工具分析問題的能力；⑤設(shè)計(jì)試驗(yàn)驗(yàn)證數(shù)學(xué)模型的能力。2/5/2023122.4建立系統(tǒng)模型的常用方法2.4.1

分析與綜合（analysisandsynthesis）

分析是研究系統(tǒng)的基礎(chǔ)，也是認(rèn)識(shí)事物的必經(jīng)階段。分析（analysis）是指將被研究對(duì)象的整體分解為不同部分、

方面、要素、層次和功能模塊，并且分別加以考察研究的思維方法，即“化整為零”的思維過程。分析的任務(wù)包括：①分析構(gòu)成系統(tǒng)的要素、結(jié)構(gòu)及其屬性；②通過對(duì)系統(tǒng)運(yùn)行過程的分析，確定系統(tǒng)要素之間的關(guān)系。

2/5/2023132.4建立系統(tǒng)模型的常用方法

綜合（synthesis）是將已有的關(guān)于研究對(duì)象的各個(gè)部分、方面、要素、層次和功能模塊的認(rèn)識(shí)聯(lián)結(jié)起來(lái)，以便構(gòu)成一個(gè)整體的思維方法，即“積零為整”的思維過程。綜合不是系統(tǒng)要素、結(jié)構(gòu)的簡(jiǎn)單累加，而要在分析的基礎(chǔ)上區(qū)分主次、去粗取精，以便從整體上把握系統(tǒng)的本質(zhì)特征和運(yùn)行規(guī)律，以便正確地認(rèn)識(shí)系統(tǒng)。分析與綜合是揭示系統(tǒng)規(guī)律的基本方法之一。分析是綜合的基礎(chǔ)，但是分析著眼于系統(tǒng)局部，分析得到的結(jié)果是關(guān)于系統(tǒng)各部分的信息，而不是關(guān)于系統(tǒng)整體的認(rèn)識(shí)。若只分析而忽視綜合，就會(huì)導(dǎo)致片面性。2/5/2023142.4建立系統(tǒng)模型的常用方法

分析的目的是為了綜合，分析結(jié)果是綜合的出發(fā)點(diǎn)。實(shí)際上，認(rèn)識(shí)系統(tǒng)的過程就是沿著“分析-綜合-再分析-再綜合…”不斷深化的過程。系統(tǒng)建模時(shí)，應(yīng)先分析后綜合，將二者有機(jī)地結(jié)合起來(lái)。2/5/2023152.4建立系統(tǒng)模型的常用方法

分析與綜合案例——元素周期表2/5/2023162.4建立系統(tǒng)模型的常用方法2/5/2023172.4建立系統(tǒng)模型的常用方法2.4.2

抽象與概括（abstractionandgeneralization）

抽象（abstraction）是指從某種角度抽取要研究系統(tǒng)的本質(zhì)屬性的思維方法。在數(shù)學(xué)中，抽象是指從研究對(duì)象或問題中抽取出數(shù)量關(guān)系或空間形式而舍棄其他屬性對(duì)其進(jìn)行考察的方法。數(shù)學(xué)中的概念、關(guān)系、定理、方法、符號(hào)等都是數(shù)學(xué)抽象的結(jié)果。采用系統(tǒng)建模與仿真技術(shù)研究系統(tǒng)時(shí)，需要建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。因此，抽象思維是數(shù)學(xué)建模的基礎(chǔ)之一。2/5/2023182.4建立系統(tǒng)模型的常用方法

概括（generalization）是把抽象出來(lái)的若干事物的共同屬性歸結(jié)出來(lái)進(jìn)行考察的思維方法。概括以抽象為基礎(chǔ)，它是抽象的發(fā)展。抽象度越高，則概括性越強(qiáng)。高度的概括使得對(duì)事物的理解更具有一般性，所獲得的理論或方法也就更具有普遍的指導(dǎo)性。抽象思維側(cè)重于分析、提煉，概括思維則側(cè)重于歸納、綜合。2/5/2023192.4建立系統(tǒng)模型的常用方法

抽象與概括案例——哥尼斯堡七橋問題2/5/2023202.4建立系統(tǒng)模型的常用方法

抽象與概括案例——系統(tǒng)可靠性框圖（RBD）2/5/2023212.4建立系統(tǒng)模型的常用方法2.4.3歸納與總結(jié)（inductionandsummingup）

