高中數(shù)學(xué)人教A版第二章基本初等函數(shù)（Ⅰ）指數(shù)函數(shù) 校賽得獎

第3課時指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)（1）一、課前準(zhǔn)備1．課時目標(biāo)（1）了解指數(shù)函數(shù)模型的實(shí)際背景，理解指數(shù)函數(shù)的概念，掌握指數(shù)函數(shù)的圖象．（2）掌握指數(shù)形式的函數(shù)定義域、值域的求法，以及單調(diào)性、奇偶性判斷；（3）重點(diǎn)是指數(shù)函數(shù)的概念和圖象，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，努力培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識．2．基礎(chǔ)預(yù)探1、函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)，其中，是自變量，叫做底數(shù).2、函數(shù)的圖像和性質(zhì)（見表）.圖像性質(zhì)（1）定義域，值域.（2）圖像都過點(diǎn).（3）當(dāng)時，；當(dāng)時，.（3）當(dāng)時，；當(dāng)時，.（4）在上是.（4）在上是.3、指數(shù)函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，則底數(shù)的值是.4、已知，則函數(shù)的圖像必不經(jīng)過象限.二、基本知識習(xí)題化1.函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，則的值為（）.A.1B.2C.1或2D.任意值2.函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)（）.A.B.C.D.3.指數(shù)函數(shù)①，②滿足不等式，則它們的圖象是（）.4.函數(shù)的定義域?yàn)?三、學(xué)習(xí)引領(lǐng)1、一般地，函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)理解指數(shù)函數(shù)的定義，需注意的幾個問題：（1）因?yàn)?，是任意一個實(shí)數(shù)時，是一個確定的實(shí)數(shù)，所以函數(shù)的定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集R；（2）規(guī)定底數(shù)且的理由：如果，當(dāng)時，恒等于0；當(dāng)時，無意義.如果，比如，這時對于等，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)函數(shù)值不存在.如果，是一個常數(shù)，對它就沒有研究的必要.為了避免上述各種情況，所以規(guī)定且.(3)指數(shù)函數(shù)底數(shù)越大時，函數(shù)的圖像在軸右側(cè)部分越遠(yuǎn)離軸，這一性質(zhì)可通過時的函數(shù)值大小去理解.（4）指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)指數(shù)函數(shù)在同一直角坐標(biāo)系中的圖象的相對位置與底數(shù)大小的關(guān)系如圖所示,對應(yīng)關(guān)系為（1），（2），（3），（4）則.在軸右側(cè),圖象從上到下相應(yīng)的底數(shù)由大變小;在軸左側(cè),圖象從下到上相應(yīng)的底數(shù)由大變小,即無論在軸左側(cè)還是右側(cè),底數(shù)按逆時針方向變大.(2)指數(shù)函數(shù)的圖像與的圖象關(guān)于軸對稱（3）指數(shù)函數(shù)（且）的圖象均過定點(diǎn)（我們稱其為“束點(diǎn)”）.即所有指數(shù)函數(shù)的圖象都經(jīng)過束點(diǎn).任何指數(shù)函數(shù)的圖象都在軸的上方，且與軸不相交.（4）當(dāng)?shù)讛?shù)由小變大時，指數(shù)函數(shù)對應(yīng)的圖象好象在繞著束點(diǎn)逆時針方向旋轉(zhuǎn)；（5）、軸和直線把上半坐標(biāo)平面分成了四個區(qū)域：右下區(qū)（Ⅰ區(qū)）、右上區(qū)（Ⅱ區(qū)）、左上區(qū)（Ⅲ區(qū)）、左下區(qū)（Ⅳ區(qū)）.（1）當(dāng)時，指數(shù)函數(shù)的圖象穿過Ⅰ、Ⅲ區(qū)，底數(shù)越小，圖象在Ⅰ區(qū)越靠近軸，在Ⅲ區(qū)越靠近軸；此時，指數(shù)函數(shù)在其定義域內(nèi)單調(diào)減小，即是單調(diào)減函數(shù)，且當(dāng)無限增大時，函數(shù)值無限接近于0；（2）當(dāng)時，指數(shù)函數(shù)的圖象穿過Ⅱ、Ⅳ區(qū)，底數(shù)越大，圖象在Ⅳ區(qū)越靠近軸，在Ⅱ區(qū)越靠近軸；此時，指數(shù)函數(shù)在其定義域內(nèi)單調(diào)增加，即是單調(diào)增函數(shù)，且當(dāng)無限減小時，函數(shù)值無限接近于0.四、典例導(dǎo)析1.有關(guān)指數(shù)函數(shù)的概念：例1指出下列函數(shù)哪些是指數(shù)函數(shù)：（1）；（2）；（3）；（4）且.思路導(dǎo)析：根據(jù)指數(shù)函數(shù)定義進(jìn)行判斷.解析：（1）、（4）為指數(shù)函數(shù)；（2）是與指數(shù)函數(shù)的乘積；（3）底數(shù)不是常數(shù).