7.3復(fù)數(shù)的三角表示教材2021-2021學(xué)年高一數(shù)學(xué)人教A必修第二冊(cè)同步高效學(xué)案

111212121111(2)＝21r111212121111(2)＝21r考點(diǎn)復(fù)數(shù)的三角形式復(fù)數(shù)三角形式乘、除運(yùn)算的三角表示及其幾何意義問(wèn)題導(dǎo)學(xué)

7．3*復(fù)的三角表示學(xué)習(xí)目標(biāo)了解復(fù)數(shù)的三角形式，了解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示與三角表示之間的關(guān)系了解復(fù)數(shù)乘、除運(yùn)算的三角表示及其幾何意義

核心素養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算預(yù)習(xí)教材P83－的內(nèi)容，思考以下問(wèn)題：1．復(fù)數(shù)z＝＋bi的角形式是什么？2．復(fù)數(shù)的輻角、輻角的主值是么？3．復(fù)數(shù)三角形式的乘、除運(yùn)算式是什么？4．復(fù)數(shù)三角形式乘、除運(yùn)算的何意義是什么？1．復(fù)數(shù)的三角表示式及復(fù)數(shù)的角和輻角的主值一般地，任何一個(gè)復(fù)數(shù)z＝＋i都以表示(cos

θisin

θ的式，其中是數(shù)z的θ是→→以x軸非負(fù)半軸為始邊，向OZ所在射線(xiàn)射線(xiàn)OZ為終邊的角，叫做復(fù)數(shù)z＝＋i的輻角，我們規(guī)定在0≤π范圍內(nèi)的輻角的為輻角的主值，通常記作z.r(cos

θ＋

θ叫做復(fù)數(shù)z＝＋的角表示式，簡(jiǎn)稱(chēng)三角形式＋叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)表示式，簡(jiǎn)稱(chēng)代數(shù)形式．■名師點(diǎn)撥(1)2(2)(3)0≤≤z2.(4)2．復(fù)數(shù)三角形式的乘、除運(yùn)算若復(fù)數(shù)＝(cos

θ＋isin1

θ)，＝(cos122

θ＋isin2

θ)，且z≠，則212(1)z＝(cos121

θ＋isin1

θ)·(cos12

θ＋isin2

θ)2＝r[cos(＋＋θ＋θ)]z（θisin）z（θisin）222r＝θ－＋θ－θ)]12122

22ππ22ππ即：兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘，積的模等于各復(fù)數(shù)的模的積，積的輻角等于各復(fù)數(shù)的輻角的和．兩個(gè)復(fù)數(shù)相除，商的模等于被除數(shù)的模除以除數(shù)的模所得的商，商的輻角等于被除數(shù)的輻角減除數(shù)的輻角所得的差．判斷正的打“√”，錯(cuò)誤的打“×)(1)復(fù)數(shù)的輻角是唯一的．)(2)＝

θ－isin

θ是復(fù)數(shù)的三角形式．)(3)＝－

θ＋isin

θ是復(fù)數(shù)的三角形式((4)復(fù)數(shù)＝π＋isinπ模是1，角的主值是.(

)答案：××

×(4)√復(fù)數(shù)＝＋三角形式為z＝．解析：＝2cosθ＝

12＝，22又因?yàn)椋珜?duì)的點(diǎn)位于第一象，π所以arg(1＋＝.4ππ所以＋＝2cos＋44

.ππ答案：cos＋isin44

ππ復(fù)數(shù)cos＋的代數(shù)形式為．22ππππ解析：cos＋＝＋6isin＝6i.22答案：ππππ6cos＋×cos＋＝；336ππππ6cos＋÷cos＋＝________．3366ππππ解析：cos＋×cos＋3366＝cos＋＋3

ππ＋36＝ππππ6cos＋÷cos＋33666ππ＝cos－＋isin－43636

3ππ＝cos＋26633＝＋i.44答案：

333＋i4復(fù)數(shù)的代數(shù)形式與三角形式的互化角度一代數(shù)形式化為三角形式把下列復(fù)數(shù)的代數(shù)形式化成三角形式：(1)＋；(2)－2i.【解】(1)＝3＝，因?yàn)?＋對(duì)的在第一象限，所以cos

3πθ＝，θ＝，2ππ所以3＋＝cos＋isin.66(2)＝2＋＝，θ＝

22

，又因?yàn)椋瓕?duì)的點(diǎn)位于第四象限，7π所以θ＝.477π所以2－＝cos＋isin4

.復(fù)數(shù)的代數(shù)形式化三角形式的步(1)(2)(3)(4)[提醒]角度二三角形式化為代數(shù)形式分別指出下列復(fù)數(shù)的模和輻角的主值，并把這些復(fù)數(shù)表示成代數(shù)形式．