歸納是指從個(gè)別的事物、現(xiàn)象出發(fā)，通過感官觀察、經(jīng)驗(yàn)推理或數(shù)學(xué)推導(dǎo)等，得出關(guān)于此類事物或現(xiàn)象的具有普遍性結(jié)論的過程。

歸納的前提是單個(gè)事實(shí)或特殊的情況，它建立在觀察、經(jīng)驗(yàn)或?qū)嶒?yàn)的基礎(chǔ)上。歸納的意義在于：在一定條件下，將得出的結(jié)論應(yīng)用于不同的應(yīng)用對(duì)象，或避免犯類似的錯(cuò)誤。

2/5/2023222.4建立系統(tǒng)模型的常用方法

歸納與總結(jié)案例——哥德巴赫猜想

1742年，德國(guó)數(shù)學(xué)家哥德巴赫（Christian

Goldbach，1690-1764）研究發(fā)現(xiàn)：奇數(shù)都可以由三個(gè)素?cái)?shù)相加，如77＝53＋17＋7，461＝449＋7＋5＝257＋199＋5等。于是，他歸納出一個(gè)規(guī)律：所有大于5的奇數(shù)都可以分解為三個(gè)素?cái)?shù)之和。他寫信給數(shù)學(xué)家歐拉，提出上述猜想。歐拉肯定了他的想法，并補(bǔ)充提出：4以后每個(gè)偶數(shù)都可以分解為兩個(gè)素?cái)?shù)之和。后來(lái)，人們將這兩個(gè)命題合稱為哥德巴赫猜想。2/5/2023232.4建立系統(tǒng)模型的常用方法

歸納與總結(jié)案例——開普勒定律自1601年起，德國(guó)天文學(xué)家開普勒（JohannesKepler，1571-1630）采用數(shù)學(xué)方法研究行星運(yùn)動(dòng)，于1609年歸納出開普勒第一定律和開普勒第二定律。

開普勒第一定律可表述為“各行星分別在大小不同的橢圓軌道上繞太陽(yáng)運(yùn)行，太陽(yáng)位于這些橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上”；

開普勒第二定律可表述為“對(duì)同一顆行星而言，太陽(yáng)和行星之間的連線在相等的時(shí)間內(nèi)掃過相等的面積”。2/5/2023242.4建立系統(tǒng)模型的常用方法

歸納與總結(jié)案例——開普勒定律為進(jìn)一步尋求行星運(yùn)動(dòng)周期與橢圓軌道尺寸之間的關(guān)系，開普勒又經(jīng)過九年的反復(fù)計(jì)算和假設(shè)，于1618年發(fā)現(xiàn)了隱藏在大量觀測(cè)數(shù)據(jù)后面的規(guī)律，歸納出“行星繞太陽(yáng)運(yùn)行周期（T）的平方與它們到它們到太陽(yáng)的平均距離（橢圓軌道長(zhǎng)軸半徑a）的立方成正比”的結(jié)論，此即開普勒第三定律。2/5/2023252.4建立系統(tǒng)模型的常用方法

歸納與總結(jié)案例——開普勒定律

1619年，開普勒在《宇宙的和諧》一書中介紹了第三定律。他在書中寫道：“認(rèn)識(shí)到這一真理，超出了我最美好的期望”。

開普勒的三大定律是天文學(xué)的又一次革命，它徹底摧毀了托勒密復(fù)雜的本輪宇宙體系，完善并簡(jiǎn)化了哥白尼的日心宇宙體系，對(duì)后人確認(rèn)太陽(yáng)系結(jié)構(gòu)提供了理論依據(jù)，并為牛頓發(fā)現(xiàn)萬(wàn)有引力定律奠定了基礎(chǔ)。2/5/2023262.4建立系統(tǒng)模型的常用方法2.4.4演繹與推理（deductionandreasoning）

演繹（deduction）是由普遍性前提推導(dǎo)出特殊性結(jié)論的思維方法，是由一般到特殊的推理過程。演繹推理是嚴(yán)格的邏輯推理，一般表現(xiàn)為大前提、小前提、

