21.1一元二次方程(簡(jiǎn)答題專練)-2021-2022學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)把關(guān)題分題型專練(人教版)

1121.1一元二方程（簡(jiǎn)答專練-2021-2022年九年級(jí)學(xué)把關(guān)題題型專練（人版）一、解答題．已知x＝一元二次方程a2）x+2）x﹣＝一個(gè)根，求值．【答案】＝﹣【分析】根據(jù)一元二次方程的解的定義將x＝入方程即可求出答案．【詳解】解：將x＝入a）x2+a﹣3）x﹣a+1＝，（﹣2）+（﹣）﹣＝，∴

﹣4＝，∴＝2由于﹣故a﹣【點(diǎn)評(píng)】本題考查一元二次方程的解，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用一元二次方程的解的定義，本題于基礎(chǔ)題型．．把關(guān)于的程

(22

+3x（x+1化為一元二次方程的一般式，并指出二次項(xiàng)，一次項(xiàng)的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)．【答案】二次項(xiàng)為x2一次項(xiàng)系數(shù)為﹣，常數(shù)項(xiàng)為﹣．【分析】解法一：先把分母去掉，即方程兩邊都，再合并得方程的一般式，再根據(jù)一元二次方程的定義指出．解二可直接去括號(hào)，化成一般式元二次方程都要化成整數(shù)系數(shù)可以降低算量【詳解】解：解法一：整理得﹣x+1+6x＝5+5所以x﹣x﹣4＝．二次項(xiàng)為x2一次項(xiàng)系數(shù)為1常數(shù)項(xiàng)為﹣4解法二：整理得：x﹣﹣＝，22

2x2

+3＝，二次項(xiàng)

x2

，一次項(xiàng)系數(shù)為﹣，數(shù)項(xiàng)為．2【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的概念，解答時(shí)要先觀察方程特點(diǎn)，進(jìn)行整理合并．

將程y﹣y﹣y化為一般形（要求二次項(xiàng)系數(shù)為正數(shù)二次項(xiàng)的系數(shù)次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)．【答案】二次項(xiàng)的系數(shù)為，一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)分別是y、﹣．【分析】先把方程整理，根據(jù)整理的方程寫出二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)．【詳解】解：去括號(hào)，得yy2y=1，整理，得y﹣y﹣．所以二次項(xiàng)的系數(shù)為5一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)分別是﹣y、﹣．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的一般形式和二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)及常數(shù)項(xiàng)的定義．解決本的關(guān)鍵是根據(jù)要求把方程化為一元二次方程的一般形式．．當(dāng)取何時(shí)，方程(xx是一元二次方程．【答案】【分析】根據(jù)一元二次方程的定義：只含有一個(gè)未知且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的式方程，列出方程求解即可【詳解】解：由題意可得：解得：，

且1≠0∴當(dāng)時(shí)方程(x

是元二次方程.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的概念．只有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)最高次數(shù)為2的式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax

＋＋c＝0且別要注意條件．這是在做題過程中容易忽視的知識(shí)點(diǎn)．．方程2a—4）x

—2bx+a=0,在么條件下此方程為關(guān)于的元二次方程？在什么件下此方程為關(guān)于x的一元一次方程？【答案】當(dāng)時(shí)此方程為關(guān)于的元二次方程；當(dāng)，，此方程為關(guān)于一元一次方程【分析】原方程是關(guān)于x的元二次程則二次項(xiàng)系數(shù)不為零，是關(guān)于x的元一次方程則二次項(xiàng)系數(shù)為零，一次項(xiàng)系數(shù)不為零．【詳解】解：當(dāng)）-2bx+a=0是于x的元次方程時(shí)，則，解得：；當(dāng)（2a-4x是于x的元一次方程時(shí)，則2a-4=0且2b，得：，≠0.綜上所述，當(dāng)a，此方程為關(guān)于

x

的一元二次方程；當(dāng)a=2，≠0時(shí)此方程為關(guān)于

的一元一次方程【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程和一元一次方程的定義，屬于基礎(chǔ)題，比較簡(jiǎn).．已知關(guān)于x的程(m

x

（1）當(dāng)為值時(shí)是一元一次方程？（2）當(dāng)為值時(shí)是一元二次方程？【答案）或0

（2）【分析）據(jù)一元一次方程的定義，可得答案．（2）根據(jù)一元二次方程的定義求解，知數(shù)的最高次數(shù)是；二次項(xiàng)系數(shù)不為，由這兩個(gè)條件得到相應(yīng)的關(guān)系式，再求解即可．【詳解】解）由題意，得當(dāng)m時(shí)當(dāng)

