高中數(shù)學(xué)北師大版第一章數(shù)列等差數(shù)列 2023版第1章數(shù)列的函數(shù)特性

數(shù)列的函數(shù)特性1．了解遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列的概念．2．掌握判斷數(shù)列增減性的方法．(重點(diǎn))3．利用數(shù)列的增減性求最大項(xiàng)、最小項(xiàng)．(難點(diǎn))[基礎(chǔ)·初探]教材整理數(shù)列的單調(diào)性閱讀教材P6～P7“例3”以上部分，完成下列問題．1．?dāng)?shù)列的函數(shù)特性數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，由于一般函數(shù)有三種表示方法，數(shù)列也不例外，有列表法、圖像法和解析法．2．?dāng)?shù)列的單調(diào)性名稱定義判斷方法遞增數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都大于它前面的一項(xiàng)an＋1＞an遞減數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都小于它前面的一項(xiàng)an＋1＜an常數(shù)列各項(xiàng)都相等an＋1＝an判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)數(shù)列的圖像與函數(shù)的圖像相同．()(2)常數(shù)列不具有增減性．()(3)數(shù)列的通項(xiàng)公式就是數(shù)列的函數(shù)解析式．()(4)數(shù)列1，eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，eq\f(1,4)，eq\f(1,5)是遞減數(shù)列．()【解析】(1)因?yàn)閿?shù)列的定義域是N＋(或它的子集{1,2,3，…，n})，所以其圖像為無限個(gè)或有限個(gè)孤立的點(diǎn)．(2)常數(shù)列不滿足an＋1＞an或an＋1＜an.(3)數(shù)列可以看成是定義域?yàn)镹＋(或它的子集{1,2,3，…，n})的函數(shù)，數(shù)列的項(xiàng)是函數(shù)值，序號(hào)是自變量，數(shù)列的通項(xiàng)公式也就是相應(yīng)的解析式．(4)數(shù)列滿足條件an＋1＜an.【答案】(1)×(2)√(3)√(4)√[小組合作型]數(shù)列的圖像在數(shù)列{an}中，an＝n2－8n，(1)畫出{an}的圖像；(2)根據(jù)圖像寫出數(shù)列{an}的增減性．【精彩點(diǎn)撥】(1)畫圖像時(shí)利用列表、描點(diǎn)、連線三步去畫．(2)根據(jù)圖像的上升或下降判斷增減性．【嘗試解答】(1)列表n123456789…an－7－12－15－16－15－12－709…描點(diǎn)：在平面直角坐標(biāo)系中描出下列各點(diǎn)即得數(shù)列{an}的圖像：(1，－7)，(2，－12)，(3，－15)，(4，－16)，(5，－15)，(6，－12)，(7，－7)，(8,0)，(9,9)，…圖像如圖所示．(2)數(shù)列{an}在{1,2,3,4}上是遞減的，在{5,6……}上是遞增的．畫數(shù)列圖像的方法數(shù)列是一個(gè)特殊的函數(shù)，因此也可以用圖像來表示，以位置序號(hào)n為橫坐標(biāo)，相應(yīng)的項(xiàng)為縱坐標(biāo)，即以(n，an)為坐標(biāo)描點(diǎn)畫圖，就可以得到數(shù)列的圖像．因?yàn)樗亩x域是正整數(shù)集N＋(或它的有限子集{1,2,3，…，n})，所以其圖像是一群孤立的點(diǎn)，這些點(diǎn)的個(gè)數(shù)可以是有限的，也可以是無限的．[再練一題]1．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n－1，作出該數(shù)列的圖像．【解】分別取n＝1,2,3，…，得到點(diǎn)(1,1)，(2,3)，(3,5)，…，描點(diǎn)作出圖像．如圖，它的圖像是直線y＝2x－1上的一些等間隔的點(diǎn)．?dāng)?shù)列增減性的判斷已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝eq\r(n)－eq\r(n＋1)，求證：此數(shù)列為遞增數(shù)列．【精彩點(diǎn)撥】根據(jù)數(shù)列單調(diào)性的定義，只需證明an＋1－an＞0.