2021屆高考數(shù)學教學案第章 第7講 解三角形應用舉例含解析

學必求其心得，業(yè)必貴于專精屆數(shù)學人教一輪創(chuàng)新學案：第第講解三形應用舉含解析第

解三角應舉例［考綱解讀]能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關的實際問題重點）2．利用正、余弦定理解決際問題，主要考查根據(jù)實際問題建立三角函數(shù)模型，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題．點)［考向預測]從近三年高考情況來看，本講是高考中的一個考查內(nèi)容．預計會強化對應用問題的考查．以與三角形有關的應用問題為主要命題方向，結(jié)合正、余弦定理求解平面幾何中的基本量實際背景中求距離、高度、角度等均可作為命題角度．試題可以為客觀題也可以是解答題，難度以中檔為主。對應學生用書P0821.仰角和俯角在視線和水平線所成的角中，視線在水平線錯!上方的角叫仰角，在水平線錯!下方的角叫俯角圖①)

學必求其心得，業(yè)必貴于專精2．方位角從指北方向順時針轉(zhuǎn)到目標方向線的水平角如B點的方位角為α(圖②3．方向角相對于某一正方向的水平角．（1）北偏東α,即由指北方向順時針旋轉(zhuǎn)α到達目標方向（如圖③)．北偏西α,即由指北方向逆時針旋轉(zhuǎn)α到達目標方向．）南偏西其他方向角類似．4．坡角與坡度（1）角：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)（如圖④，角θ為坡角（2）坡度：坡面的鉛直高度與水平長度之比（如圖④i為坡度坡度又稱為坡比．1．概念辨析東北方向就是北偏東45°的方向

)從望的仰角為α從處望的俯角為β則αβ的關系為α＋β＝180°

)（方位角方向角其實質(zhì)是一樣的，均是確定觀察點與目標點之間的位置關系．()位角大小的范圍是[0,2π角大小的范圍一般是誤.（）答案

(1)√

（）（3）

（4)√

學必求其心得，業(yè)必貴于專精2．小題熱身某測量中設A在B的南偏東34°27′則在（

)A．北偏西34°27′．北偏西55°33′

B．北偏東55°33′．南偏西34°27′答案解析

A由方向角的概念知，B在北偏西34°27′.（2）已知AB兩地間的距離為10km，，兩地間的距離為20，現(xiàn)測得∠＝120°，則A兩地間的距離為（）A．10km．10錯!km

B．10錯誤km．10錯!答案

D10

解析由余弦定理可得，AC22＋202×10×20×錯＝700。

＝AB

＋

－ABCB＝∴AC＝10誤!(km)．如圖所示設,B兩點在河的兩岸,一測量者在A所在的同側(cè)河岸邊選定一點，測出,的距離為m∠ACB＝45°∠＝105°后就可以計算出，B兩點的距離為_。答案解析

502在△ABC中，ACB＝∠CAB＝，所以ABC＝180°－－＝30°，又因為＝50m，所以由正弦定理得＝錯!＝誤!＝錯誤!（．

學必求其心得，業(yè)必貴于專精（如圖從無人機A上測得正前方的河流的兩岸，C的俯角分別為，此時無人機的高是m則河的度約于________m用四舍五入法將結(jié)果精確到個位．參考數(shù)據(jù)：sin67°≈0。92cos67°≈0.39，n37°≈0.60cos37°≈0.80，≈1。73)答案解析

60由圖可知＝錯!在△ABC中由正弦定理可錯誤＝錯!，所以BC＝誤＝錯!錯!＝60(m題型一

對應學生用書P083測量距離問題1．一艘船以每小時15的速度向東航行，船在A處看到一個燈塔M北偏東60°方，行駛h，船到達處，看到這個燈塔在北偏東方向，這時船與燈塔的距離為（）A．15誤km．45錯!km

B．30錯誤km．60錯!答案解析

B作出示意圖如圖所示，依題意有AB＝15×4＝60，∠＝60°,∠＝，∴∠MAB，∠＝在△AMB中，由正弦定理，得錯誤!＝誤，解得BM＝302.