結(jié)論的三段論模式，即從兩個(gè)反映客觀世界對(duì)象聯(lián)系和關(guān)系的判斷中得出新的判斷的推理形式。

演繹推理（deductivereasoning）的基本要求是：①大、小前提的判斷必須真實(shí)；②推理過程必須符合正確的邏輯形式和規(guī)則。當(dāng)推理形式和推理邏輯正確時(shí)，在真實(shí)的前提下由演繹方法一定能得出正確的結(jié)論，不會(huì)出現(xiàn)前提真而結(jié)論假的情況。2/5/202327按照前提和結(jié)論之間的結(jié)構(gòu)關(guān)系，可以分為以下幾種：三段論假言推理充分條件規(guī)則1：肯定前件，就要肯定后件；否定前件，不能否定后件。1.如果誰(shuí)驕傲自滿，那么他就要落后；小張驕傲自滿，所以，小張必定要落后。規(guī)則2：否定后件，就要否定前件；肯定后件，不能肯定前件。2.如果誰(shuí)得了肺炎，他就一定要發(fā)燒；小李沒發(fā)燒，所以，小李沒患肺炎。

必要條件規(guī)則1：否定前件，就要否定后件；肯定前件，不能肯定后件。只有年滿十八歲，才有選舉權(quán)；小周不到十八歲，所以，小周沒有選舉權(quán)。

規(guī)則2：肯定后件，就要肯定前件；否定后件，不能否定前件。只有選用優(yōu)良品種，小麥才能豐收；小麥豐收了，所以，這塊麥田選用了優(yōu)良品種。2/5/202328根據(jù)規(guī)則，必要條件假言推理的肯定前件式和否定后件式都是無(wú)效的。例如：3.只有有作案動(dòng)機(jī)，才會(huì)是案犯；某人確有作案動(dòng)機(jī)，所以，某人定是案犯。4.只有學(xué)習(xí)成績(jī)優(yōu)良，才能做三好學(xué)生；小吳不是三好學(xué)生，所以，小吳學(xué)習(xí)成績(jī)不是優(yōu)良。

充分必要條件假言推理規(guī)則1：肯定前件，就要肯定后件；肯定后件，就要肯定前件。規(guī)則2：否定前件，就要否定后件；否定后件，就要否定前件。1.一個(gè)數(shù)是偶數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)它能被2整除；這個(gè)數(shù)是偶數(shù)，所以，這個(gè)數(shù)能被2整除。2.一個(gè)數(shù)是偶數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)它能被2整除；這個(gè)數(shù)能被2整除，所以，這個(gè)數(shù)是偶數(shù)。3.一個(gè)數(shù)是偶數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)它能被2整除；這個(gè)數(shù)不是偶數(shù)，所以，這個(gè)數(shù)不能被2整除。4.一個(gè)數(shù)是偶數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)它能被2整除；這個(gè)數(shù)不能被2整除，所以，這個(gè)數(shù)不是偶數(shù)。2/5/202329選言推理相容推理規(guī)則1：否定一部分選言支，就要肯定另一部分選言支。規(guī)則2：肯定一部分選言支，不能否定另一部分選言支。1.金敏是教師或者是律師，她不是教師，所以，她是律師。（正）2.金敏是教師或者是律師，她是教師，所以，她不是律師。（誤）

不相容推理規(guī)則1：否定一部分選言支，就要肯定另一部分選言支。規(guī)則2：肯定一部分選言支，就要否定另一部分選言支。1.要么小李得冠軍，要么小王得冠軍；小李沒有得冠軍，所以，小王得冠軍。2.要么去桂林旅游，要么去海南旅游；去桂林旅游，所以，不去海南旅游。2/5/2023302.4建立系統(tǒng)模型的常用方法英國(guó)科學(xué)家牛頓（IsaacNewton，1642-1727）以微積分方法為工具，應(yīng)用演繹推理方法，在開普勒三定律和牛頓第二定律的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)出萬(wàn)有引力定律，從而定量地解釋了許多自然現(xiàn)象。由于該演繹推理的前提正確、推理邏輯無(wú)誤，萬(wàn)有引力被大量的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)所證實(shí)。愛因斯坦曾說(shuō)過：“理論研究者的工作可分成兩步，首先是發(fā)現(xiàn)公理，其次是從公理推出結(jié)論”。

愛因斯坦還曾指出：“科學(xué)發(fā)展早期所采用的方法以歸納為主，隨著科學(xué)的發(fā)展而讓逐步位于探索性的演繹法?！?/5/2023312.4建立系統(tǒng)模型的常用方法