且m時(shí)m當(dāng)

時(shí)，0．∴當(dāng)

或m，(

x是元次方程．（2）由題意，得

，且，得m2，∴當(dāng)，(

x是元次方程．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的概念．只有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)最高次數(shù)為2的式方程叫做一元二次方程一形式是（且a別要注意a≠0的件這在做題過程中容易忽視的知識(shí)點(diǎn)．．已知兩個(gè)方程x

和

僅一個(gè)相同的根，求p的．【答案】【解析】【分析】設(shè)相同的根為，a入，即可得p，一步求解p即可【詳解】解：設(shè)相同的根為a，題意，得，∴ap．∴

(p

．∴或a．若p，則方程有兩個(gè)相同的根，不符合題意．∴a．把a(bǔ)代x得pq

．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查對(duì)一元二次方程的解的定義的理解和掌握，能根據(jù)方程的特點(diǎn)進(jìn)行代入算是解此題的關(guān)鍵．．若0和

均是關(guān)于的程2bx

的根，求b

與

的值．【答案】【分析】根據(jù)一元二次方程的解的定義，分別x=0和x=-3,入xbx0

得到關(guān)于和c的程，然

2222后解方程即可得到與c的．【詳解】解：將x和代入方程，得解b0,0.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的解的概念：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值一元二次方程的解．．已知是于的程

的個(gè)根，求a

a2a

的值．【答案】2【分析】把x＝2代方程，即可得到一個(gè)關(guān)于a的方程，從而求得a的．然后將所求代數(shù)式化簡(jiǎn)，再代入求值即可．【詳解】解：將x＝代方程，得2解得＝2，

，當(dāng)a2

時(shí)，

42

2

．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了方程的解的定義．此類題型的特點(diǎn)是：利用方程解的定義找到相等關(guān)，再把所求的代數(shù)式化簡(jiǎn)后整理出所找到的相等關(guān)系的形式，再把此相等關(guān)系整體代入所求代數(shù)式，即求出代數(shù)式的值．．知

m

m

．(1)試問：2的能否等于2？請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)求

m

的值．【答案】(1)不能；(2)2．【分析）m2

代入原式，左右兩邊不等，即可得到結(jié)論；（2）原式變形后分①

0

，②m

兩種情況討論即可．【詳解）等式變形得m若m

，即m2

時(shí)，等式左=2+1）=3等式右5×（2-1）=

2

．∵左邊右，∴m2的不等于．（2）2m2①當(dāng)

-1=0，即

=1時(shí)

m

；②當(dāng)

-時(shí)5

．當(dāng)=0，左邊，右邊=，m，

，∴m

2

1m

2

23．

綜上所述：m

m

的值為或．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式的混合運(yùn)算及代數(shù)式求值．解題的關(guān)鍵是分類討論．11把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并寫出它的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)．（1）(x36；（2）

3y

．【答案）x

x

，1，（）3

y，，，【分析）用完全平方公式首先去括號(hào)移項(xiàng)進(jìn)而整理為一元二次方程的一般形式得出各項(xiàng)系數(shù)；（2）去括號(hào)移項(xiàng)進(jìn)而整理為一元二次程的一般形式得出各項(xiàng)系.【詳解】解）去括號(hào)，得225

