高中數(shù)學人教A版1本冊總復習總復習 市獲獎

2023學年山西省運城市高二（上）期末數(shù)學試卷（文科）一、選擇題（本大題12小題，沒小題5分，滿分60分）1．已知命題p：存在x∈R，使得ex＞x，則￢p為（）A．￢p：存在x∈R，使得ex＜xB．￢p：任意x∈R，總有ex＜xC．￢p：存在x∈R，使得ex≤xD．￢p：任意x∈R，總有ex≤x2．雙曲線x2﹣=1的漸近線方程為（）A．y=±4xB．y=±2xC．y=±D．y=±x3．下列求導正確的是（）A．（）′=B．（log2x）′=C．（3x+1）′=x?3x﹣1+1D．（cosx）′=sinx4．命題“若a＞b，則ac2＞bc2（a，b∈R）”與它的逆命題、否命題、逆否命題中，真命題的個數(shù)為（）A．4B．3C．2D．05．“a=﹣2”是“直線ax+2y=0垂直于直線x+y=1”的（）A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．既不充分也不必要條件D．充要條件6．過M（1，2）作直線與拋物線y2=8x，有且只有一個公共點，這樣的直線有（）條．A．1B．2C．3D．47．當x=2時，函數(shù)f（x）=ax3﹣bx+4有極值﹣，則函數(shù)的解析式為（）A．f（x）=x3﹣4x+4B．f（x）=x2+4C．f（x）=3x3+4x+4D．f（x）=3x3﹣4x+48．若θ是任意實數(shù)，則方程x2﹣4y2cosθ=1所表示的曲線一定不是（）A．拋物線B．雙曲線C．橢圓D．圓9．已知函數(shù)y=﹣xf′（x）的圖象如圖（其中f′（x）是函數(shù)f（x）的導函數(shù)），下面四個圖象中，y=f（x）的圖象可能是（）A．B．C．D．10．已知拋物線x2=2py（p＞0），斜率為1的直線交拋物線于A，B兩點，若線段AB中點的橫坐標為2，則該拋物線的準線方程為（）A．y=﹣1B．y=1C．y=﹣2D．y=211．P為橢圓上一點，F(xiàn)1、F2為該橢圓的兩個焦點，若∠F1PF2=60°，則?等于（）A．3B．C．2D．212．已知f（x）=，若直線y=kx﹣與f（x）的圖象有三個公共點，則實數(shù)k的取值范圍是（）A．（﹣，+∞）B．（0，+∞）C．（﹣，+∞）D．（﹣3，﹣）∪（﹣，+∞）二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13．橢圓+=1上一點P到它的一個焦點的距離等于3，那么點P到另一個焦點的距離等于．14．已知p：x≤1，q：x≤2a﹣1，若p是q的充分條件，則實數(shù)a的取值范圍是．15．若函數(shù)f（x）=2x2﹣klnx在（1，+∞）上是增函數(shù)，則實數(shù)k的取值范圍是．16．如圖，F(xiàn)1和F2分別是雙曲線的兩個焦點，A和B是以O(shè)為圓心，以|OF1|為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個交點，且△F2AB是等邊三角形，則雙曲線的離心率為．三、解答題（本大題共6小題，共70分）17．已知p：“方程﹣=1”表示雙曲線；q：“關(guān)于x的方程x2﹣mx+1=0沒有實數(shù)根”．若“￢p”和“p∨q”都是真命題，求m的取值范圍．18．已知函數(shù)f（x）=（x2+x﹣1）ex（x∈R）．（1）求曲線f（x）在（1，f（1））處的切線方程；（2）求函數(shù)f（x）的極值．19．已知圓P與直線x=﹣1相切，且經(jīng)過（1，0），設(shè)點P的軌跡為曲線C．（1）求曲線C的方程；（2）點A的坐標為（2，1），點B在曲線C上運動，求線段AB中點的軌跡方程．20．某物理實驗室做實驗，需要一個體積為72m3的長方體封閉紙盒．