離散時間信號與系統(tǒng)的頻域分析

第2章時域離散信號和系統(tǒng)的

頻域分析對于離散時間系統(tǒng)——時域分析方法采用差分方程描述頻域分析方法則用Z變換或傅里葉變換這一數(shù)學(xué)工具本章主要內(nèi)容：

本章學(xué)習(xí)序列的傅里葉變換和Z變換，以及利用Z變換分析信號和系統(tǒng)的頻域特性。

2.1序列的傅里葉變換的定義及性質(zhì)

2.2序列的Z變換

2.3系統(tǒng)函數(shù)與頻率響應(yīng)2.1

序列的傅立葉變換的定義及性質(zhì)一、序列的傅里葉變換的定義眾所周知，連續(xù)時間信號x(t)的傅里葉變換定義為：而X(jΩ)的傅里葉反變換定義為

DTFT定義DTFT:Discrete-timeFouriertransform為研究離散時間系統(tǒng)的頻率響應(yīng)作準(zhǔn)備，從抽樣信號的傅里葉變換引出：

在物理意義上，X(ejω)表示序列x(n)的頻譜，ω為數(shù)字域頻率。X(ejω)一般為復(fù)數(shù)。并不是任何序列x(n)的傅里葉變換都是存在的。

只有當(dāng)序列x(n)絕對可和式中的級數(shù)才是絕對收斂的，或x(n)的傅里葉變換存在。逆變換表示

在物理意義上，X(ejω)表示序列x(n)的頻譜，ω為數(shù)字域頻率。X(ejω)一般為復(fù)數(shù)。并不是任何序列x(n)的傅里葉變換都是存在的。

序列DTFT存在條件：二、常用序列的傅里葉變換

1.單位脈沖序列

其傅里葉變換為？含義是什么

單位脈沖信號包含了所有頻率分量，而且這些分量的幅度和相位都相同。

這就是用單位脈沖響應(yīng)能夠表征線性時不變系統(tǒng)的原因。2.矩形序列其傅里葉變換為

圖2.1R4(n)的幅度與相位曲線設(shè)N=5，幅度與相位隨ω變化曲線

3.實指數(shù)序列其傅里葉變換為

設(shè)a=0.6，幅度與相位隨ω變化曲線如圖。離散時間信傅里葉變換的兩個特點：（1）X(ejω)是以2π為周期的ω的連續(xù)函數(shù)。（2）當(dāng)x(n)為實序列時，X(ejω)的幅值|X(ejω)|在0≤ω≤2π區(qū)間內(nèi)是偶對稱函數(shù)，相位arg[X(ejω)]是奇對稱函數(shù)。例題：利用定義求序列的離散傅立葉變換二、序列的傅里葉變換的性質(zhì)

1.線性設(shè)則式中a，b為常數(shù)。

2.時移與頻移設(shè)時移特性頻移特性

3.周期性

序列的傅里葉變換是頻率ω的周期函數(shù)，周期是2π。

4.對稱性質(zhì)

設(shè)一復(fù)序列，如果滿足則稱序列為共軛對稱序列。共軛反對稱序列比較：對于實序列中偶對稱和奇對稱的定義。

1）任一序列可表示為共軛對稱序列與共軛反對稱序列之和（如是實序列，就是偶對稱序列和奇對稱序列之和）可以被分解成共軛對稱與共軛反對稱兩部分之和。

2）DTFT的對稱特性（同學(xué)們自己證明）

若x(n)為實序列，則推論

對于實序列的DTFT，要畫出X(ejω)的幅頻特性，只需要X(ejω)半個周期即可，通常在實際中是選擇ω∈[0,π]的部分。

5.時域卷積定理

6.頻域卷積定理（復(fù)卷積定理）

7.帕斯瓦爾（Parseval）定理信號時域的總能量與頻域中的總能量是一樣的。三、MATLAB實現(xiàn)