根據(jù)指數(shù)函數(shù)的概念，它們都不符合指數(shù)函數(shù)的定義.規(guī)律總結(jié)：準(zhǔn)確理解指數(shù)函數(shù)的定義和形式是解好本問題的關(guān)鍵.變式練習(xí)：1.指出下列函數(shù)哪些是指數(shù)函數(shù)：（1）；（2）；（3）；（4）；2.指數(shù)函數(shù)的定義域與值域例2求下列函數(shù)的定義域與值域（1）；（2）；思路導(dǎo)析：由于指數(shù)函數(shù)且的定義域是，所以函數(shù)（且）與函數(shù)的定義域相同.利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求值域.1）由題意得，令得，定義域?yàn)榍?，∴的值域?yàn)榍?（2）由題意得，定義域?yàn)?且.故的值域?yàn)?規(guī)律總結(jié)：求與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的值域時，要注意到充分考慮并利用指數(shù)函數(shù)本身的要求，并利用好指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性.變式練習(xí)：2.求下列函數(shù)的定義域與值域（1）（2）3.指數(shù)函數(shù)的求值問題：例3已知指數(shù)函數(shù)（＞0且≠1）的圖象過點(diǎn)（3，π），求思路導(dǎo)析：要求再把0，1，-3分別代入，即可求得解：將點(diǎn)（3，π），代入，得到，，即，解得：，于是，所以，，.規(guī)律總結(jié)：利用待定系數(shù)法求解函數(shù)的解析式，再利用函數(shù)的解析式求解函數(shù)值，利用解析式研究函數(shù)的性質(zhì)是解決函數(shù)問題的重要途徑.變式練習(xí)：3.函數(shù)（）且，求,,的值.4.指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性：例4用函數(shù)單調(diào)性定義證明a＞1時，y=ax是增函數(shù).設(shè)x1，x2∈R且x1＜x2，并令x2=x1+h(h＞0，h∈R)，則有，∵a＞1，h＞0，∴，∴，即，故y=ax(a＞1)為R上的增函數(shù)，同理可證0＜a＜1時，y=ax是R上的減函數(shù).規(guī)律總結(jié)：對于函數(shù)的單調(diào)性的判定與證明，可利用函數(shù)單調(diào)性的定義，設(shè)且，若，函數(shù)在D上為增函數(shù)，若，函數(shù)在D上為減函數(shù).變式練習(xí)：4.函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù)，則的取值 范圍是五、隨堂練習(xí)1.若集合，，則（）A.B.C. D.2.函數(shù)在上是減函數(shù)，則a的取值范圍（）A. B. C. D.3.函數(shù)在[0，1]上的最大值與最小值的和為3，則（）A. B.2 C.4 D.4.下列各不等式中正確的是（）A. B.C. D.5.函數(shù)的定義域是，值域是.6.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.7.已知，求函數(shù)的值域.六、課后作業(yè)1.函數(shù)的定義域?yàn)椋?，1），則的定義域?yàn)?2.已知函數(shù)的圖象過定點(diǎn).3.求函數(shù)，的值域，并求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.4.已知，（1）求的定義域；（2）求證，.指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)一答案解析一、課前準(zhǔn)備2．基礎(chǔ)預(yù)探1、，2、（1）R，；（2）點(diǎn)，（3）當(dāng)時，，當(dāng)時，.（3）當(dāng)時，；當(dāng)時，.（4）單調(diào)遞增函數(shù)；單調(diào)遞減函數(shù)。3、；4、第一象限。二、基本知識習(xí)題化1.C解析：由題意得.2.D提示：由函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)點(diǎn)，則經(jīng)過點(diǎn)，所以過點(diǎn).3.C提示：根據(jù)函數(shù)圖像的變化趨勢可得圖像C符合題意.4.提示：由題意得.四、典例導(dǎo)析變式練習(xí)變式練習(xí)：1.解析：（3）為指數(shù)函數(shù)；（1）是冪函數(shù)（后面節(jié)中將會學(xué)習(xí)）；（2）底數(shù)，不是指數(shù)函數(shù)；（4）指數(shù)不是自變量，而底數(shù)是的函數(shù)；2.解析：（1）由題意得，定義域?yàn)?≥0，故的值域?yàn)?（2）由題意得，函數(shù)的定義域?yàn)?，則所以的取值為，即，所以，函數(shù)的值域?yàn)?3.解析：由題意，即，解得，所以函數(shù)的解析式為，所以,,.4、解析：當(dāng)時，函數(shù)在上是單調(diào)增函數(shù)，則函數(shù)在為增函數(shù)，所以，故的取值范圍是.五、隨堂練習(xí)1.解析：由，故選A。2.解析：由題意得，故選D。3.解析：由題意得，故選B。4.解析：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，答案D成立5.解析：令，即定義域?yàn)椋涤驗(yàn)椤?.解析：由為減函數(shù)，所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為R；7、解：∵，∴∴，，∴