若紙盒底面一邊的長是另一邊長的2倍，S表示紙盒的表面積，x表示紙盒底面上較短的邊長．（1）試寫出S與x間的函數(shù)關(guān)系式；（2）當x取什么值時，做一個這樣的長方體紙盒用紙盒最少？（值得厚度忽略不計）21．已知橢圓M：+=1（a＞b＞0）的左焦點為F1（﹣1，0），且長軸長是短軸長的倍．（1）求橢圓M的方程；（2）若斜率為的直線l與橢圓M位于x軸上方的部分交于C，D兩點，過C，D兩點分別做CE，DF垂直x軸于E，F(xiàn)兩點，若四邊形CEFD的面積為，求直線l的方程．22．已知函數(shù)f（x）=2（a+1）lnx﹣ax，g（x）=x2﹣x．（1）若a≥0，試判斷f（x）在定義域內(nèi)的單調(diào)性；（2）證明：若﹣1＜a＜7，則對任意x1，x2∈（1，+∞），且x1＞x2，有＞﹣1．

2023學年山西省運城市高二（上）期末數(shù)學試卷（文科）參考答案與試題解析一、選擇題（本大題12小題，沒小題5分，滿分60分）1．已知命題p：存在x∈R，使得ex＞x，則￢p為（）A．￢p：存在x∈R，使得ex＜xB．￢p：任意x∈R，總有ex＜xC．￢p：存在x∈R，使得ex≤xD．￢p：任意x∈R，總有ex≤x【分析】根據(jù)已知中原命題，結(jié)合特稱命題否定的方法，可得答案．【解答】解：∵命題p：存在x∈R，使得ex＞x，則￢p為：任意x∈R，總有ex≤x．故選：D【點評】本題考查的知識點特稱命題的命題，難度不大，屬于基礎(chǔ)題．2．雙曲線x2﹣=1的漸近線方程為（）A．y=±4xB．y=±2xC．y=±D．y=±x【分析】由雙曲線﹣=1（a，b＞0），可得漸近線方程y=±x，求得雙曲線的a，b，即可得到所求漸近線方程．【解答】解：由雙曲線﹣=1（a，b＞0），可得漸近線方程y=±x，雙曲線x2﹣=1的a=1，b=2，可得漸近線方程為y=±2x．故選：B．【點評】本題考查雙曲線的漸近線方程的求法，注意運用雙曲線的方程和漸近線方程的關(guān)系，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題．3．下列求導正確的是（）A．（）′=B．（log2x）′=C．（3x+1）′=x?3x﹣1+1D．（cosx）′=sinx【分析】根據(jù)函數(shù)的導數(shù)公式進行判斷即可．【解答】解：（）′=﹣，故A錯誤，（log2x）′=，故B正確，（3x+1）′=3xln3，故C錯誤，（cosx）′=﹣sinx，故D錯誤，故選：B．【點評】本題主要考查函數(shù)導數(shù)公式的判斷，要求熟練掌握掌握常見函數(shù)的導數(shù)公式，比較基礎(chǔ)．4．命題“若a＞b，則ac2＞bc2（a，b∈R）”與它的逆命題、否命題、逆否命題中，真命題的個數(shù)為（）A．4B．3C．2D．0【分析】根據(jù)逆否命題的等價關(guān)系，只需要判斷原命題與逆命題的真假即可．【解答】解：若a＞b，c=0，則ac2=bc2．∴原命題為假；∵逆否命題與原命題等價，∴逆否命題也為假；若ac2＞bc2，則c2≠0且c2＞0，則a＞b．∴逆命題為真；又∵逆命題與否命題等價，∴否命題也為真；綜上，四個命題中，真命題的個數(shù)為2．故選：C．【點評】根據(jù)命題的等價關(guān)系，四個命題中，真（假）命題的個數(shù)必為偶數(shù)個．5．“a=﹣2”是“直線ax+2y=0垂直于直線x+y=1”的（）A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．既不充分也不必要條件D．充要條件【分析】直線ax+2y=0垂直于直線x+y=1，可得﹣×（﹣1）=﹣1，解出即可得出．【解答】解：∵直線ax+2y=0垂直于直線x+y=1，∴﹣×（﹣1）=﹣1，解得a=﹣2．