sin15°學必求其心得，業(yè)必貴于專精sin15°2．(2019·寧德模擬)海洋藍洞是地球罕見的自然地理現(xiàn)象，被喻為“地球留給人類保留宇宙秘密的最后遺產(chǎn)，我國擁有世界上最深的海洋藍洞若要測量如圖所示的藍洞的口徑B兩點間的距離，現(xiàn)在珊瑚群島上取兩點，D得＝80,∠＝135°，∠＝∠DCA，∠ACB120°則，B兩點的距離為________．答案

80

錯解析

由已知，在△ACD中，＝，∠＝150°，所以∠＝15°，由正弦定理，得80sin150°＝＝誤＝錯誤＋錯誤)，在△BCD，∠＝∠＝135°，所以∠＝由正弦定理錯!＝誤!，得＝錯!＝誤!＝160sin15°＝40(誤－錯誤）;

學必求其心得，業(yè)必貴于專精在△ABC中，由余弦定理,AC2＋2－2·∠1600×（8＋錯誤）＋（8－錯誤＋2×1600×（誤＋錯!（錯!－誤)×錯!＝1600×161600×4＝32000，解得＝誤，則，點的距離為80誤。（1）測量距離問題無論題型如何變化，即兩點的情況如何變化，實質(zhì)都是要求這兩點間的距離，無非就是兩點所在三角形及其構(gòu)成元素的所知情況不同而已，恰當?shù)禺嫵稣页觯┻m合解決問題的三角形是解題的基礎，將已知線段長度和角度轉(zhuǎn)化為要解的三角形的邊長和角是解題的關鍵．）求距離題的兩個策略①選定或確定要創(chuàng)建的三角形，首先確定所求量所在的三角形，若其他量已知則直接求解；若有未知量,則把未知量放在另一確定三角形中求解．②確定用正弦定理還是余弦定理,如果都可用，就選擇更便于計算的定理．如圖在海岸線上相距錯!千的A兩地分別測得小島B在A的北西α方向在的北偏西錯!－向，且＝誤!,則，之間的距離是（

)

學必求其心得，業(yè)必貴于專精A．30誤千米．12錯!千米

B．30米．12千米答案解析

D由題意得AC＝26,＝錯!＝cos＝誤，＝錯!＝cos2＝21＝錯!，在△ABC中由正弦定理得＝錯!＝誤!＝12，則B與的距離是12千米．題型二

測量高度問題12019·長沙一中模擬）如在路邊安裝路燈，路寬為OD燈柱高為10，燈桿AB長為1m，且燈桿與燈柱成，路燈采用圓錐形燈罩,其軸截面的頂角為2，燈罩軸線AC與燈桿垂直．若燈罩截面的兩條母線所在直線中的一條恰好經(jīng)過點，另一條與地面的交點為E則該路燈照在路面上的寬度OE長是________。答案解析

錯!在△AOB,由余弦定理可得＝誤!由正弦定理得sin∠BAO＝錯誤!，因為∠BAOθ＝錯誤!，所以cos＝∠BAO＝錯誤!＝錯!,則sin2θ＝2sinθ＝錯誤!

學必求其心得，業(yè)必貴于專精易知∠＝60°，則sin∠＝（－錯!，在△AOE，由正弦定理可得OE錯!＝誤m.2．如圖小明同學在山頂A處觀測到一輛汽車在一條水平的公路上沿直線勻速行駛，小明在處測得公路上，C兩點的俯角分別為30°，45°，且＝若山高AD＝m,汽車從B點到點歷時這輛汽車的速度約為_______m/s（精確到0.1)．參考數(shù)據(jù)：錯!≈1.414，錯!。答案解析

22。因為小明在處測得公路上BC兩點的俯角分別為30°，所以∠BAD＝∠CAD＝設這輛汽車的速度為，則BC＝v在eq\o\ac(△,Rt)ADB中，錯!＝誤＝200。在eq\o\ac(△,Rt)ADC中＝錯!＝誤!＝誤!.在△ABC中由余弦定理，得2＝ACAB2ACBAC，所以14v)＝（100錯!）2＋22×100誤!所以v＝誤≈226,所這輛汽車的速度約為22.6m/s.求解高度問題的注意事項（1）理解仰角、俯角（它是在鉛垂面上所成的角)方向(位）角（它是在水平面上所成的角）等的定義．（在實際題中可能會遇到空間與平（地面)時研究的

