7.3復數的三角表示教材2021-2021學年高一數學人教A必修第二冊同步高效學案

111212121111(2)＝21r111212121111(2)＝21r考點復數的三角形式復數三角形式乘、除運算的三角表示及其幾何意義問題導學

7．3*復的三角表示學習目標了解復數的三角形式，了解復數的代數表示與三角表示之間的關系了解復數乘、除運算的三角表示及其幾何意義

核心素養(yǎng)數學抽象數學抽象、數學運算預習教材P83－的內容，思考以下問題：1．復數z＝＋bi的角形式是什么？2．復數的輻角、輻角的主值是么？3．復數三角形式的乘、除運算式是什么？4．復數三角形式乘、除運算的何意義是什么？1．復數的三角表示式及復數的角和輻角的主值一般地，任何一個復數z＝＋i都以表示(cos

θisin

θ的式，其中是數z的θ是→→以x軸非負半軸為始邊，向OZ所在射線射線OZ為終邊的角，叫做復數z＝＋i的輻角，我們規(guī)定在0≤π范圍內的輻角的為輻角的主值，通常記作z.r(cos

θ＋

θ叫做復數z＝＋的角表示式，簡稱三角形式＋叫做復數的代數表示式，簡稱代數形式．■名師點撥(1)2(2)(3)0≤≤z2.(4)2．復數三角形式的乘、除運算若復數＝(cos

θ＋isin1

θ)，＝(cos122

θ＋isin2

θ)，且z≠，則212(1)z＝(cos121

θ＋isin1

θ)·(cos12

θ＋isin2

θ)2＝r[cos(＋＋θ＋θ)]z（θisin）z（θisin）222r＝θ－＋θ－θ)]12122

22ππ22ππ即：兩個復數相乘，積的模等于各復數的模的積，積的輻角等于各復數的輻角的和．兩個復數相除，商的模等于被除數的模除以除數的模所得的商，商的輻角等于被除數的輻角減除數的輻角所得的差．判斷正的打“√”，錯誤的打“×)(1)復數的輻角是唯一的．)(2)＝

θ－isin

θ是復數的三角形式．)(3)＝－

θ＋isin

θ是復數的三角形式((4)復數＝π＋isinπ模是1，角的主值是.(

)答案：××

×(4)√復數＝＋三角形式為z＝．解析：＝2cosθ＝

12＝，22又因為＋對的點位于第一象，π所以arg(1＋＝.4ππ所以＋＝2cos＋44

.ππ答案：cos＋isin44

ππ復數cos＋的代數形式為．22ππππ解析：cos＋＝＋6isin＝6i.22答案：ππππ6cos＋×cos＋＝；336ππππ6cos＋÷cos＋＝________．3366ππππ解析：cos＋×cos＋3366＝cos＋＋3

ππ＋36＝ππππ6cos＋÷cos＋33666ππ＝cos－＋isin－43636

3ππ＝cos＋26633＝＋i.44答案：

333＋i4復數的代數形式與三角形式的互化角度一代數形式化為三角形式把下列復數的代數形式化成三角形式：(1)＋；(2)－2i.【解】(1)＝3＝，因為3＋對的在第一象限，所以cos

3πθ＝，θ＝，2ππ所以3＋＝cos＋isin.66(2)＝2＋＝，θ＝

22

，又因為－對的點位于第四象限，7π所以θ＝.477π所以2－＝cos＋isin4

.復數的代數形式化三角形式的步(1)(2)(3)(4)[提醒]角度二三角形式化為代數形式分別指出下列復數的模和輻角的主值，并把這些復數表示成代數形式．

3333233332(1)4cos

ππ＋；66(2)

32

(cos60°＋°；(3)2cos

ππ－33

.πππ【】(1)復數4cos＋的模4，輻角的主值為＝.6664cos

ππππ＋＝4cos＋66631＝×＋×22＝3＋(2)