．移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得x

．∴它的二次項(xiàng)系數(shù)為1一次項(xiàng)系數(shù)為，常數(shù)項(xiàng)為．（2）去括號(hào)，得y

y．移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得3

y∴它的二次項(xiàng)系數(shù)為3一次項(xiàng)系數(shù)為，常數(shù)項(xiàng)為

．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了一元二次方程的一般形式，正確化簡(jiǎn)得出一般形式是解題關(guān)鍵．．知關(guān)于的兩個(gè)一元二次方程：k方程①：(1)

kx

；方程②：x2+）x﹣2k．（1若方程①有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求k的（2若方程①和②只有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根，請(qǐng)說(shuō)明此時(shí)哪個(gè)方程沒有實(shí)數(shù)根．（3若方程①和②有一個(gè)公共根，求代數(shù)式（a2﹣2）的．【答案）k=﹣）明見解析）；【解析】kk【分析）據(jù)一元二次方程的定義和判別式的意義得到1+且eq\o\ac(△,1)eq\o\ac(△,)，k+22（1+（）=0，求出k的值即可2）計(jì)算第2個(gè)程的判別式得eq\o\ac(△,2)eq\o\ac(△,)（2k+32+40，利用判別式的意義可判斷方程②總有實(shí)數(shù)根，于是可判斷此時(shí)方程①?zèng)]有實(shí)數(shù)根）設(shè)是程①和②的公共根，利用方程解的定義k得到（1+）+k+2）a-1=0③

（）a-2k-3=0，利用③（）2（）﹣⑤，由⑤④得（）+）﹣2k=5然后利用整體代入的方法計(jì)算代數(shù)式的值．

11【詳解）方程①有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴1

k

，，則k﹣2eq\o\ac(△,1)eq\o\ac(△,)=b﹣（）2

k﹣41+）×（1）+4k+4+4+2k=k2，則（）=0∴k=2，k=﹣，∵﹣，∴k=4；（2）∵eq\o\ac(△,2)eq\o\ac(△,)=）4×1×﹣﹣）2（2k+3）＞0∴無(wú)論k為值時(shí)，方程②總有實(shí)數(shù)根，∵方程①、②只有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根，∴此時(shí)方程①?zèng)]有實(shí)數(shù)根．（3）根據(jù)方程①和②的公共根，k∴(1)a

③2（）﹣2k﹣3=0④，∴③得）a+）2=0⑤，⑤④得）a2

（4k+5a，代數(shù)式=（a2﹣2）2+5a=）

（4k+5）﹣2k=5．故代數(shù)式的值為5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根的判別式：利用一元二次方程根的判別式（eq\o\ac(△,=b)eq\o\ac(△,)-4ac）判斷方的根的情況．一元二次方程

（≠0）的根與△=b2-4ac有下關(guān)系：eq\o\ac(△,當(dāng))0時(shí)方程有兩個(gè)不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)eq\o\ac(△,)時(shí)方程有兩個(gè)相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)△，方程無(wú)實(shí)數(shù)根．．元二次方程

ax2

化為一般形式后為

，試求

c

的值．【答案】

【分析】把原方程展開，化為一般形式，與已知方程系數(shù)對(duì)應(yīng)相等，求出、b、c的，計(jì)算得到答案．【詳解】解：原方程可化為：ax2（2abx＋?b＋c＝0，由題意得，＝，2ab＝，?b＝，解得：＝，b＝1，c＝2，∴

2c

．

1212【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是一元二次方程的一般形式，運(yùn)用完全平方公式和合并同類項(xiàng)的方法正確形是解題的關(guān)鍵，注意系數(shù)對(duì)應(yīng)相等的運(yùn)用．．是程+－＝0的一個(gè)根，求代數(shù)式3m2值．【答案】2020．【分析】根據(jù)一元二次方程的解的定義，將x=m代已知方程求得m）=1；然后將所求的代數(shù)式轉(zhuǎn)化為含有（m+1）的代數(shù)式，并代入值即可．【詳解】解：根據(jù)題意，得m0∴

，或（m+1），∴

2019

．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了方程的解的定義．方程的根即方程的解，就是能使方程左右兩邊相等未知數(shù)的值．．題時(shí)，最容易想到的方法未必是最簡(jiǎn)單的，你可以再想一想，盡優(yōu)化解法．例題呈現(xiàn)關(guān)于x的程＋2