學必求其心得，業(yè)必貴于專精問題，這時最好畫兩個圖形，一個空間圖,一平面圖形,這樣處理起來既清楚又不容易搞錯．如舉例說明。注意山或塔垂直于地面或海平面空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題．1．如,在地面高的熱氣球上，觀測到山頂處的仰角為山腳A的俯角為已知∠BAC＝60°，則山的高為()A．700m．600m

B．m．560m答案解析

在eq\o\ac(△,Rt)AMD中AM＝誤＝錯!＝400誤（在△MAC中，∠AMC＝15°＝，∠＝45°－＝75°，∠MCA－∠－MAC＝正弦定理得AC＝錯誤＝錯!＝錯（eq\o\ac(△,Rt)ABCBC＝sin∠＝400錯誤!＝（m2．如圖所示，為測量山高MN選擇A和另一座山的山頂為測量觀測點．從測得M的仰角∠MAN＝C點的仰角∠CAB＝45°及∠MAC＝從C點測得∠＝60°.已知山高＝100m,則山高MN＝

學必求其心得，業(yè)必貴于專精________m.答案解析

150在△ABC中,＝1002在△MAC中誤＝錯!解得MA＝錯誤!在△中錯誤!sin60°＝誤故MN＝，即山高為150m題型三

測量角度問題1在某點測得建筑物AE的頂端A的仰角為θBE方向前進30至點C處測得頂端A的仰角為θ繼續(xù)前10錯!至D點，測得頂端仰角為4則θ的大小為________答案解析

在△ACD中，AC＝＝，＝CD＝10錯!,∠＝180°－θ,由正弦定理得錯!＝誤!，所以錯!＝誤，＝錯!，所以θ＝，＝2．在一次海上聯(lián)合作戰(zhàn)演習中，紅方一艘偵察艇發(fā)現(xiàn)在北偏東向，相距12mile水面上，有藍方一艘小艇正以每小時n的速度沿南偏東75°方向前進若紅方偵察艇以每小時

學必求其心得，業(yè)必貴于專精14mile的速度沿北偏東α向攔截藍方的小艇．若要在最短的時間內(nèi)攔截住，求紅方偵察艇所需的時間和角α正弦值．解

如圖，設紅方偵察艇經(jīng)過小時后在C處攔截住藍方的小艇則AC＝14x＝10x∠＝120°.根據(jù)余弦定理得x

＝12

2

＋(10

－240cos120°，解得x＝故AC＝28，＝20。根據(jù)正弦定理得錯!＝錯!，解得sin＝誤!＝誤。所以紅方偵察艇所需的時間為小時，角α正弦值為錯!.解決測量角度問題的注意事項（1）測量角度時，首先應明確方位角及方向角的含義．（求角的小時，先在三角形中求出其正弦或余弦值．（3在解應用題時要根據(jù)題意正確畫出示意圖通過這一步可將實際問題轉(zhuǎn)化為可用數(shù)學方法解決的問題，解題中也要注意體會正、余弦定理"使用的優(yōu)點．如圖所示位于處的信息中心獲悉:在處的正東方向相距海的B處有一艘漁船遇險，在

學必求其心得，業(yè)必貴于專精原地等待營救信息中心立即把消息告知在A處的南偏西30°相距海里的C處的乙船，現(xiàn)乙船朝北偏東θ的方向沿直線前往救援則cos等于(

）A。錯!

B.

錯。

錯!

D.

錯!答案解析

B在△ABC中，AB＝AC＝，∠BAC＝由余弦定理得BC2＝ABAC2－AB＝以＝207.由正弦定理得ACB＝誤·sin∠＝錯誤!。由∠＝120°知∠ACB為銳角故cos＝錯!故cos＝∠ACB＋30°）＝cos∠·cos30°－∠ACB＝錯!.對應學生用書P285組

基礎關1．如圖所示，為了測量某泊兩側(cè)AB間的距離，李寧同學首先選定了與，B不共線的一點C（△ABC的角，B，所對的邊分別記為a,c然后給出了三種測量方案：①測量，,②測量，b,C；③測量，B，a。則一定能確定A間的距離的所有方案的序號為（）A．①②