例2-1

，，求離散時間傅里葉變換并探討其周期性。解：因為x(n)是復(fù)值的，它只滿足周期性，被唯一地定義在一個2

周期上。以下程序是在[-2，2]之間的兩個周期中的401個頻點上作計算以觀察周期性。n=0:10;x=(0.9*exp(j*pi/3)).^n;k=-200:200;w=(pi/100)*k;X=x*(exp(-j*pi/100)).^(n'*k);%用矩陣-向量乘法求DTFTmagX=abs(X);angX=angle(X);subplot(2,1,1);plot(w/pi,magX);axis([-2,2,0,8]);subplot(2,1,2);plot(w/pi,angX/pi);axis([-2,2,-1,1]);對

是周期的，但不是共軛對稱的。

例2-2

解：

不僅對對稱，而且是共軛對稱的。因此，對實序列，我們只需畫出它們從（0）間的傅里葉變換的模和相角響應(yīng)。求解差分方程的工具，類似于拉普拉斯變換；20世紀(jì)50~60年代抽樣數(shù)據(jù)控制系統(tǒng)和數(shù)字計算機的研究和實踐，推動了z變換的發(fā)展；70年代引入大學(xué)課程；主要應(yīng)用于數(shù)字信號處理的分析與設(shè)計，如語音信號處理等問題。z變換的歷史可是追溯到18世紀(jì)；2.2序列的Z變換

序列的傅里葉變換——頻域分析；推廣：序列的Z變換——復(fù)頻域分析。1．z變換的引出抽樣信號的拉氏變換→離散信號的z變換對取拉氏變換z變換的定義所有的信號都能進行z變換嗎？2．收斂域的定義收斂的所有z值之集合為收斂域。對于任意給定的序列x(n)，能使ROC:Regionofconvergence不同的x(n)的z變換，由于收斂域不同，可能對應(yīng)于相同的z變換，故在確定z變換時，必須指明收斂域。3．兩種判定法1)．比值判定法若有一個正項級數(shù)，則：

<1：收斂

=1：可能收斂也可能發(fā)散

>1：發(fā)散即令正項級數(shù)的一般項的n次根的極限等于，則<1：收斂=1：可能收斂也可能發(fā)散

>1：發(fā)散2)．根值判定法4．討論幾種情況1)．有限長序列的收斂域2)．右邊序列的收斂域3)．左邊序列的收斂域4)．雙邊序列的收斂域1)．有限長序列的收斂域所以，收斂域為的z平面。

例:

2)．右邊序列的收斂域右邊序列收斂域為ROC：例:若該序列收斂，則要求即收斂域為：

3)．左邊序列的收斂域左邊序列收斂域為ROC:例收斂域為：4)．雙邊序列的收斂域雙邊序列的收斂域：總結(jié):★x(n)的收斂域（ROC）為z平面以原點為中心的圓環(huán)；★ROC內(nèi)不包含任何極點（以極點為邊界）；左邊序列的收斂域在最內(nèi)的極點之內(nèi)；右邊序列的收斂域在最外的極點之外★有限長序列的ROC為整個z平面（可能除去z=0和z=）；★右邊序列的ROC為的圓外；★左邊序列的ROC為的圓內(nèi)；

★雙邊序列的ROC為的圓環(huán)。三、Z反變換

已知函數(shù)X(z)及其收斂域，反過來求序列的變換稱為Z反變換，Z反變換表示為：

c是X(z)收斂域中一個逆時針方向環(huán)繞原點的圍線。

推導(dǎo)在的收斂域內(nèi)，選擇一條包圍坐標(biāo)原點的逆時針方向的圍線C,沿C進行積分：積分與求和互換

推導(dǎo)推導(dǎo)1)．用留數(shù)定理求圍線積分圍線積分等于圍線C內(nèi)所有極點的留數(shù)之和單階極點k重極點右邊序列左邊序列圍線積分等于圍線C外所有極點的留數(shù)之和留數(shù)輔助定理避免求高階極點的留數(shù)例解：二．部分分式展開法1．z變換式的一般形式