∴“a=﹣2”是“直線ax+2y=0垂直于直線x+y=1”的充要條件，故選：D．【點評】本題考查了充要條件的意義、直線垂直與斜率的關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．6．過M（1，2）作直線與拋物線y2=8x，有且只有一個公共點，這樣的直線有（）條．A．1B．2C．3D．4【分析】先驗證點M（1，2）在拋物線y2=8x上，進而根據(jù)拋物線的圖象和性質(zhì)可得到答案．【解答】解：由題意可知M（1，2）在拋物線y2=8x上，故過點M（1，2）且與拋物線y2=8x只有一個公共點時只能是i）過M（1，2）且與拋物線y2=8x相切；ii）過M（1，2）且平行與對稱軸．∴過M（1，2）且與拋物線y2=8x有且只有一個公共點的直線有1+1=2條．故選：B．【點評】本題主要考查拋物線的基本性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題．解題時要認真審題，仔細解答7．當x=2時，函數(shù)f（x）=ax3﹣bx+4有極值﹣，則函數(shù)的解析式為（）A．f（x）=x3﹣4x+4B．f（x）=x2+4C．f（x）=3x3+4x+4D．f（x）=3x3﹣4x+4【分析】先對函數(shù)進行求導，然后根據(jù)f（2）=﹣．f′（2）=0可求出a，b的值，進而確定函數(shù)的解析式．【解答】解：f（x）=ax3﹣bx+4，f′（x）=3ax﹣b，在x=2處取極值，∴f′（2）=0，4a﹣b=0，①f（2）=﹣，8a﹣2b+4=﹣②聯(lián)立①②解得：f（x）=x3﹣4x+4，故答案選：A．【點評】本題主要考查函數(shù)的極值與其導函數(shù)之間的關(guān)系，是高考的熱點問題，每年必考，要給予充分重視，屬于中檔題．8．若θ是任意實數(shù)，則方程x2﹣4y2cosθ=1所表示的曲線一定不是（）A．拋物線B．雙曲線C．橢圓D．圓【分析】由θ的范圍可得﹣4cosθ的取值范圍，然后對其分類可得方程x2﹣4y2cosθ=1所表示的曲線．【解答】解：∵θ是任意實數(shù)，∴﹣4cosθ∈[﹣4，4]，當﹣4cosθ=1時，方程x2﹣4y2cosθ=1所表示的曲線是圓；當﹣4cosθ＞0且不等于1時，方程x2﹣4y2cosθ=1所表示的曲線是橢圓；當﹣4cosθ＜0時，方程x2﹣4y2cosθ=1所表示的曲線是雙曲線；當﹣4cosθ=0時，方程x2﹣4y2cosθ=1所表示的曲線是兩條直線．∴方程x2﹣4y2cosθ=1所表示的曲線一定不是拋物線．故選：A．【點評】本題考查曲線與方程，考查了圓錐曲線的標準方程，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想方法，是基礎(chǔ)題．9．已知函數(shù)y=﹣xf′（x）的圖象如圖（其中f′（x）是函數(shù)f（x）的導函數(shù)），下面四個圖象中，y=f（x）的圖象可能是（）A．B．C．D．【分析】根據(jù)函數(shù)y=﹣xf′（x）的圖象，依次判斷f（x）在區(qū)間（﹣∞，﹣1），（﹣1，0），（0，1），（1，+∞）上的單調(diào)性即可．【解答】解：由函數(shù)y=﹣xf′（x）的圖象可知：當x＜﹣1時，﹣xf′（x）＞0，f′（x）＞0，此時f（x）增；當﹣1＜x＜0時，﹣xf′（x）＜0，f′（x）＜0，此時f（x）減；當0＜x＜1時，﹣xf′（x）＞0，f′（x）＜0，此時f（x）減；當x＞1時，﹣xf′（x）＜0，f′（x）＞0，此時f（x）增．綜上所述，y=f（x）的圖象可能是B，故選：B．【點評】本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關(guān)系，同時考查了分類討論的思想，屬于基礎(chǔ)題．