＋b的解是x＝，x＝（、、為常數(shù)a方＋m2)2＝0的解是．解法探討（1）小明的思路如圖所示，請(qǐng)你按照的思路解決這個(gè)問題；小明的思路第1步把1－入到第個(gè)方程中求出值；第2步把值代入到第方程中求出

的值；第3步解第個(gè)方程．（2）小紅仔細(xì)觀察兩個(gè)方程，她把第方程a(x＋m2b＝0中“＋看作第1個(gè)方程中“”，則“x＋的值為，而更簡(jiǎn)單地解決了問．策略運(yùn)用（3）小明和小紅認(rèn)真思考后發(fā)現(xiàn)，利方程結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)，無(wú)需計(jì)根的判別”就輕松解決以下問題，請(qǐng)用他們說(shuō)的方法完成解答．已知方程2

)x＋2

－2c

2

)x＋2c

－＝0有個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，其中abc是三的長(zhǎng)判

12121112121121212111212112斷△ABC的狀【答案）＝－1，＝（）1或－（）直角三角形【分析）據(jù)題意利用待定系數(shù)法求解即（2）把后面一個(gè)方程中的作整體，相當(dāng)于前面一個(gè)方程中的求解．（3）先根據(jù)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，再據(jù)根于系數(shù)的關(guān)系列出方程，找到a、、的系，從而判斷三形的形狀．【詳解）：將x＝1，x＝2代到方程a(x＋＋b＝0中得

，∴

＋＝－，解得

m

12∴

a(＋＋b＝．2∴－＝4第2個(gè)方程可變形為＋＋＝－，2a9即(x2，4解得：x＝，x＝（2）關(guān)于x的方程a（x+m）

+b=0的是x，x，mb均為常數(shù)，（3）解：∵(a－2b

)＋(2b

－2c2＋(2c2

)＝，∴∴∴∴

方程必有一根是x＝方程的兩根為x＝＝．xx＝＝．a(chǎn)22＋c．∴△是一個(gè)直角三角形【點(diǎn)評(píng)】此題考查根的判別式，勾股定理逆定理，一元二次方程的解，解題關(guān)鍵在于掌握運(yùn)算．中學(xué)數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)關(guān)于的方程mx

x提出了下列問題（1）是否存在（2）是否存在

m

的值，使方程為一元二次方程？若存在，求出的值，使方程為一元一次方程？若存在，求出

m

的值；的值，并解此方程．

【答案）1

（2）mx

【分析）據(jù)一元二次方程的定義可得可得m的；（2）當(dāng)m或m+1=0方程為一元一次方程，求出m的，進(jìn)一步解方程即可．【詳解】解）根據(jù)一元二次方程的定義，得解得m．

22,（2）由題可知，當(dāng)0,

即m時(shí)，方程為一元次方程．此時(shí)方程為，得x當(dāng)

即方程為一元一次方程，此時(shí)方程為，得x．【點(diǎn)評(píng)本題主要考查一元二次程和一元一次方程的定義容易漏掉情況應(yīng)慮全面．．是元二次程x（1）求的；

的個(gè)數(shù)根．（2）不解方程，求代數(shù)式【答案）a

m

的值．【分析）據(jù)一元二次方程的定義得到|a|

，即可求解；（2）利用方程的解得到m0，出mm2

和m

，再整體代入原式即可求解．【詳解）于x所以|a|，解得；

是于的元二次方程，（2）由（）知，該方程為x20

，把x代入，得0所以mm2，①

，由m

，得

，所以m

，②

得得把①和②代入mm

，m

，即mm

．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二方程的定義，一元二方程的解以及求代數(shù)式的值，利用一元二方程解求得m

m2

和

是解題的關(guān)鍵．．知m是程x

2016的一個(gè)根，試求m2015

m

的值【答案】【分析先根據(jù)一元二次方程的的定義得到m2016m再利用整體思想進(jìn)行計(jì)算．

變形有22016m

，【詳解】解：∵是程

2016x的個(gè)根，代入即得2

∴m

2016m

∴2m

20161m2mm2m2mm2016

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的解的定義，解題的關(guān)鍵是適當(dāng)選擇整體代入法，使得解答得簡(jiǎn).．一元二次方程x2-2ax+b=0中，2