【嘗試解答】an＋1－an＝(eq\r(n＋1)－eq\r(n＋2))－(eq\r(n)－eq\r(n＋1))＝2eq\r(n＋1)－(eq\r(n＋2)＋eq\r(n))，∵(2eq\r(n＋1))2－(eq\r(n＋2)＋eq\r(n))2＝4n＋4－(n＋2＋n＋2eq\r(nn＋2))＝2(n＋1)－2eq\r(nn＋2)＝2(eq\r(n＋12)－eq\r(nn＋2))＝2(eq\r(n2＋2n＋1)－eq\r(n2＋2n))＞0.即an＋1＞an，∴數(shù)列{an}是遞增數(shù)列．判斷數(shù)列增減性的方法(1)作差比較法：①若an＋1－an＞0恒成立，則數(shù)列{an}是遞增數(shù)列；②若an＋1－an＜0恒成立，則數(shù)列{an}是遞減數(shù)列；③若an＋1－an＝0恒成立，則數(shù)列{an}是常數(shù)列．(2)作商比較法：①若an＞0，則當(dāng)eq\f(an＋1,an)＞1時(shí)，數(shù)列{an}是遞增數(shù)列；當(dāng)eq\f(an＋1,an)＜1時(shí)，數(shù)列{an}是遞減數(shù)列；當(dāng)eq\f(an＋1,an)＝1時(shí)，數(shù)列{an}是常數(shù)列．②若an＜0，則當(dāng)eq\f(an＋1,an)＜1時(shí)，數(shù)列{an}是遞增數(shù)列；當(dāng)eq\f(an＋1,an)＞1時(shí)，數(shù)列{an}是遞減數(shù)列；當(dāng)eq\f(an＋1,an)＝1時(shí)，數(shù)列{an}是常數(shù)列．[再練一題]2．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝eq\f(n2,n2＋1)，判斷該數(shù)列的增減性.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：47172023】【解】對(duì)于任意n∈N＋，由公式an＝eq\f(n2,n2＋1)，有an＋1－an＝eq\f(n＋12,n＋12＋1)－eq\f(n2,n2＋1)＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\f(1,n＋12＋1)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,n2＋1)))＝eq\f(1,n2＋1)－eq\f(1,n＋12＋1)＝eq\f(n＋12－n2,n2＋1[n＋12＋1])＝eq\f(2n＋1,n2＋1[n＋12＋1])＞0，即an＋1＞an(n∈N＋)．故數(shù)列{an}是遞增數(shù)列．[探究共研型]數(shù)列增減性的應(yīng)用探究1在數(shù)列{an}中，an＝eq\f(n－\r(79),n－\r(80))(n∈N＋)，{an}的前50項(xiàng)有何特點(diǎn)？是否存在最大項(xiàng)和最小項(xiàng)？【提示】因?yàn)閍n＝eq\f(n－\r(79),n－\r(80))＝1＋eq\f(\r(80)－\r(79),n－\r(80))(n∈N＋)，因?yàn)閑q\r(80)＞eq\r(79)，8＜eq\r(80)＜9所以數(shù)列的前8項(xiàng)小于1且遞減，從第9項(xiàng)開始大于1且遞減，前50項(xiàng)中最小項(xiàng)為a8，最大項(xiàng)為a9.探究2數(shù)列單調(diào)性與函數(shù)單調(diào)性的區(qū)別和聯(lián)系是什么？【提示】聯(lián)系：若函數(shù)f(x)在[1，＋∞)上單調(diào)，則數(shù)列f(n)也單調(diào)．反之不正確，例如f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(5,4)))2，數(shù)列f(n)單調(diào)遞增，但函數(shù)f(x)在(1，＋∞)上不是單調(diào)遞增．區(qū)別：二者定義不同．函數(shù)單調(diào)性的定義：函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，設(shè)D?I，對(duì)任意x1，x2∈I，當(dāng)x1＜x2時(shí)，若f(x1)＞f(x2)，則f(x)在I上單調(diào)遞減，若f(x1)＜f(x2)，則f(x)在I上單調(diào)遞增，定義中的x1，x2不能用有限個(gè)數(shù)值來代替．?dāng)?shù)列單調(diào)性的定義：只需比較相鄰的an與an＋1的大小來確定單調(diào)性．在數(shù)列{an}中，an＝(n＋1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,11)))n(n∈N＋)．