10．已知拋物線x2=2py（p＞0），斜率為1的直線交拋物線于A，B兩點，若線段AB中點的橫坐標為2，則該拋物線的準線方程為（）A．y=﹣1B．y=1C．y=﹣2D．y=2【分析】設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）．由于直線斜率為1，可得方程為y=x+t．與拋物線的方程聯(lián)立，化為關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系和中點坐標公式可得p，即可得到拋物線的準線方程．【解答】解：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）．由于直線斜率為1，可得方程為y=x+t，聯(lián)立，化為x2﹣2px﹣2pt=0，∴x1+x2=2p=2×2，解得p=2．∴拋物線的準線方程為y=﹣1．故選：A．【點評】本題考查了拋物線的標準方程及其性質(zhì)、根與系數(shù)的關(guān)系和中點坐標公式，屬于中檔題．11．P為橢圓上一點，F(xiàn)1、F2為該橢圓的兩個焦點，若∠F1PF2=60°，則?等于（）A．3B．C．2D．2【分析】利用橢圓的定義、余弦定理和數(shù)量積運算即可得出．【解答】解：由橢圓的方程可得焦點F1（﹣1，0），F(xiàn)2（1，0），設(shè)|PF1|=m，|PF2|=n，由橢圓的定義可得m+n=4，由∠F1PF2=60°，利用余弦定理可得（2c）2=m2+n2﹣2mncos60°，∴m2+n2﹣mn=4，聯(lián)立，化為mn=4．∴?=mncos60°==2．故選：D．【點評】本題考查了橢圓的定義、余弦定理和數(shù)量積運算，屬于中檔題．12．已知f（x）=，若直線y=kx﹣與f（x）的圖象有三個公共點，則實數(shù)k的取值范圍是（）A．（﹣，+∞）B．（0，+∞）C．（﹣，+∞）D．（﹣3，﹣）∪（﹣，+∞）【分析】先畫出f（x）的圖象，由圖象可知，y=kx﹣過定點（﹣，0），當k≥0時，由圖象可知，有三個交點，當k＜0時，設(shè)直線y=kx﹣與f（x）=x3﹣3x的切點坐標為（x0，y0），利用導數(shù)的幾何意義求出k的值，再根據(jù)斜率公式求出k，繼而求出k的值，有圖象可知k的范圍．【解答】解：畫出f（x）=的圖象，如圖所示，∵y=kx﹣過定點（﹣，0），當k≥0時，由圖象可知，有三個交點，當k＜0時，設(shè)直線y=kx﹣與f（x）=x3﹣3x的切點坐標為（x0，y0），∴f′（x）=3x2﹣3，∴f′（x0）=3x02﹣3=k=，即3x03﹣3x0=y0+∵y0=x03﹣3x0，∴3x03﹣3x0=x03﹣3x0+，解得x0=，∴k=3x02﹣3=﹣，∴﹣＜k＜0時，也有三個交點，綜上所述，k的取值范圍為（﹣，+∞）．故選：A．【點評】本題主要考查函數(shù)的圖象的交點以及數(shù)形結(jié)合方法，數(shù)形結(jié)合是數(shù)學解題中常用的思想方法，本題由于使用了數(shù)形結(jié)合的方法，使得問題便迎刃而解，且解法簡捷，屬于中檔題．二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13．橢圓+=1上一點P到它的一個焦點的距離等于3，那么點P到另一個焦點的距離等于5．【分析】先根據(jù)條件求出a=4；再根據(jù)橢圓定義得到關(guān)于所求距離d的等式即可得到結(jié)論．【解答】解：設(shè)所求距離為d，由題得：a=4．根據(jù)橢圓的定義得：2a=3+d?d=2a﹣3=5．故答案為：5．【點評】本題主要考查了橢圓的性質(zhì)，此類型的題目一般運用圓錐曲線的定義求解，會使得問題簡單化．