33(cos60°＋isin60°的＝，角的主值為θ＝°223313(cos60°＋isin60°＝×＋×i222233＝＋4(3)2cos

ππ－33ππ＝cos2π－＋isin2π33＝

55cosπisinπ5所以復數的模＝，輻角的主值為π35552cosπ＋π＝2cosπ2isinπ3313＝×＋×－i2＝－3i.(cos

isin

“下列復數是不是復數的三角形式？如果不是，把它們表示成三角形式．1ππ(1)cos－；2441ππ(2)－cos＋；23

2.333362.33336363613π3π(3)sin＋；244(4)cos

7π7π＋；551ππ(5)cos＋226

.解：根據復數三角形式的定義可、、(5)不是，是復數的三角形式．1π(1)原式＝cos－＋isin－；2441ππ(2)原式＝cosπ＋＋isinπ＋233144π＝cos＋；23313π3π(3)原式＝cos－＋isin－24241π＝cos－＋isin－；2441ππ(5)原式＝cos＋422

復數三角形式的乘、除運算計算：(1)8

4cosπ＋isinπ×

5cosπ＋isinπ；6(2)3(cos225°isin°2(cos150°＋isin150°；(3)4÷cos

ππ＋44

.【解】(1)8

45cosπ＋isinπ×cosπ＋isinπ＝cos

445π＋π＋π＋π

＝

1313cosπ＋isinπ6ππ＝cos＋isin66＝

31＋i22

＝＋(2)3(cos225°isin°2(cos150°＋isin150°

244ππ244ππ3312222＝

3[cos(225°150)＋°－°26＝(cos75°isin°26－26＋2＝＋i＝

6－＋3＋8＝

3－33＋3＋i.44(3)4÷cos

ππ＋44ππ＝4(cos＋0)÷cos＋isin44＝cos－＋isin－44＝2－2i.(1)(2)(3)n計算：(1)2cos

ππ＋；3311(2)2(cos°＋°×－i22

；(3)

1ππ－＋i÷2cos＋2233

.ππ解：(1)cos＋3322＝2cosπ＋isinπ

213＝－＋i22＝－1＋3i.

(2)－i＝－22

＝

277cosπ＋isinπ，24

22552771224412124124＝cosπ＋isinπ÷2cos＋22552771224412124124＝cosπ＋isinπ÷2cos＋cosπ＋isinπ×cos＋11所以2(cos°＋°×－i＝2

cosπisinπ×cosπ＋π＝2×

275cosπ＋π＋isinπ＋π2＝＝

2626π＋isinπ1212ππ＋6631＝＋21322(3)因為－＋＝π＋isinπ2331ππ所以－＋i÷2cos＋223322ππ3331ππ＝cosπ＋isinπ233

1ππ＝cos＋23

13＝＋i.44復數三角形式乘、除運算的幾何意義π在復平面內復數3－應的向量分別按逆時針和順時針方向旋轉求得量對應的3復數．【】因為3－3i＝3

31－i22＝3

1111cosπisinπ66所以2

1111ππ63ππ＝3cosπ＋π636

＝3

1313cosπ＋isinπ66ππ＝3cos＋isin66

23cosπ＋π×cos－＋－12121212212212223cosπ＋π×cos－＋－121212122122122＝cosπ＋isinπ，所1－角的主值為π解析：A.為－＝－i＝＋，1111π6633ππ＝3cosπ＋π636

＝3

33cosπisinπ22＝－23i.ππ故把復數3－對的向量按逆時針旋轉得到的復數為3＋3i，按順時針旋轉得到的復數為－3323i.→→→zzzzOO→θOθr→→Oz.333π在復平面內，把與復數＋i對的向量繞原點O按時針方向旋轉，后將其443長度伸長為原來的倍求與所向量對應的復數(用代數形式表示333ππ解：＋i＝cos＋，由題意得44663πππcos＋isin×2cos＋isin26633ππ＝×cos＋＋isin＋636ππ＝cos＋22