B．②③

sin45學必求其心得，業(yè)必貴于專精．①③sin45

．①②③答案解析

D知兩角一邊可用正弦定理解三角形故案①③可以確定B間的距離，知兩邊及其夾角可用余弦定理解三角形，故方案②可以確定,B間距離．2．如圖所示，一座建筑物的高為(30－10，在該建筑物的正東方向有一座通信塔CD。在它們之間的地面上的點M(，M，D三共線）處測得樓頂A，塔頂仰角分別是在樓頂測得塔頂C的仰角為，則通信塔CD的高為()A．30．303

B．60m．403m答案解析

B在eq\o\ac(△,Rt)ABM中AM＝誤＝錯!＝錯!＝20錯誤m點A作AN⊥CD于點，如圖所示．易知∠＝∠AMB15°,所以∠MAC＝30°＋15°45°.又∠15°－60°105°,MC所以∠＝。在△AMC中，由正弦定理得＝錯誤，解得MC＝40誤．在eq\o\ac(△,Rt)CMD中,CD＝40誤×sin60°＝故通信塔的高為60m.

學必求其心得，業(yè)必貴于專精3．如圖，兩座相距60的建筑物AB，的度分別為BD為水平面則從建筑物AB的頂端建筑物CD張角∠等于（

)A．．

B．45°．答案解析

B依題意可得AD＝2010＝305m,又CD＝50，所以在△中，由余弦定理得cos∠＝錯!＝誤＝錯誤＝錯!,又

0°<∠CAD所以∠＝，所以從頂端A看建筑物的張角為45°.4．如圖所示，一艘海輪從出發(fā),測燈塔在海輪的北偏東向，與海輪相距20nmile，海輪按北偏西60°的方向航行了min到達處，又測得燈塔在海的北偏東75°的方向上，則海輪的速度為()A。錯!nmile/min．錯!nmile/min

B。誤!nmile/min．10錯!答案

A

學必求其心得，業(yè)必貴于專精解析錯!所以

由已知得∠ACB45°，B，由正弦定理得錯!＝＝錯!＝錯!＝10錯!,所以海輪航行的速度為錯誤!＝錯!mile/min)5如圖測量河對岸的塔高時可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個測點C與D,測得∠BCD＝15°,∠＝＝30，并在點處測得塔頂A的仰角為60°,則塔高AB等于（）A．6

B．15．

錯!

．15

錯答案解析

D在△BCD中，∠CBD＝－＝135°。正弦定理得錯!＝誤所以BC＝15錯!在eq\o\ac(△,Rt)中＝BC∠ACB＝15錯!×誤!＝15錯!。6．線段AB外有一點,∠ABC＝60°,AB＝200km，汽車以km/h速度由A向行駛,同時摩托車以50km/h的速度由C行駛，則運動開始________后，兩車的距離最小．答案解析

錯!如圖所示設t后汽車由A行駛到D摩托車由駛到E則AD＝，BE＝50t因為＝所以BD＝200－t問題就是求DE最小時t的．由余弦定理得＝BD22BD＝80t)2＋25002－－t）t＝t242000＋。

學必求其心得，業(yè)必貴于專精當t＝錯誤時DE最?。M

能力關1．如圖，為了測量某濕，點間的距離，觀察者找到在同一直線上的三點D，E。從D點測得∠＝67。5°，從點測得∠ACD＝45°,∠BCE＝75°，從E點測得∠＝測得＝錯誤!，＝錯誤(位：百米)，則,B兩的距離為（

)A.

錯!

B．2

錯．

．

錯答案解析

根據(jù)題意，在△ADC中，∠＝45°,∠＝67.5°3，則＝－－67.5°＝。則＝23在△BCE，∠BCE＝∠BEC＝60°,＝錯誤則∠EBC＝180°－－＝則有誤＝錯!,變形可得BC＝誤＝錯誤!＝錯!,在△ABC中AC＝錯誤＝錯誤∠ACB＝180°－－∠BCE＝60°,則AB2

＝AC2

＋2

－ACBCACB＝9，則AB＝22019·惠州調(diào)研)如圖所示在一個坡度一定的山坡AC的頂上有一高度為m的建筑物CD，為了測量該山坡相對于水平地面的坡角山坡的A處測得∠＝，沿山坡前進50到達，又測得∠DBC＝

學必求其心得，業(yè)必貴于專精根據(jù)以上數(shù)據(jù)可得cos＝________。答案解析

3－由∠＝15°，∠DBC＝，可得∠＝135°，＝在△ABD中，根據(jù)正弦