恩格斯曾經(jīng)指出：“正如分析和綜合一樣，歸納和演繹是必然相互聯(lián)系著的”。諾貝爾獎(jiǎng)得主楊振寧教授也曾說(shuō)：“中華文化有歸納法，可沒有推演法（演繹法），而近代科學(xué)是把歸納法和推演法結(jié)合起來(lái)而發(fā)展的，推演法對(duì)于近代科學(xué)產(chǎn)生的影響無(wú)法估量。”2/5/2023322.4建立系統(tǒng)模型的常用方法2.4.5比較與類比（comparisonandanalogy）要判定一個(gè)系統(tǒng)性能的優(yōu)劣，可以采用以下兩種方法：①采用實(shí)驗(yàn)手段直接測(cè)量，得到系統(tǒng)性能的絕對(duì)值；

②將待研究對(duì)象與類似的已知系統(tǒng)作比較，得到系統(tǒng)性能的相對(duì)值。

比較與類比（comparisonandanalogy）是指由兩個(gè)對(duì)象的某些相同或相似的性質(zhì)，推斷它們?cè)谄渌再|(zhì)上也有可能相同或相似的一種推理形式。2/5/2023332.4建立系統(tǒng)模型的常用方法一個(gè)由質(zhì)量為m的剛體、阻尼系數(shù)為c的阻尼器以及剛度系數(shù)為k的彈簧組成的機(jī)械系統(tǒng)。在外力F的作用下，根據(jù)牛頓定律，對(duì)剛體m可建立如下振動(dòng)微分方程式：

由電感L、電容C、電阻R組成的電路，系統(tǒng)，當(dāng)輸入電壓為u1時(shí)，電容上的輸出電壓為uC當(dāng)輸入電壓為u1時(shí)，根據(jù)基爾霍夫定律，u1和uC滿足如下微分方程式：2/5/2023342.4建立系統(tǒng)模型的常用方法2.4.6概率統(tǒng)計(jì)法（probabilisticmethod）

系統(tǒng)建模和仿真時(shí)，模型的輸入?yún)?shù)（如待加工零件的比例和到達(dá)時(shí)間、零件在不同工序的加工時(shí)間、設(shè)備故障停機(jī)時(shí)間等）都服從一定分布，系統(tǒng)的性能指標(biāo)（如機(jī)床利用率、零件平均等待時(shí)間、車間生產(chǎn)率等）也具有隨機(jī)性。

要準(zhǔn)確地描述模型的輸入/輸出參數(shù)，必須利用概率統(tǒng)計(jì)法。概率統(tǒng)計(jì)法（probabilitystatisticsmethod）是以概率論為基礎(chǔ)，通過觀察、采集、處理和分析待研究系統(tǒng)的樣本數(shù)據(jù)，從而推斷出系統(tǒng)總體性能指標(biāo)。2/5/2023352.4.7層次分析法建模一問題的提出例1購(gòu)物買鋼筆，一般要依據(jù)質(zhì)量、顏色、實(shí)用性、價(jià)格、外形等方面的因素選擇某一支鋼筆。買飯，則要依據(jù)色、香、味、價(jià)格等方面的因素選擇某種飯菜。

決策是指在面臨多種方案時(shí)需要依據(jù)一定的標(biāo)準(zhǔn)選擇某一種方案。2/5/202336

假期旅游，是去風(fēng)光秀麗的蘇州，還是去迷人的北戴河，或者是去山水甲天下的桂林，一般會(huì)依據(jù)景色、費(fèi)用、食宿條件、旅途等因素選擇去哪個(gè)地方。例2旅游例3擇業(yè)面臨畢業(yè)，可能有高校、科研單位、企業(yè)等單位可以去選擇，一般依據(jù)工作環(huán)境、工資待遇、發(fā)展前途、住房條件等因素?fù)駱I(yè)。2/5/202337

由于經(jīng)費(fèi)等因素，有時(shí)不能同時(shí)開展幾個(gè)課題，一般依據(jù)課題的可行性、應(yīng)用價(jià)值、理論價(jià)值、被培養(yǎng)人才等因素進(jìn)行選題。

面臨各種各樣的方案，要進(jìn)行比較、判斷、評(píng)價(jià)、最后作出決策。這個(gè)過程主觀因素占有相當(dāng)?shù)谋戎亟o用數(shù)學(xué)方法解決問題帶來(lái)不便。T.L.saaty等人在20世紀(jì)七十年代提出了一種能有效處理這類問題的實(shí)用方法。例4科研課題的選擇2/5/202338

