2021屆浙江高三2-3月卷立體幾何大題匯編(教師版)

2021屆浙江高三立體幾大題匯編：知四邊形，CAD

，AB

AD，沿AC翻折至PAC．（1）若，求證：APCD；（2）若二面角PD的弦值為求PD平面PAC所角的正弦值．

，2：圖，三棱錐P中，

BC

，

面P，E，F(xiàn)分為，的點(diǎn)．

F（）證：；

（）PB與平面所成角的正弦值．

3P3PAACACP；PFPAC

F4：三棱錐BCD中ABBD

,

BCDC2

,2．（）證：；（2若為上一點(diǎn)，且AP

，求直線與面所成角的正弦值．

5：如圖三棱柱DEF所有棱長均1

，且四邊形為方形，又AB．（）證：DE；（）直線AB和面ACF所成角的正弦值．如知棱錐P中平面平面PBCBC點(diǎn)在平面內(nèi)射影恰為PCE的重心G．（1）證明：BCAB；（2）求直線與面PBC所角的正弦值．

BE2

,：如圖三棱臺(tái)ABCDEF中ADCFCB

DF．（3）證明：

；（4）若DE，與面ABC所成角的正弦值．

：ABCDEFABCD，ABAD2

BAD

AC，BDOOA，AE，CFABCD．1DE

BCF

2CF

，

BFD

：本題滿分分）在四棱錐P

中，AB∥CD，AD，DAB，為腰直角三角形，PA2，CD端點(diǎn)（Ⅰ）求證：CD∥平面M

的平面分別交線段,于M，E在線段DP上．

MN,E

不同于（Ⅱ）若為DP的點(diǎn)，且DM平PB

，求直線PA與面MNE

所成角的正弦值．ABCDBC22EADCDE△PB32PC

：如，在四錐PABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD//BC,ABC2AD2，面平ABCD．（1）證明：BD面；（2）若

PDPC2

，求三棱錐的積．12：三棱錐ABCA1

中在腰直角中ACB

，BC，

點(diǎn)A

在平面ABC上投影在邊中點(diǎn)E，分為CC，B1平面（1求證：//

的三等分點(diǎn)（靠近于、A

處）（2求直線A與面所成角的正弦值13：圖，在四邊形MACB中，5，BC，2，MA，MB將MAB沿直線折，使得四面體中BC(1)求證：PA(2)若E為的中點(diǎn)，求直線與平面所角的正弦值

421屆浙高三2-3卷例題幾何大題匯編4：知四邊形，CAD

，AB

AD，沿AC翻折至PAC．（1）若，求證：APCD；（2）若二面角PD的弦值為求PD平面PAC所角的正弦值．方提與析嘉趙學(xué)

，解）不設(shè)

AD

，則，PAPD，

PA

PD

，90

即APPD

PC，

,平PCD，CD．（2）過作于E，延長交CD于F，結(jié)，過P于O過作DM平PAC于M，連結(jié)PM則PM是PD平面PAC內(nèi)射影，則即所求角．ACEFAC

，PEF就二面角PAC的面角，即cosPEF

．不妨設(shè)

AD

，則，PE，PC，E為的中點(diǎn)，

AD,EFAC

，AD//EF，F(xiàn)為CD的點(diǎn)，EF

，PEF中由余弦定理可知

121)，2PF，PC

，

513PCD2

，PD

7

，PD．BEEFBE

EFE

，AC平PEF，，

EF

，平ACD，

，PEO

PO

體可知V

，DM

，sin

DM2105，PD與面PAC所成角的正弦值為．PD4142：圖，三棱錐ABC中

BC

，

面PAC，E，F(xiàn)分為AC，PB的點(diǎn)．

F（）證：EF；

（）PB與平面所角的正弦值．方提與析（江波成）

P

（）解（何）連接PE，，易得AC，為P，

FEA

B

3所以PB，由B3

，所以平面，而EF平，以ACEF．（）解（標(biāo)）由（1）得，AC平面，以PBE就是PB與面所角，不妨設(shè)PA，在等腰三角形PAC中，PAPC

3

，所以PE

12

，在等邊三角形ABC中BE

32

，所以PBE

13

1，即PB與平面所角的正弦值為．33ABC3PAPBACABP60

．PF；

方提與析（海賢健

F解CB

z，以MBAB．

因?yàn)?/p>

AB3

PA，所以

，所以PB．

y所以PBM是PPBM

，又BM，

F

M

H所以PBBM，以△PBM是邊長為的邊三角形．取線段的點(diǎn)H，接PH，PH．

如圖，分別以、AB為

軸、y軸，過點(diǎn)平面垂的直線為

軸，建立空間直角坐標(biāo)系．則，，(0,3,0)，F(xiàn)(,

,0)，H(

3，(,3,)所以,0,0)，(0,

,)，以2

AC

，即；PFPAC

PAC的法向量為,w)