(1)求證：數(shù)列{an}先遞增，后遞減；(2)求數(shù)列{an}的最大項(xiàng)．【精彩點(diǎn)撥】方法1：先考慮數(shù)列{an}的單調(diào)性，然后利用單調(diào)性求其最值．方法2：利用不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an－1≤an,an≥an＋1))尋求最大值．【嘗試解答】證明：∵an＋1－an＝(n＋2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,11)))n＋1－(n＋1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,11)))n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,11)))n·eq\f(9－n,11)，當(dāng)n＜9時(shí)，an＋1－an＞0，即an＋1＞an；當(dāng)n＝9時(shí)，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；當(dāng)n＞9時(shí)，an＋1－an＜0，即an＋1＜an.故a1＜a2＜a3＜…＜a9＝a10＞a11＞a12＞…，所以數(shù)列中有最大項(xiàng)，最大項(xiàng)為第9,10項(xiàng)，即a9＝a10＝eq\f(1010,119).數(shù)列中最大項(xiàng)與最小項(xiàng)的求法數(shù)列中的最大項(xiàng)或最小項(xiàng)的探求可通過數(shù)列的增減性加以解決．若求最大項(xiàng)an，則an應(yīng)滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≥an＋1，,an≥an－1，))若求最小項(xiàng)an，則an應(yīng)滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≤an＋1，,an≤an－1，))另外一種方法就是將數(shù)列看作一個(gè)特殊的函數(shù)，通過求函數(shù)的最值來解決數(shù)列的最值問題，但此時(shí)應(yīng)注意“n∈N＋”這一條件．[再練一題]3．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n×，求數(shù)列{an}中的最大項(xiàng)．【解】設(shè)an是數(shù)列{an}中的最大項(xiàng)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≥an－1，,an≥an＋1，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2n×≥2n－1×－1，,2n×≥2n＋1×＋1，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1≥n－1，,n≥n＋1，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n≤10，,n≥9，))即9≤n≤10，∴當(dāng)n＝9或n＝10時(shí)，an最大，最大項(xiàng)a9＝a10＝2×10×＝20×.1．已知數(shù)列{an}滿足an＋1－an－3＝0，則數(shù)列{an}是()A．遞增數(shù)列 B．遞減數(shù)列C．常數(shù)列 D．不能確定【解析】由條件得an＋1－an＝3＞0，可知an＋1＞an，所以數(shù)列{an}是遞增數(shù)列．【答案】A2．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝5n－6，則an的最小值為()A．4 B．5C．1 D．－1【解析】∵an＋1－an＝5＞0，∴{an}是遞增數(shù)列．∴an的最小值為a1＝－1.【答案】D3．?dāng)?shù)列{an}中，an＝－n2＋11n，則此數(shù)列最大項(xiàng)的值是()\f(121,4) B．30C．31 D．32【解析】an＝－n2＋11n＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(11,2)))2＋eq\f(121,4)，∵n∈N＋，∴當(dāng)n＝5或6時(shí)，an取最大值30，故選B.【答案】B4．若數(shù)列{an}為遞減數(shù)列，則{an}的通項(xiàng)公式可能為________．(填寫序號(hào))①an＝－2n＋1；②an＝－n2＋3n＋1；③an＝eq\f(1,2n)；④an＝(－1)n.