層次分析法（AnalyticHierarchyProcess,AHP)這是一種定性和定量相結(jié)合的、系統(tǒng)化的、層次化的分析方法。

過去研究自然和社會(huì)現(xiàn)象主要有機(jī)理分析法和統(tǒng)計(jì)分析法兩種方法，前者用經(jīng)典的數(shù)學(xué)工具分析現(xiàn)象的因果關(guān)系，后者以隨機(jī)數(shù)學(xué)為工具，通過大量的觀察數(shù)據(jù)尋求統(tǒng)計(jì)規(guī)律。近年發(fā)展的系統(tǒng)分析是又一種方法，而層次分析法是系統(tǒng)分析的數(shù)學(xué)工具之一。2/5/202339層次分析法（AnalyticHierarchyProcess，AHP）

層次分析法的基本原理：

測(cè)度原理

遞階層次結(jié)構(gòu)原理決策是從一組備選方案中選擇理想的方案。它是在一定準(zhǔn)則下通過“效用函數(shù)”值的最大化來(lái)實(shí)現(xiàn)的。要實(shí)現(xiàn)上述目標(biāo)，首先要對(duì)各種因素進(jìn)行測(cè)度。影響決策的各種因素之間往往存在自上至下、遞階、逐層支配的關(guān)系。2/5/202340層次分析法（AnalyticHierarchyProcess，AHP）

排序原理層次分析法將同層次的一組元素，通過兩兩比較，以確定各因素的相對(duì)重要性，最終得到權(quán)重矩陣。

綜合評(píng)價(jià)原理以系統(tǒng)化的方法，綜合評(píng)價(jià)各方案的總體性能。2/5/202341§層次分析法的基本原理和步驟

運(yùn)用層次分析法解決問題，大體可以分為四個(gè)步驟：

1.建立問題的遞階層次結(jié)構(gòu)；

2.構(gòu)造兩兩比較判斷矩陣；

3.由判斷矩陣計(jì)算被比較元素相對(duì)權(quán)重；

4.計(jì)算各層次元素的組合權(quán)重。2/5/202342層次分析法的基本思路：與人們對(duì)某一復(fù)雜決策問題的思維、判斷過程大體一致。選擇鋼筆質(zhì)量、顏色、價(jià)格、外形、實(shí)用鋼筆1、鋼筆2、鋼筆3、鋼筆4質(zhì)量、顏色、價(jià)格、外形、實(shí)用進(jìn)行排序?qū)⒏鱾€(gè)鋼筆的質(zhì)量、顏色、價(jià)格、外形、實(shí)用進(jìn)行排序經(jīng)綜合分析決定買哪支鋼筆2/5/2023431建立層次結(jié)構(gòu)模型

一般分為三層，最上面為目標(biāo)層，最下面為方案層，中間是準(zhǔn)則層或指標(biāo)層。例1的層次結(jié)構(gòu)模型準(zhǔn)則層方案層目標(biāo)層2/5/202344目標(biāo)層O(選擇旅游地)P2黃山P1桂林P3北戴河準(zhǔn)則層方案層C3居住C1景色C2費(fèi)用C4飲食C5旅途例2.選擇旅游地如何在3個(gè)目的地中按照景色、費(fèi)用、居住條件等因素選擇.2/5/202345“選擇旅游地”思維過程的歸納將決策問題分為3個(gè)層次：目標(biāo)層O，準(zhǔn)則層C，方案層P；每層有若干元素，各層元素間的關(guān)系用相連的直線表示。通過相互比較確定各準(zhǔn)則對(duì)目標(biāo)的權(quán)重，及各方案對(duì)每一準(zhǔn)則的權(quán)重。將上述兩組權(quán)重進(jìn)行綜合，確定各方案對(duì)目標(biāo)的權(quán)重。層次分析法將定性分析與定量分析結(jié)合起來(lái)完成以上步驟，給出決策問題的定量結(jié)果。2/5/202346設(shè)某層有個(gè)因素，2構(gòu)造成對(duì)比較矩陣要比較它們對(duì)上一層某一準(zhǔn)則（或目標(biāo)）的影響程度，確定在該層中相對(duì)于某一準(zhǔn)則所占的比重。（即把個(gè)因素對(duì)上層某一目標(biāo)的影響程度排序）用表示第個(gè)因素相對(duì)于第個(gè)因素的比較結(jié)果，則則稱為成對(duì)比較矩陣。上述比較是兩兩因素之間進(jìn)行的比較，比較時(shí)取1~9尺度。2/5/2023472468比較尺度aij