2．求z反變換的步驟

3．極點決定部分分式形式例解：右邊序列左邊序列例解：當(dāng)序列為因果序列時，例解：3

冪級數(shù)展開法（長除法）z變換式一般是z的有理函數(shù)，可表示為：直接用長除法進行逆變換（是一個z的冪級數(shù)）

1．右邊序列的逆z變換例2．左邊序列的逆z變換例Z的升冪排列離散時間序列的z變換的Matlab實現(xiàn)xk=sym('Heaviside(n)');xz1=ztrans(xk);

xz1=simplify(xz1)xk=sym('a^n*Heaviside(n)');xz2=ztrans(xk);xz2=simplify(xz2)xk=sym('a^n*cos(n*pi/2)');xz3=ztrans(xk);xz3=simplify(xz3)xz1=z/(z-1)xz2=-z/(-z+a)xz3=z^2/(z^2+a^2)

在MATLAB中，可用residuez函數(shù)計算出有理函數(shù)的留數(shù)部分和直接（或多項式）項。其分子、分母都按z-1的遞增順序排列。

用語句[R,p,C]=residuez(b,a)可求得X(z)的留數(shù)、極點和直接項，分子、分母多項式A(z)和B(z)分別由矢量a，b給定。例2-12

將展開成部分分式形式。解首先將按的升冪排列：MATLAB程序如下：運行結(jié)果：R=[0.5000-0.5000]，p=[1.00000.3333]，C=[]b=[0,1];a=[3,-4,1];[R,p,C]=residuez(b,a)類似的，可將其變成有理方程。MATLAB程序為[b,a]=residuez(R,p,C)運行結(jié)果：b=[-0.00000.3333]，a=[1.0000-1.33330.3333]可得到原來的有理函數(shù)形式五、Z變換的性質(zhì)

1.線性若則相加后序列Z變換的收斂域一般為兩個相加序列收斂域的重疊部分。如果線性組合中某些零點與極點相互抵消，則收斂域可能擴大。例2-13

已知，求其Z變換。解2.移位特性

若，則位移m可以為正（右移）也可以為負（左移）。

證明：例2-14

求序列的Z變換。解:零點與極點相互抵消，收斂域擴大。3.Z域尺度變換（乘以指數(shù)序列）

若，則4.序列的線性加權(quán)（Z域求導(dǎo)數(shù)或X(z)的微分）

若，則5.時域卷積

若，，，則例2-15求。解：2.3系統(tǒng)函數(shù)與頻率響應(yīng)2.3.1系統(tǒng)函數(shù)的定義

設(shè)x(n)、y(n)和h(n)分別是線性時不變系統(tǒng)的輸入、輸出和單位取樣響應(yīng)，X(z)、Y(z)和H(z)分別表示相應(yīng)的Z變換。Z變換為

定義線性時不變系統(tǒng)的輸出Z變換與輸入Z變換之比為系統(tǒng)函數(shù)

它是單位脈沖響應(yīng)h(n)的Z變換。在單位圓上（即|z|=1的系統(tǒng)函數(shù)就是系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。

2.3.2系統(tǒng)函數(shù)和差分方程

一個線性時不變系統(tǒng)，可用常系數(shù)線性差分方程來描述。考慮一個N階差分方程對上式兩邊求Z變換則

系統(tǒng)函數(shù)H(z)的分子、分母均為z-1的多項式，它的系數(shù)也正是差分方程的系數(shù)。

對上式進行因式分解

{cr}、{dk}由差分方程的系數(shù)ak、br決定。因此，除了比例常數(shù)A以外，系統(tǒng)函數(shù)可以由它的零、極點來唯一確定，特別是極點的位置將對H(z)的性質(zhì)起著重要影響。

根據(jù)系統(tǒng)函數(shù)求差分方程例2-17解：2.3.3系統(tǒng)函數(shù)的收斂域與系統(tǒng)的穩(wěn)定性系統(tǒng)函數(shù)由Z變換收斂域的定義當(dāng)時，上式變成系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件（時域條件）。

這說明，如果系統(tǒng)函數(shù)的收斂域包括單位圓，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

因果系統(tǒng)其單位脈沖響應(yīng)h(n)一定滿足h(n)=0（n<0），那么其系統(tǒng)函數(shù)的收斂域一定包含∞。

單位脈沖響應(yīng)系統(tǒng)函數(shù)因果性h(n)=0，n<0收斂域包括∞穩(wěn)定性收斂域包括單位圓因果穩(wěn)定系統(tǒng)的收斂域例2-18