，稱該方程的中點(diǎn).（1）方程x

-8x+3=0的點(diǎn)值是；（2）已知x

的點(diǎn)值是，其中一個(gè)根是，求的.【答案】；【分析】(1)根據(jù)中點(diǎn)值的定義進(jìn)行求解可；(2)根據(jù)中點(diǎn)值的定義可求得的，再將方程的根代入方程可求得的，由此即可求得答案.【詳解】(1)

x

8x

，x2

-2×4x+3=0，

-3=13>0所以中點(diǎn)值為4，故答案為；(2)由中點(diǎn)值的定義得：

m

，

，

x

6x

，將x代方程，得：，，48.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的根，新定義，弄懂新定義是解題的關(guān).．索一元二次方程x近似解．（1）2x所以（2）

0.511.52

x所以

________通過以上探索，估計(jì)方程解的整數(shù)部分，分為_．【答案）解析）見解析【分析將表中x的值代入x2進(jìn)行計(jì)算即補(bǔ)全表格根表格中的數(shù)據(jù)不難確定方程的解的整數(shù)部分；（2）與（）同理可補(bǔ)全（）中的表格，從而確定方程的解的小數(shù)部分的十分位，問題即可解.【詳解）表中x=1,x=1.5,x=2的代入+12x-15,別進(jìn)行計(jì)算，補(bǔ)全表格如下：x

0.5

1.5

x2

－15

－

－2

所以：

；（2）將x=1.1，x=1.2，x=1.3代

，別進(jìn)行算，補(bǔ)全表格如下：x

1.1

1.2

1.3

1.4x2

－

所以＜＜

通過以上探索，估計(jì)方程的近似解的整數(shù)部分為，十分位為【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是估算一元二次方程的近似解的知識(shí)，旨在考查學(xué)生的估算能通過解答本題復(fù)習(xí)鞏固了求一元二次方程的近似解的步．方程xx0

的一個(gè)根，求

的值．【答案】

23

．【分析】把代原方程，得到關(guān)于的一元二次方程，+1=0，化簡(jiǎn)得到+=5,入直接求值即可．【詳解】由題意得，0

，則．

0

兩邊同除以，

0

，所以

，兩邊同時(shí)平方，得(

)

，所以

，所以

23

．【點(diǎn)評(píng)】代數(shù)式中的字母表示的數(shù)沒有明確告知，而是隱含在題設(shè)中，首先應(yīng)從題設(shè)中獲取代的值，然后利用整體代入法求數(shù)式的值．

．程(m

x．（1）取值時(shí)，方程是一元二方程，并求此方程的解；（2）取值時(shí)，方程是一元一方程．【答案）－4，x=±1）=2或m=0或m=－2或=1或m=－【分析）據(jù)一元二次方程的定義得到m2≠0且

，解答即可；（2）根據(jù)一元一次方程的定義得到－2=0或

或

且2m≠0．【詳解題意得m2≠0且

解=－4此時(shí)方程為

解x=±即當(dāng)=，它是一元二次方程，方程的解為x=±．（2）依題意得－，或

或

且2m，解得m=2或m=0或=2或m=1或m－3．即當(dāng)=2或=0m=－2或m或=3時(shí)它是一元一次方程．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元一次方程和一元二次方程的定義，屬于基礎(chǔ)題，掌握定義即可正確解該題．

．知方程(xm．（1）當(dāng)為值時(shí)，它是一元二次方程？（2）當(dāng)m為值時(shí)，它是一元一次方程？【答案）m

（2）或m【分析）據(jù)一元二次方程的定義解答本題；（2）根據(jù)一次方程的定義可解答本題【詳解