Saaty等人提出1~9尺度——aij

取值1,2,…,9及其互反數(shù)1,1/2,…,1/9尺度13579相同稍強(qiáng)強(qiáng)明顯強(qiáng)絕對(duì)強(qiáng)aij=1,1/2,,…1/9的重要性與上面相反心理學(xué)家認(rèn)為成對(duì)比較的因素不宜超過9個(gè)用1~3,1~5,…1~17,…,1p~9p

(p=2,3,4,5),d+0.1~d+0.9(d=1,2,3,4)等27種比較尺度對(duì)若干實(shí)例構(gòu)造成對(duì)比較陣，算出權(quán)向量，與實(shí)際對(duì)比發(fā)現(xiàn)，1~9尺度較優(yōu)。便于定性到定量的轉(zhuǎn)化：成對(duì)比較陣和權(quán)向量2/5/202348成對(duì)比較陣和權(quán)向量元素之間兩兩對(duì)比，對(duì)比采用相對(duì)尺度設(shè)要比較各準(zhǔn)則C1,C2,…,Cn對(duì)目標(biāo)O的重要性A~成對(duì)比較陣A是正互反陣要由A確定C1,…,Cn對(duì)O的權(quán)向量選擇旅游地2/5/202349成對(duì)比較的不一致情況一致比較不一致允許不一致，但要確定不一致的允許范圍考察完全一致的情況成對(duì)比較陣和權(quán)向量2/5/202350成對(duì)比較完全一致的情況滿足的正互反陣A稱一致陣，如

A的秩為1，A的唯一非零特征根為n

A的任一列向量是對(duì)應(yīng)于n的特征向量

A的歸一化特征向量可作為權(quán)向量一致陣性質(zhì)成對(duì)比較陣和權(quán)向量

2/5/202351若成對(duì)比較矩陣是一致陣，則我們自然會(huì)取對(duì)應(yīng)于最大特征根的歸一化特征向量，且定理：階互反陣的最大特征根，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，為一致陣。表示下層第個(gè)因素對(duì)上層某因素影響程度的權(quán)值。若成對(duì)比較矩陣不是一致陣，Saaty等人建議用其最大特征根對(duì)應(yīng)的歸一化特征向量作為權(quán)向量，則（為什么？）這樣確定權(quán)向量的方法稱為特征根法.英雄帖2題目：該定理的證明。分值：2英雄帖1題目：特征根法的原因分值：12/5/202352一致性檢驗(yàn)對(duì)A確定不一致的允許范圍定義一致性指標(biāo):CI越大，不一致越嚴(yán)重RI000.580.901.121.241.321.411.451.491.51

n1234567891110為衡量CI的大小，引入隨機(jī)一致性指標(biāo)RI——隨機(jī)模擬得到aij,形成A，計(jì)算CI即得RI。定義一致性比率CR=CI/RI當(dāng)CR<0.1時(shí)，通過一致性檢驗(yàn)Saaty的結(jié)果如下由于連續(xù)的依賴于，則比大的越多，的不一致性越嚴(yán)重。用最大特征值對(duì)應(yīng)的特征向量作為被比較因素對(duì)上層某因素影響程度的權(quán)向量，其不一致程度越大，引起的判斷誤差越大。因而可以用數(shù)值的大小來(lái)衡量的不一致程度。2/5/202353“選擇旅游地”中準(zhǔn)則層對(duì)目標(biāo)的權(quán)向量及一致性檢驗(yàn)準(zhǔn)則層對(duì)目標(biāo)的成對(duì)比較陣最大特征根=5.073權(quán)向量(特征向量)w=(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T一致性指標(biāo)隨機(jī)一致性指標(biāo)RI=1.12(查表)一致性比率CR=0.018/1.12=0.016<0.1通過一致性檢驗(yàn)2/5/202354組合權(quán)向量記第2層（準(zhǔn)則）對(duì)第1層（目標(biāo)）的權(quán)向量為同樣求第3層(方案)對(duì)第2層每一元素(準(zhǔn)則)的權(quán)向量方案層對(duì)C1(景色)的成對(duì)比較陣方案層對(duì)C2(費(fèi)用)的成對(duì)比較陣…Cn…Bn最大特征根1

2

…

n

權(quán)向量w1(3)w2(3)…

wn(3)2/5/202355

（2）考慮第3層對(duì)第2層由1–9尺度得2/5/202356權(quán)向量矩陣2/5/2023574層次總排序及其一致性檢驗(yàn)