屬基礎(chǔ)題．14．已知p：x≤1，q：x≤2a﹣1，若p是q的充分條件，則實數(shù)a的取值范圍是a≥1．【分析】由p是q的充分條件，可得1≤2a﹣1，解出即可得出．【解答】解：∵p是q的充分條件，∴1≤2a﹣1，解得a≥1．故答案為：a≥1．【點評】本題考查了充分條件的意義，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．15．若函數(shù)f（x）=2x2﹣klnx在（1，+∞）上是增函數(shù)，則實數(shù)k的取值范圍是k≤4．【分析】求出函數(shù)的定義域，求出函數(shù)的導數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為4x2﹣k≥0在[1，+∞）恒成立，求出k的范圍即可．【解答】解：f（x）=2x2﹣klnx的定義域是（0，+∞），f′（x）=4x﹣=，若函數(shù)f（x）=2x2﹣klnx在（1，+∞）上是增函數(shù)，只需4x2﹣k≥0在[1，+∞）恒成立，即k≤4x2在[1，+∞）恒成立，故k≤4，故答案為：k≤4．【點評】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導數(shù)的應用，函數(shù)恒成立問題，是一道基礎(chǔ)題．16．如圖，F(xiàn)1和F2分別是雙曲線的兩個焦點，A和B是以O(shè)為圓心，以|OF1|為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個交點，且△F2AB是等邊三角形，則雙曲線的離心率為．【分析】連接AF1，根據(jù)△F2AB是等邊三角形可知∠AF2B=30°，F(xiàn)1F2是圓的直徑可表示出|AF1|、|AF2|，再由雙曲線的定義可得c﹣c=2a，即可得到離心率的值．【解答】解：連接AF1，則∠F1AF2=90°，∠AF2B=30°∴|AF1|=，|AF2|=|F1F2|=c，∴c﹣c=2a，∴e==1+故答案為1+【點評】本題主要考查雙曲線的基本性質(zhì)﹣﹣離心率的求法．考查基礎(chǔ)知識的靈活應用．三、解答題（本大題共6小題，共70分）17．已知p：“方程﹣=1”表示雙曲線；q：“關(guān)于x的方程x2﹣mx+1=0沒有實數(shù)根”．若“￢p”和“p∨q”都是真命題，求m的取值范圍．【分析】分別判斷出p，q的真假，從而判斷出復合命題的真假即可．【解答】解：p：“方程﹣=1”表示雙曲線，∴m＞0；q：“關(guān)于x的方程x2﹣mx+1=0沒有實數(shù)根”，△=m2﹣4＜0，解得：﹣2＜m＜2，∴q：﹣2＜m＜2，又“￢p”和“p∨q”都是真命題，∴p是假命題且q是真命題，∴，解得：﹣2＜m≤0，∴m的范圍是（﹣2，0]．【點評】本題考查了復合命題的判斷，考查二次函數(shù)性質(zhì)以及雙曲線問題，是一道基礎(chǔ)題．18．已知函數(shù)f（x）=（x2+x﹣1）ex（x∈R）．（1）求曲線f（x）在（1，f（1））處的切線方程；（2）求函數(shù)f（x）的極值．【分析】（1）求導，f′（1）=4e，直線斜率為4e，且過點（1，e），利用點斜式方程，求得切線方程；（2）先求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值．【解答】解：（1）∵f（x）=（x2+x﹣1）ex，（x∈R）∴f′（x）=（x2+3x）ex，∴f（1）=e，f′（1）=4e，∴曲線f（x）在（1，f（1））處的切線的方程為y﹣e=4e（x﹣1），即4ex﹣y﹣3e=0；（2）由（1）知f′（x）=（x2+3x）ex，令f′（x）=0，解得：x=﹣3或x=0，令f′（x）＞0，解得：x＜﹣3或x＞0；函數(shù)單調(diào)遞增；令f′（x）＜0，解得﹣3＜x＜0，函數(shù)單調(diào)遞遞減．