nn

uu

w

wn(0,

4444所以

3262

1010

．即PAC

．則

cos

,

3||

．注意二面角AD大的余弦值為

．4：三棱錐BCD中ABBD

,

BCDC2

,2．（）證：；（2若P為上一點(diǎn)，且

，直線平面ACD所角的正弦值．方提與析（江波成）（）解（何）取BD點(diǎn)連接OC因，BCDC所以AO，BDOC因?yàn)锳O所以BD平面，即BDAC（）解（標(biāo)）

OC，由（1）得，BD平OC，又因?yàn)锽D平面CD，所以平面平面BDC，得AO,OC,

所以AO

AC

，即OC,

又因?yàn)槊鍭

平面BDC，以平BDC，圖所示，以射線OBOCOD為

xz

正半軸建系．

0,0,，

B

，

3P,3

DAzADC的個(gè)法向量，有

nn

，取

n，設(shè)

為直線與平面ACD所成角，則

sin

93nn2

47

．即直線BP與面ACD所角的正弦值為

437

．5：如圖三棱柱DEF所有棱長均為，四邊形為方形，又．（）證：DE；（）直線AB和面ACF所成角的正弦值．方提與析（江波成）（1）解（何）連接，，四邊形BCEF為方形可得，ECBF，又因?yàn)镋C，BFB

，所以平，以AF，易得四邊形ACFD為形，

則AFCD，C，以AF平CDE，即AFDE．（2）解（何）因?yàn)锳B∥DE，所DE，和平面ACF所角與直線AB和面ACF所角相等，由（），面，又因?yàn)槠矫鍭FC，以平面CDE平面，過點(diǎn)EH，因平面CDE平CD，平面，以EH平，即為和平面ACF所成角．由DEEC，

EC

，得

DC

，所以sinsin

3

，直線和面ACF所成角的正弦值為．如知棱錐P中平面平面PBCBC點(diǎn)在平面內(nèi)射影恰為PCE的重心G．（5）證明：BCAB；（6）求直線與面PBC所角的正弦值．方提與析（興琴）解：（1過作PB于D因?yàn)槠矫鍼AB平面PBC，平

BE2

,面

平面PBC，AD平面PAB，以AD平面PBC，ADBC．為平面ABCE，以PABC，

AD

，所以BC平PAB，AB．（2）連結(jié)PG并長交CE于M，連結(jié)．為點(diǎn)，分別以,BC所在的直線為,軸以過B且平面ABCE垂的直線為

軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則

B(0,0,0)

，

(1,0,0)

，

，設(shè)

E(,0)

，平，AGCE，理PA，AM．是PCE的重心，M是的中點(diǎn)，

，平面PAM，AC，1）知，BCAB，

，BE,，AE,0)，

xy(x

，，E，設(shè)AP，則

Pa)

a2，故,)，(0,,),CG,3

，a2AGa

2P2)(1,0,22)BC(0,2,0)CG(1,,3

)，設(shè)平面的法向量為n,,)，

BC

2，

，令z，n，直線與平面所成角為

則

CG

2

42

故直線CG與面所角的正

//42//弦值為．：如圖三棱臺(tái)ABCDEF中ADCFCB

DF．（7）證明：

；（8）若DE，與面ABC所成角的正弦值．方提與析嘉趙學(xué)解（1）三棱臺(tái)補(bǔ)形為三棱錐，結(jié)，DF則ADACCB，AF3

，

DF，BCEF，

BF3

，，ABF為等腰三角形．（2）平面ABC//平DEF，與平面ABC所角即為BF與平面DEF所角過作面DEF于，過O作OHEF于H，連結(jié)OF．OF是平面內(nèi)的射影，即所角．

DE，三棱錐DEF為正四面體，

6，OE，BO，又BF，

sinBFOBF3

，故與平面ABC所成角的正弦值

．：ABCDEF

，

ABAD

BAD

AC

，

BD

，2OA

，

AE

，CF

ABCD

．1DE2CF

，

BFD

方提與析（海賢健解

，

BFC

，//

BFC

．DE//，AEDEE

，ADE//AD//BC

COODOA

．

AB

，BD

，

，OA

BCF

（）O為

，C(2,0,0)

，D(0,

，E(2)

，F(xiàn)

．BC(2,

，

DB

，

．BFD

nx,)