確定某層所有因素對(duì)于總目標(biāo)相對(duì)重要性的排序權(quán)值過程，稱為層次總排序

從最高層到最低層逐層進(jìn)行。設(shè)：

對(duì)總目標(biāo)Z的排序?yàn)榈膶哟螁闻判驗(yàn)?/5/202358即層第個(gè)因素對(duì)總目標(biāo)的權(quán)值為：層的層次總排序?yàn)椋築層的層次總排序AB2/5/202359層次總排序的一致性檢驗(yàn)設(shè)層對(duì)上層(層)中因素的層次單排序一致性指標(biāo)為，隨機(jī)一致性指為，則層次總排序的一致性比率為：當(dāng)時(shí)，認(rèn)為層次總排序通過一致性檢驗(yàn)。到此，根據(jù)最下層（決策層）的層次總排序做出最后決策。2/5/202360

（3）組合權(quán)向量2/5/202361（4）組合一致性檢驗(yàn)2/5/202362第3層對(duì)第2層的計(jì)算結(jié)果k10.5950.2770.1293.0050.0030.00100.00503.0020.6820.2360.082230.1420.4290.42933.0090.1750.1930.633430.6680.1660.1665組合權(quán)向量RI=0.58(n=3),

CIk

均可通過一致性檢驗(yàn)

w(2)

0.2630.4750.0550.0900.110方案P1對(duì)目標(biāo)的組合權(quán)重為0.5950.263+…=0.300方案層對(duì)目標(biāo)的組合權(quán)向量為(0.300,0.246,0.456)T2/5/202363旅游決策問題計(jì)算結(jié)果權(quán)向量C對(duì)U0.2640.4760.0540.0980.109λm(2)CI(2)CR(2)5.0720.0180.016準(zhǔn)則C方案PC1C2C3C4C5組合權(quán)向量P對(duì)U權(quán)向量P對(duì)CP10.5950.0820.4290.6340.1670.299P20.2760.2360.4290.1920.1670.245P30.1220.6820.1420.1740.6670.455λm(3)3.0063.00233.0093CR(3)CI(3)0.0030.00100.0050RI(3)0.580.580.580.580.580.0032/5/2023642/5/2023652/5/202366四層次分析法的優(yōu)點(diǎn)和局限性1系統(tǒng)性

層次分析法把研究對(duì)象作為一個(gè)系統(tǒng)，按照分解、比較判斷、綜合的思維方式進(jìn)行決策，成為繼機(jī)理分析、統(tǒng)計(jì)分析之后發(fā)展起來(lái)的系統(tǒng)分析的重要工具。2實(shí)用性層次分析法把定性和定量方法結(jié)合起來(lái)，能處理許多用傳統(tǒng)的最優(yōu)化技術(shù)無(wú)法著手的實(shí)際問題，應(yīng)用范圍很廣，同時(shí)，這種方法使得決策者與決策分析者能夠相互溝通，決策者甚至可以直接應(yīng)用它，這就增加了決策的有效性。2/5/2023673簡(jiǎn)潔性具有中等文化程度的人即可以了解層次分析法的基本原理并掌握該法的基本步驟，計(jì)算也非常簡(jiǎn)便，并且所得結(jié)果簡(jiǎn)單明確，容易被決策者了解和掌握。以上三點(diǎn)體現(xiàn)了層次分析法的優(yōu)點(diǎn)，該法的局限性主要表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：第一只能從原有的方案中優(yōu)選一個(gè)出來(lái)，沒有辦法得出更好的新方案。2/5/202368第二該法中的比較、判斷以及結(jié)果的計(jì)算過程都是粗糙的，不適用于精度較高的問題。第三從建立層次結(jié)構(gòu)模型到給出成對(duì)比較矩陣，人主觀因素對(duì)整個(gè)過程的影響很大，這就使得結(jié)果難以讓所有的決策者接受。當(dāng)然采取專家群體判斷的辦法是克服這個(gè)缺點(diǎn)的一種途徑。思考：多名專家的綜合決策問題2/5/202369五正互反陣最大特征值和特征向量實(shí)用算法用定義計(jì)算矩陣的特征值和特征向量相當(dāng)困難，特別是階數(shù)較高時(shí)；成對(duì)比較矩陣是通過定性比較得到的比較粗糙的結(jié)果，對(duì)它的精確計(jì)算是沒有必要的。尋找簡(jiǎn)便的近似方法。2/5/202370定理對(duì)于正矩陣A