＝，即與所得向量對應的復數為1．復數1－的角的主值是5A.π35C.π6

2B.π3πD.3352332．復數9(cosπ＋π的是．

4343121243431212答案：3．－．3答案：π24．計算：(1)(cos°＋°°＋isin°；3(2)2(cos°＋isin°2cosπisinπ.解：°＋isin°15＋isin°＝＋15°＋°15°＝°＋90＝3(2)2(cos°＋isin°2cosπisin4

π

＝

553cosπ＋isinπ÷2cosπisinπ334

＝2cos

5353π－π＋π－π1111＝2cosπ＋isinπ1＋3－＝－＋22[A

基礎131．復數－i的角形式是()22ππA．－＋－33

鞏固ππB．cos＋33Ccos

ππ－33

D．

π5π＋31355解析：A.－＝πisinπ223ππ＝2－＋π－33ππ＝－＋isin－.32．復數sin°－isin°輻角的主值()A．°

B．40

522π522πC40°

D．°解析：D.sin°－isin140°cos(270°°＋＋140°＝°isin°3．復數sin＋4的輻角的主值()3πA．B.－425πCπ4D.－2解析：D.sin4＋＝

π－4＋

5π－4.4．若復數cosθ＋isinθsin＋icosθ等，則θ的值()πA.4

ππB.或44ππCπ＋(∈)D．π(k∈Z44解析：D.為cos

θ＋

θ＝

θ＋icos

θ，所以cos

θ＝

θ，即tan

＝，π所以＝＋π，(∈)．45．如果∈

π2

，π，么復數＋i)(cos

θ－

)的三角形式(

)A.2cos

9π4

－＋－4B.2[cos(2π－)＋πθC.2cos

4

＋＋

π4

＋D.2cos

3π4

＋＋＋4ππ解析：A.為＋＝2cos＋44

，cos

θ－isin

θ＝π－θ＋θ，所以(1＋i)(cos

θ－isin

θ＝2cos

ππ＋θ＋44

＋π－＝2cos－＋－.446．已知z＝

2π2π＋，則2＝．332π解析：為＝，所以z23

2π4π＝z2×＝.33

ππππ11212112πππππ11212112πππ32π21221212121221224π答案：3π7．把復數1＋對的量按順針方向旋轉，得到的向量對應的復數________．2ππ解析：＋cos－＋isin－22ππππ＝2cos＋cos－＋－4422＝2cos－＋isin－424ππ＝2cos－＋－＝－44答案：－z8．設復數＝1＋，＝3＋i則的輻角的主值是．z2ππππ解析：題知，＝cos＋，＝cos＋，3366zπππ所以的輻角的主值為－＝.z3662π答案：69．設復數＝3＋，復數滿足＝，已知z2的應點在虛軸的負半軸上，且z∈，，求122122z的數形式．2ππ解：因為＝2cos＋，設＝66

＋isin

)，∈，π)，所以z2＝128cos2＋＋2＋.題設知2＋＝kπ＋(kZ，所以＝π＋k∈)，又α(06662π2π2ππ，所以＝，所以z2cos＋＝＋3i.333－＋－7π10已＝－z－z＝z＝若z在平面內分別對應點A且＝2i12求z和z.解：由題設知＝－，因為＝2，z－＝2，－7π所以－＝|z－＝＋z－＝z＝z＝，又argz＝，122222222π7π所以＝2cos＋，1212－ππ7π7π5π5πz＝zz＝＋i)＝2cos＋·2cos＋＝2cos＋.44121266[B

能力提升

4cos－θθisinθ－θ（－）（）π4cos－θθisinθ－θ（－）（）π3－22．復數＝＋2A．C－2

3π的輻角的主值是，則實數a的是)2B－D．3解析：B.因＝＋i)＝a2

3π－＋a，z，2所以，所以a＝1故選B.5πcos2θ＋isinθ12．設π<，復數的角的主值為)A．π－θC

B．－πD．－πcos2＋θcosθ＋θ解析