．

DBDF

yy

，x

，z

．

(1,0,

．BC

sin

23535

：本題滿分分）在四棱錐PABCD

中，AB∥CD，AD，DAB

，APB為腰直角三角形，PA2，C端點(diǎn)（Ⅰ）求證：CD∥平面M

的平面分別交線段,于M，在段上．

MN,E

不同于，（Ⅱ）若E為的點(diǎn)，且DM平APB所成角的正弦值．求直線與平面MNE方提與析（江華+方）解（面行判定與質(zhì)理（）：AB∥CD，平面PAB，平AB的平面分別交線段PA,于M，MN又過CD

，CD∥面AB

．又CD平M，平M，∥平面NE方1傳法等體法點(diǎn)平的離

．

證完（）△為腰直角三角形，PAPB2，

．又，

，由余弦定理得3，而

AD

AB

,得BD．因?yàn)镈M平面PB，以APDM，BP，得BP平面DP

，于是DP，從而可算得2

．故AD．

D0,20，所以M為的點(diǎn)，進(jìn)而得到ND0,20，

是BP的點(diǎn)NE3,MEMN．所以△MNE

的面積S

32

．設(shè)點(diǎn)到面MNE

的距離為

．容易得到：DM

2，PMN的積為1，．在三棱錐EPMN

中，由等體積法得：

Sh2

12

6，得到．3記直線PA與面MNE

所成角為，sin

h3．PM3即直線PA與面MNE

所成角的正弦值為

33

．方2坐法由題意可以如圖建立空間直角坐標(biāo)系．則平面PB

，所以可設(shè)

Db

，則

ab22

，

M

．因?yàn)?，，由余弦定理得BD3，所以2212

，解得，

，M2,0,

2,0,0

．MN

2,

，

ME

22,

，設(shè)平面MNE

的法向量為n

z

．則yz22

，取x得

yz

．從而平面MNE

的一個(gè)法向量為

PA

=．記直線PA與面MNE

所成角為，

PAPA

333

．即直線PA與面MNE所角的正弦值為

33

．

eq\o\ac(△,S)2222eq\o\ac(△,S)2222

22EADCDE△PB32

PC方提與析（海賢健解法1BE，

BE2

，

PB

，所以BEPE．又因?yàn)镋

，所以所以，所以PCEABCE法2：N

PC

CE，

．PN．BNBCBNPB,

．CEN

，所以，以ABCE．法1：ECN,BN，ABCE，

．所以，

，

．C因?yàn)閂

，所以h

22

．sin

22，

22

．法2：AB

ABCEz32(1,0,0)C(1,2,0)，E(0,1,0)，,AP,,．ABP

nxyz)

．

nn

z

n(0,2,．12PC,,以

sin

PCn

211

．

22

．

法：明：因?yàn)锳BPM，，MN．所以AB面，所以面PMN交PM，作STPM，所以ST面．由似計(jì)算得ST

．因?yàn)?/p>

//

面PAB，所以

到面ABP距離到的離．又因?yàn)镼是BC的中點(diǎn)，所以h記C到ABP的離到ABP的距離的倍

．又sin

22．所以直線PC與ABP所角的正弦值為

22

．：如，在四錐PABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD//BC,ABC2AD2，面平ABCD．（1）證明：BD面；（2）若

PDPC2

，求三棱錐的積．方提與析嘉趙學(xué)解析（1）因?yàn)樗睦忮FPABCD的底面ABCD是直角梯形，//BC,ABC，ADBD

AB

AD

DC

，可得：BDCDBDDC，因?yàn)槠矫嫫紸BCD，平面

平面，又BD平面ABCD，BD面PCD．（2）

PD

，取CD中點(diǎn)O，結(jié)，由（1）知DC，則PCD為等邊三角形POCD，因?yàn)槠矫嫫矫?，平PCD，且平面

6平面ABCD，平面，PO，2V

116S212：三棱錐ABCA1

中在腰直角中ACB

，BC，點(diǎn)A在面ABC上1投影在邊中點(diǎn)E，分為CC，B的等分點(diǎn)（靠近于C、處）11（3求證：//

平面（4求直線A

與平面所成角的正弦值方提與析杭沙廣解1（間建）

,B1（）上等點(diǎn)D靠近于點(diǎn)接AN、AC．,B1在

中，由相似知

2AACM，有ND//AA//CC//CM3所以四邊形為行四邊形，即//，因MN平面ABC，CDABC所以MN//平面ABC（C為點(diǎn)CB為軸C且垂直于面ABC為z軸立空間直角坐標(biāo)系B(0,1,0)，A(,0,2

)

，1()，BA,)，,23設(shè)平面MBN即平面M

的法向量為n)

，則