已知，分析其因果性和穩(wěn)定性。解：的極點為討論：（1）當(dāng)收斂域為但收斂域不包含單位圓，因此是不穩(wěn)定系統(tǒng)。時，對應(yīng)的系統(tǒng)是因果系統(tǒng)，單位脈沖響應(yīng)（2）當(dāng)收斂域為不穩(wěn)定系統(tǒng)。單位脈沖響應(yīng)時，對應(yīng)的系統(tǒng)是非因果且（3）當(dāng)收斂域為但收斂域包含單位圓，因此是穩(wěn)定系統(tǒng)。時，對應(yīng)的系統(tǒng)非因果，收斂的雙邊序列

非因果但穩(wěn)定系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)的近似實現(xiàn)2.3.4頻率響應(yīng)

1.系統(tǒng)頻率響應(yīng)的意義

線性時不變系統(tǒng)的基本特性：

對于一個正弦輸入的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)也是一個正弦，其頻率與輸入相同，其幅度和相位取決于系統(tǒng)。

正是由于線性時不變系統(tǒng)具有這種特性，使得信號的正弦或復(fù)指數(shù)表示法在線性系統(tǒng)分析中起著非常重要的作用。

對于離散時間線性時不變系統(tǒng)，是否也具有上述特性？討論：

假設(shè)輸入序列其中稱為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)

輸出序列仍是與輸入序列同頻率的復(fù)指數(shù)序列。

它描述了復(fù)指數(shù)序列通過線性時不變系統(tǒng)后，復(fù)振幅（包括幅度和相位）的變化。例已知離散時間系統(tǒng)的框圖如右圖，求系統(tǒng)頻率響應(yīng)特性。解：系統(tǒng)的差分方程設(shè)系統(tǒng)為零狀態(tài)的，方程兩邊取z變換系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性幅頻特性相頻特性曲線頻率響應(yīng)特性曲線圖(1)幅頻特性曲線圖(2)相頻曲線例2-19設(shè)有一系統(tǒng)，其輸入輸出關(guān)系由以下差分方程確定若系統(tǒng)是因果的，試求：（1）該系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)；（2）當(dāng)輸入時的系統(tǒng)頻率響應(yīng)。解（1）對差分方程兩端分別進行Z變換可得則系統(tǒng)函數(shù)為收斂域為對系統(tǒng)函數(shù)進行Z反變換，可得單位脈沖響應(yīng)為（2）系統(tǒng)的頻率響應(yīng)系統(tǒng)是線性時不變且因果穩(wěn)定的。當(dāng)輸入時，可得輸出響應(yīng)為2.頻率響應(yīng)的幾何確定法

一個N階的系統(tǒng)函數(shù)H(z)完全可以用它在z平面上的零、極點確定。

例求下圖所示一階離散系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。差分方程系統(tǒng)函數(shù)頻響特性幅度響應(yīng)相位響應(yīng)結(jié)論：

（1）原點處的極點和零點對頻率響應(yīng)的幅度無影響，它們只是在相位中引入一個線性分量；

（2）極點主要影響頻響的峰值，極點越靠近單位圓，峰值就越尖銳，當(dāng)極點處于單位圓上，該點的頻響就出現(xiàn)∞，這相當(dāng)于該頻率處出現(xiàn)無耗諧振；

（3）零點主要影響頻響的谷值，零點越靠近單位圓，谷值越小，當(dāng)處于單位圓上時，幅度為0。例2-21

已知

利用幾何法分析系統(tǒng)的幅頻特性。解:極點：z=0（N階極點）零點：令則N個零點等間隔分布在單位圓上。取N=8時，極零點分布和幅頻特性如圖例2-22

利用幾何法分析矩形序列的幅頻特性解：

零點極點（N-1階），設(shè)N=8，z=1處的極點和零點相互抵消。利用濾波器分析設(shè)計工具——FDATool例2-23

設(shè)一個因果系統(tǒng)的差分方程為為實數(shù)求系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。解將差分方程等式兩端取Z變換，可求得單位脈沖響應(yīng)為該系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為幅度響應(yīng)為相位響應(yīng)為h(n)無限長例2-24