3333233332(1)4cos

ππ＋；66(2)

32

(cos60°＋°；(3)2cos

ππ－33

.πππ【】(1)復(fù)數(shù)4cos＋的模4，輻角的主值為＝.6664cos

ππππ＋＝4cos＋66631＝×＋×22＝3＋(2)

33(cos60°＋isin60°的＝，角的主值為θ＝°223313(cos60°＋isin60°＝×＋×i222233＝＋4(3)2cos

ππ－33ππ＝cos2π－＋isin2π33＝

55cosπisinπ5所以復(fù)數(shù)的模＝，輻角的主值為π35552cosπ＋π＝2cosπ2isinπ3313＝×＋×－i2＝－3i.(cos

isin

“下列復(fù)數(shù)是不是復(fù)數(shù)的三角形式？如果不是，把它們表示成三角形式．1ππ(1)cos－；2441ππ(2)－cos＋；23

2.333362.33336363613π3π(3)sin＋；244(4)cos

7π7π＋；551ππ(5)cos＋226

.解：根據(jù)復(fù)數(shù)三角形式的定義可、、(5)不是，是復(fù)數(shù)的三角形式．1π(1)原式＝cos－＋isin－；2441ππ(2)原式＝cosπ＋＋isinπ＋233144π＝cos＋；23313π3π(3)原式＝cos－＋isin－24241π＝cos－＋isin－；2441ππ(5)原式＝cos＋422

復(fù)數(shù)三角形式的乘、除運(yùn)算計(jì)算：(1)8

4cosπ＋isinπ×

5cosπ＋isinπ；6(2)3(cos225°isin°2(cos150°＋isin150°；(3)4÷cos

ππ＋44

.【解】(1)8

45cosπ＋isinπ×cosπ＋isinπ＝cos

445π＋π＋π＋π

＝

1313cosπ＋isinπ6ππ＝cos＋isin66＝

31＋i22

＝＋(2)3(cos225°isin°2(cos150°＋isin150°

244ππ244ππ3312222＝

3[cos(225°150)＋°－°26＝(cos75°isin°26－26＋2＝＋i＝

6－＋3＋8＝

3－33＋3＋i.44(3)4÷cos

ππ＋44ππ＝4(cos＋0)÷cos＋isin44＝cos－＋isin－44＝2－2i.(1)(2)(3)n計(jì)算：(1)2cos

ππ＋；3311(2)2(cos°＋°×－i22

；(3)

1ππ－＋i÷2cos＋2233

.ππ解：(1)cos＋3322＝2cosπ＋isinπ

213＝－＋i22＝－1＋3i.

(2)－i＝－22

＝

277cosπ＋isinπ，24

22552771224412124124＝cosπ＋isinπ÷2cos＋22552771224412124124＝cosπ＋isinπ÷2cos＋cosπ＋isinπ×cos＋11所以2(cos°＋°×－i＝2

cosπisinπ×cosπ＋π＝2×

275cosπ＋π＋isinπ＋π2＝＝

2626π＋isinπ1212ππ＋6631＝＋21322(3)因?yàn)椋溅校玦sinπ2331ππ所以－＋i÷2cos＋223322ππ3331ππ＝cosπ＋isinπ233

1ππ＝cos＋23

13＝＋i.44復(fù)數(shù)三角形式乘、除運(yùn)算的幾何意義π在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)3－應(yīng)的向量分別按逆時(shí)針和順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)求得量對(duì)應(yīng)的3復(fù)數(shù)．【】因?yàn)?－3i＝3

31－i22＝3

1111cosπisinπ66所以2

1111ππ63ππ＝3cosπ＋π636

＝3

1313cosπ＋isinπ66ππ＝3cos＋isin66

23cosπ＋π×cos－＋－12121212212212223cosπ＋π×cos－＋－121212122122122＝cosπ＋isinπ，所1－角的主值為π解析：A.為－＝－i＝＋，1111π6633ππ＝3cosπ＋π636

＝3

33cosπisinπ22＝－23i.ππ故把復(fù)數(shù)3－對(duì)的向量按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的復(fù)數(shù)為3＋3i，按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的復(fù)數(shù)為－3323i.→→→zzzzOO→θOθr→→Oz.333π在復(fù)平面內(nèi)，把與復(fù)數(shù)＋i對(duì)的向量繞原點(diǎn)O按時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，后將其443長(zhǎng)度伸長(zhǎng)為原來(lái)的倍求與所向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)(用代數(shù)形式表示333ππ解：＋i＝cos＋，由題意得44663πππcos＋isin×2cos＋isin26633ππ＝×cos＋＋isin＋636ππ＝cos＋22