（A的所有元素為正）1）A的最大特征根為正單根；2）對(duì)應(yīng)正特征向量w（w的所有分量為正）；3）其中是對(duì)應(yīng)的歸一化特征向量。2/5/2023711冪法步驟如下a)任取n維歸一化初始向量b)

計(jì)算c)歸一化，即令2/5/202372d)

對(duì)于預(yù)先給定的精度，當(dāng)下式成立時(shí)即為所求的特征向量；否則返回b；e)計(jì)算最大特征值這是求特征根對(duì)應(yīng)特征向量的迭代方法，其收斂性由定理的3）保證。2/5/2023732和法步驟如下a)將A的每一列向量歸一化得b)

對(duì)c)歸一化按行求和得d)計(jì)算2/5/2023743根法步驟與和法基本相同，只是將步驟b改為對(duì)按行求積并開n次方，即三方法中，和法最為簡(jiǎn)便?？聪铝欣?。e)計(jì)算，最大特征值的近似值。2/5/202375列向量歸一化求和歸一化精確計(jì)算，得2/5/202376§范例工作選擇：經(jīng)雙方懇談，已有三個(gè)單位表示愿意錄用某畢業(yè)生。該生根據(jù)已有信息建立了一個(gè)層次結(jié)構(gòu)模型，如下圖所示：2/5/202377經(jīng)過仔細(xì)斟酌，該生對(duì)準(zhǔn)則層和方案層分別進(jìn)行了兩兩比較，所做的兩兩比較判斷矩陣為：2/5/2023782/5/2023792/5/2023802/5/202381對(duì)矩陣A和Bj（j=1,…,6）分別進(jìn)行求最大特征值、一致性判斷、求權(quán)值等運(yùn)算，再經(jīng)過組合權(quán)重的計(jì)算和組合一致性的判斷，最終結(jié)果是：該生最滿意的工作為工作1。中間的具體計(jì)算結(jié)果如表1.3.1和表1.3.2所示。2/5/202382表1.3.1各層及組合權(quán)值準(zhǔn)則研究發(fā)展待遇同事地理單位課題前途情況位置名氣總排序權(quán)值準(zhǔn)則層權(quán)值0.15070.17920.18860.04720.14640.2879方案層單排序權(quán)值工作10.13650.09740.24260.27900.46670.79860.3952工作20.62500.33310.08790.64910.46670.10490.2996工作30.23850.56950.66940.07190.06670.09650.30522/5/202383表1.3.2各層及組合一致性比例準(zhǔn)則研究發(fā)展待遇同事地理單位課題前途情況位置名氣組合一致比例準(zhǔn)則層一致比例0.0981方案層一致比例0.01760.02360.00680.06240.00000.00680.11112/5/202384注意：事實(shí)上，在準(zhǔn)則層的最終組合一致性比例為0.1111，大于0.1。但由于各個(gè)單層的一致性都是可以接受的，組合一致性比例比0.1大的很少，考慮到調(diào)整兩兩比較判斷矩陣非常麻煩，故在此問題中，我們認(rèn)可這樣的一致性比例。2/5/202385層次分析法在彩票抽獎(jiǎng)

方案選擇中的應(yīng)用

2002年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽B題：

已知29種彩票抽獎(jiǎng)方案，要求綜合分析各種獎(jiǎng)項(xiàng)出現(xiàn)的可能性、獎(jiǎng)項(xiàng)和獎(jiǎng)金額的設(shè)置以及對(duì)彩民的吸引力等因素評(píng)價(jià)各方案的合理性，設(shè)計(jì)一種“更好”的方案及相應(yīng)的算法。

2/5/202386

一、問題的提出

已給的29種方案分為兩種類型

1、“傳統(tǒng)型”采用“10選6+1”方案：投注者從0~9十個(gè)號(hào)碼中任選6個(gè)基本號(hào)碼（可重復(fù)），從0~4中選一個(gè)特別號(hào)碼，構(gòu)成一注。根據(jù)單注號(hào)碼與中獎(jiǎng)號(hào)碼相符的個(gè)數(shù)多少及順序確定中獎(jiǎng)等級(jí)；

2/5/202387表1：“傳統(tǒng)型”中獎(jiǎng)辦法中獎(jiǎng)等級(jí)10選6+1（6+1/10）基本號(hào)碼