x（﹣∞，﹣3）﹣3（﹣3，1）1（1，+∞）f′（x）+0﹣0+f（x）遞增極大值遞減極小值遞增當x=﹣3時取極大值，極大值為5e﹣3，當x=0取極小值為﹣1．【點評】本題考查利用導數(shù)法求曲線的切線方程及利用函數(shù)的單調(diào)性求極值問題，考查導數(shù)的應用，是一道中檔題．19．已知圓P與直線x=﹣1相切，且經(jīng)過（1，0），設(shè)點P的軌跡為曲線C．（1）求曲線C的方程；（2）點A的坐標為（2，1），點B在曲線C上運動，求線段AB中點的軌跡方程．【分析】（1）由題意圓心P的軌跡是以（1，0）為焦點、開口向右的拋物線，可得圓心M的軌跡是以（1，0）為焦點的拋物線；（2）設(shè)線段AB中點M（x，y），B（x1，y1），由題意知：x1=2x﹣2，y1=2y﹣2，由點B在曲線C上運動，能求出點M的軌跡方程．【解答】解：（1）由題意圓心為P到點（1，0）的距離等于P直線x=﹣1相切，所以圓心P的軌跡是以（1，0）為焦點、開口向右的拋物線．所以曲線C的方程y2=4x；（2）設(shè)線段AB中點M（x，y），B（x1，y1），由題意知：x1=2x﹣2，y1=2y﹣2，∵點B在曲線C上運動，∴（2y﹣2）2=4（2x﹣2），整理，得（y﹣1）2=2x﹣2．【點評】本題考查動點的軌跡方程的求法，考查計算能力，考查代入法的運用，正確運用拋物線的定義是關(guān)鍵．20．某物理實驗室做實驗，需要一個體積為72m3的長方體封閉紙盒．若紙盒底面一邊的長是另一邊長的2倍，S表示紙盒的表面積，x表示紙盒底面上較短的邊長．（1）試寫出S與x間的函數(shù)關(guān)系式；（2）當x取什么值時，做一個這樣的長方體紙盒用紙盒最少？（值得厚度忽略不計）【分析】（1）由題意可表示出長方體的另外的邊長，由表面積公式可得；（2）變形可得S=4x2++，由基本不等式可得．【解答】解：（1）由題意可得紙盒底面上較長的邊長為2x，則由體積公式可得72=2x?x?h，（h為紙盒的高），則h=，故S=2?2x?x+2?2x?+2?x?=4x2+，x＞0；（2）∵S=4x2+，x＞0，∴S=4x2++≥3=108當且僅當4x2=即x=3時取等號．故當x=3時，做一個這樣的長方體紙盒用紙盒最少．【點評】本題考查函數(shù)的解析式的求解，涉及基本不等式解決最優(yōu)化問題，屬中檔題．21．已知橢圓M：+=1（a＞b＞0）的左焦點為F1（﹣1，0），且長軸長是短軸長的倍．（1）求橢圓M的方程；（2）若斜率為的直線l與橢圓M位于x軸上方的部分交于C，D兩點，過C，D兩點分別做CE，DF垂直x軸于E，F(xiàn)兩點，若四邊形CEFD的面積為，求直線l的方程．【分析】（1）根據(jù)橢圓的性質(zhì)分別求得a、b和c的值，即可寫出橢圓的方程；（2）設(shè)出C和D點坐標及直線方程，將直線方程代入橢圓方程，求得關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求得x1+x2和x1?x2，代入直線方程求得y1+y2，進而求得x1﹣x2，利用梯形的面積公式，即可求得m的值，寫出直線方程．【解答】解：（1）由橢圓的性質(zhì)可知：c=1，2a=×2b，即a=b，∵a2=b2+c2，∴a=，b=1，c=1，∴橢圓M的方程：；（2）由題意可知：設(shè)C（x1，y1），D（x2，y2），且x1＞0，x2＜0，直線l的方程為：y=x+m，m＞0，∴，整理得：，由韋達定理可知：x1+x2=﹣，x1?x2=（m2﹣1），y1+y2=（x1+x2）+2m=，x1﹣x2==，四邊形CEFD的面