設(shè)系統(tǒng)的差分方程為試求其頻率響應(yīng)。解這是M-1個單元延時及M個抽頭相加所組成的電路，稱之為橫向濾波器。令將所給差分方程等式兩端取Z變換，可得系統(tǒng)函數(shù)為零點滿足，即極點（M-1階極點）其中第一個零點和單極點相抵消。當(dāng)輸入為時，系統(tǒng)只延時（M-1）位就不存在了故只有M個值，即M=6及條件下h(n)有限長2.3.5IIR和FIR系統(tǒng)1.無限長單位沖激響應(yīng)(IIR)系統(tǒng)

如果一個離散時間系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)h(n)延伸到無窮長，即n→∞時，h(n)仍有值，這樣的系統(tǒng)稱作無限長單位脈沖響應(yīng)系統(tǒng)，簡稱IIR（InfiniteImpulseResponse）系統(tǒng)。

一個線性時不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)可以表示為

只要有一個不為零，則序列就是無限長的。該系統(tǒng)的差分方程為

在任何時刻系統(tǒng)的輸出響應(yīng)不僅與此時刻和此時刻以前時刻的輸入有關(guān)，而且與此時刻以前的輸出有關(guān)。在由差分方程確定輸出時，需要進行迭代運算。因而通常將這種差分方程稱為遞歸方程，這種方程所描述的系統(tǒng)也稱為遞歸系統(tǒng)。

2．有限長單位沖激響應(yīng)（FIR）系統(tǒng)

如果一個離散時間系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)h(n)是有限長序列，這樣的系統(tǒng)稱作為有限長單位脈沖響應(yīng)系統(tǒng)，簡稱FIR（FiniteImpulseResponse）系統(tǒng)。

ak全為零，則序列就是有限長的。

描述該系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)和差分方程分別為

在任何時刻系統(tǒng)的輸出只與此時刻和此時刻以前的輸入有關(guān)。在由差分方程確定輸出時，不需要進行迭代運算。因而通常將這種差分方程稱為非遞歸方程，這種方程所描述的系統(tǒng)也稱為非遞歸系統(tǒng)。2.3.6MATLAB實現(xiàn)1.零極點圖

在MATLAB中，可以用DSP工具箱中的zplane(b,a)函數(shù)或pzplotz(b,a)函數(shù)，由給定的分子行向量和分母行向量繪制成系統(tǒng)的零極點圖，符號“o”表示零點，符號“”表示極點，圖中還給出了用作參考的單位圓。

例2-25已知某系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為求其零、極點并繪出零、極點圖。

解MATLAB實現(xiàn)程序：

b=[0.30.10.30.10.2];a=[1-1.21.5-0.80.3];

r1=roots(a)%求極點

r2=roots(b)%求零點

zplane(b,a)MATLAB

運行結(jié)果為：r1=[0.1976+0.8796i0.1976-0.8796i0.4024+0.4552i0.4024-0.4552i]r2=[0.3236+0.8660i0.3236-0.8660i-0.4903+0.7345i-0.4903-0.7345i]2.系統(tǒng)的頻率響應(yīng)

可以用freqz函數(shù)來求系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。用法為：

[H,w]=freqz(b,a,N)在上半單位圓（0）的等間隔的N個點上計算頻率響應(yīng)。

[H,w]=freqz(b,a,N,’whole’)在整個單位圓（02）等間隔的N個點上計算。

[H]=freqz(b,a,w)計算在矢量w中指定的頻率處的頻率響應(yīng)。例2-26

已知因果系統(tǒng)，繪出的幅度和相位特性曲線。解：由差分方程可以得到

MATLAB實現(xiàn)程序：

b=[1,0];a=[1,-0.9];

[H,w]=freqz(b,a,100,'whole');

magH=abs(H);phaH=angle(H);

subplot(2,1,1),plot(w/pi,magH);grid

subplot(2,1,2);plot(w/pi,phaH/pi);gridMATLABMATLAB3.差分方程求解——濾波

在MATLAB中，可用一個filter函數(shù)來求在給定輸入和差分方程系數(shù)時的差分方程的數(shù)值解。子程序調(diào)用的簡單形式為：

y=filter(b,a,x)其中b，a是由差分方程或系統(tǒng)函數(shù)