＝，即與所得向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為1．復(fù)數(shù)1－的角的主值是5A.π35C.π6

2B.π3πD.3352332．復(fù)數(shù)9(cosπ＋π的是．

4343121243431212答案：3．－．3答案：π24．計(jì)算：(1)(cos°＋°°＋isin°；3(2)2(cos°＋isin°2cosπisinπ.解：°＋isin°15＋isin°＝＋15°＋°15°＝°＋90＝3(2)2(cos°＋isin°2cosπisin4

π

＝

553cosπ＋isinπ÷2cosπisinπ334

＝2cos

5353π－π＋π－π1111＝2cosπ＋isinπ1＋3－＝－＋22[A

基礎(chǔ)131．復(fù)數(shù)－i的角形式是()22ππA．－＋－33

鞏固ππB．cos＋33Ccos

ππ－33

D．

π5π＋31355解析：A.－＝πisinπ223ππ＝2－＋π－33ππ＝－＋isin－.32．復(fù)數(shù)sin°－isin°輻角的主值()A．°

B．40

522π522πC40°

D．°解析：D.sin°－isin140°cos(270°°＋＋140°＝°isin°3．復(fù)數(shù)sin＋4的輻角的主值()3πA．B.－425πCπ4D.－2解析：D.sin4＋＝

π－4＋

5π－4.4．若復(fù)數(shù)cosθ＋isinθsin＋icosθ等，則θ的值()πA.4

ππB.或44ππCπ＋(∈)D．π(k∈Z44解析：D.為cos

θ＋

θ＝

θ＋icos

θ，所以cos

θ＝

θ，即tan

＝，π所以＝＋π，(∈)．45．如果∈

π2

，π，么復(fù)數(shù)＋i)(cos

θ－

)的三角形式(

)A.2cos

9π4

－＋－4B.2[cos(2π－)＋πθC.2cos

4

＋＋

π4

＋D.2cos

3π4

＋＋＋4ππ解析：A.為＋＝2cos＋44

，cos

θ－isin

θ＝π－θ＋θ，所以(1＋i)(cos

θ－isin

θ＝2cos

ππ＋θ＋44

＋π－＝2cos－＋－.446．已知z＝

2π2π＋，則2＝．332π解析：為＝，所以z23

2π4π＝z2×＝.33

ππππ11212112πππππ11212112πππ32π21221212121221224π答案：3π7．把復(fù)數(shù)1＋對(duì)的量按順針?lè)较蛐D(zhuǎn)，得到的向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)________．2ππ解析：＋cos－＋isin－22ππππ＝2cos＋cos－＋－4422＝2cos－＋isin－424ππ＝2cos－＋－＝－44答案：－z8．設(shè)復(fù)數(shù)＝1＋，＝3＋i則的輻角的主值是．z2ππππ解析：題知，＝cos＋，＝cos＋，3366zπππ所以的輻角的主值為－＝.z3662π答案：69．設(shè)復(fù)數(shù)＝3＋，復(fù)數(shù)滿(mǎn)足＝，已知z2的應(yīng)點(diǎn)在虛軸的負(fù)半軸上，且z∈，，求122122z的數(shù)形式．2ππ解：因?yàn)椋?cos＋，設(shè)＝66

＋isin

)，∈，π)，所以z2＝128cos2＋＋2＋.題設(shè)知2＋＝kπ＋(kZ，所以＝π＋k∈)，又α(06662π2π2ππ，所以＝，所以z2cos＋＝＋3i.333－＋－7π10已＝－z－z＝z＝若z在平面內(nèi)分別對(duì)應(yīng)點(diǎn)A且＝2i12求z和z.解：由題設(shè)知＝－，因?yàn)椋?，z－＝2，－7π所以－＝|z－＝＋z－＝z＝z＝，又argz＝，122222222π7π所以＝2cos＋，1212－ππ7π7π5π5πz＝zz＝＋i)＝2cos＋·2cos＋＝2cos＋.44121266[B

能力提升

4cos－θθisinθ－θ（－）（）π4cos－θθisinθ－θ（－）（）π3－22．復(fù)數(shù)＝＋2A．C－2

3π的輻角的主值是，則實(shí)數(shù)a的是)2B－D．3解析：B.因＝＋i)＝a2

3π－＋a，z，2所以，所以a＝1故選B.5πcos2θ＋isinθ12．設(shè)π<，復(fù)數(shù)的角的主值為)A．π－θC

B．－πD．－πcos2＋θcosθ＋θ解析