2021屆北京市門頭溝區(qū)高三一模數(shù)學試題詳解版

2021年門頭溝高三一模數(shù)學

2021．3一選題本題10個小,小4分,分。在每題出四選中只有項符題要的1.復數(shù)

i(1i)

的模（）（）（）2.集合Axx，B{||2}，

（）

12（）R

（）[

（）(0,2]

（）二式(x

)x

展開式中，的數(shù)（）

（）

（）

（）某棱錐的三視圖如圖所示，則此四棱錐最長的棱長為（）2（）

（）2（）5.數(shù)列

{}，n1

n

數(shù)nn

滿足|則列

n

的前

項和

n|（）（）33

（）

2

（）

n

6.京西某游樂園的摩天輪采用了內(nèi)首創(chuàng)的橫梁結構，風格更加簡摩天輪直徑8米最高點離地面米勻運行一圈的時間是18分由受到周邊建筑物的影響乘客與地面的距離超過34米，可視為最佳觀賞位置，在運行的一圈里最佳觀賞時長為（）分鐘（）分鐘（）14分鐘（）分7."ln(0"立的一個必要而不充分條件是1（（（

（）8.在平面直角坐標系xOy中角與均Ox為始邊，它們的終邊關于軸稱．若cos

25

，則cos(（）

3（）

（）1

（）

1

，，9.已知拋物線C:2px的點為F，點A為物線上坐標為的點，過點A的直線交x軸正半軸于點，為正三角形，則（）

（）2

（）9

（）1810.在平面直角坐標系中，從點

(

向直線

kx

作垂線，垂足為

M

，則點Q(2,4)

與點

M

的距離MQ的小值是A.52

B.

2

C.

D.17二填題本題5小，小5分滿25分）在中，

23

，AB，則的長為

.12.在邊長為的方體

C111

中，點是正體表面及其內(nèi)部的一動點，且

BM/平A，動點M的跡所形成區(qū)域的面積是

.13.已知雙曲線的心在坐標原點，且經(jīng)過點

(2,

，下列條件中哪一個條件能確定唯一雙曲線C該件的序號是；足該條件的雙曲線的準方程是

.條件①雙曲線

的離心率

；條件②雙曲線C漸近線方程為x條件③雙曲線C實軸長為.

；14.函數(shù)()

cos

3cos

32

0)

ππ在區(qū)間()上調，且2ππ.f()()，則的小值為6215.正ABC的邊長為，心為，的直

l

與邊AB分相交于點N，AM

，AN

，DC.給下列四個結論：①

1AB3②若

，

③

1

1

不是定值，與直線l的置有關2

4④△與的積之比的最小值為9其中所有正確結論的序號是

.三、解題本大共6題滿分分解應寫文說、算驟證）16.(本題滿分12分第24屆季奧運會將于2022年2月在北京和張家舉辦。為了普及冬奧知識京西某校組織全體學進行了冬奧知識答題比賽全眾多學生中隨機選取了20名學生作為樣本，得到他們分數(shù)統(tǒng)計如下：分數(shù)段人數(shù)

[30,40)[40,50)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]12831我們規(guī)定60分下為不及格分以上至70分下為及格分以上至80分下為良好；分以上為優(yōu)秀．（Ⅰ這20名生中隨機抽取2名生，恰好2名學生都是優(yōu)秀的概率是多少？（Ⅰ上樣本統(tǒng)計中的頻率視為概，從全校學生中隨機抽取2人，以X表這2人中優(yōu)秀人數(shù)，求X

的分布列與期望17.（本小題滿分15分如圖棱P中ABCD為形底面ABCDABC

π，3且是上任一,AC

（Ⅰ）求證：平面EBD平面PAC；（ⅡE是PC的點ED與面EBC成角的正弦值．（小題滿分13分已知各項均為正數(shù)的數(shù)列

{}其項為.數(shù).nn

{}n

為等差數(shù)列，滿足12,.再條件①、條件②這二個條件中選擇一個作為己知，求解下列問題：（Ⅰ數(shù)

{}n

的通項公式和的n和S；n3

**（Ⅰ對意nN不等式kS恒成立，求k的值范圍條件①2S

條件②a，2，a

注：如果選擇條件①、條件②分別解答，按第一個解答計分．19.（本小題滿分15分曲線上一點()到點F距之和為2,點P,y)曲線C上點線l過且與直線x垂直直l與軸于一點.（Ⅰ）求曲線C的方程及點Q坐標（用點P(x,y)的標表示（Ⅱ）比較

與

QFQF

的大小，并證明你的結論20.（本小題滿分15分已知函fx

1ax2

(aR)．（Ⅰ函()在(0,單遞增，求的值范圍；（Ⅰ函

f(

在區(qū)間存在極大值M，明：

a2

．4

21.（本小題滿分15分對一個非空集合，果集合D足如下四個條件：①

D{(,)a,bA}

；②，(,a)D③bA，(,b)D且

(b,)

，則④,c，(,)D且()D，(ac)D則稱集合D為A的個偏序關系。（Ⅰ設A判斷集合D{(1,1),(1,2),(2,2),(2,3),(3,3)}是是集合A

的偏序關系請你寫出一個含有4個素且是集合的偏序關系的集合D。（Ⅱ）證明：Ra,baR,bRa}是實數(shù)集R的一個偏序關系；（Ⅲ）設E為合的個偏序關系，,b。若存在A，使得(a)E，b，且若(d,)，(d,b)，一定有(,，則稱是a和的，記為c證明：對A中的兩個給元素,b若a存，則一定唯一。5

222224522222452021年門頭溝高三一模數(shù)學

2021．3一選題本題10個小,小4分,分。在每題出四選中只有項符題要的1.復數(shù)

i(1i)

的模（）解：z

（），z1

（），A.2

（）

122.集合Axx，B{||

≤2}，

AB（）R

（）[

（）(0,2]

（）解：數(shù)，定交是，C.3.二項式)x（）

展開式中，（）

的系數(shù)是（）

（）解：

2))x

，A.4.某四棱錐的三視圖如圖所示，此四棱錐最長的棱長為（）2（）

（）22（）23解：視左左圖，視的后點最棱體角線3，選D.5.數(shù)列

{}，an

n

，列n

滿足，數(shù)前項nn（）

|（）33

（）

2n

（）

解：

n

是項1，公為2等數(shù)，

1)1

，選C.6

或，，選B.則或，，選B.則則p(3)ppp6.京西某游樂園的摩天輪采用了內(nèi)首創(chuàng)的橫梁結構，風格更加簡摩天輪直徑88米最高點離地面100米勻速運行一的時間是8分由受到周邊建筑物的影響乘客與地面的距離超過34米，可視為最佳觀賞位置，在運行的一圈里最佳觀賞時長為（）10鐘（）分鐘（）14分（）16分解：右點直的線可不最觀位的度120

，故運的圈最觀時為8

360360

12

分，B.7."ln(0"立的一個必要而不充分條件是（）

1（）x（）

（）解：先定誰誰以.條可出項但項不條.ln(x，故D.

，

；8.在平面直角坐標系xOy中角與均Ox為始邊，它們的終邊關于

軸對稱．若

25

，則cos(（）

3（）

（）1

（）

解：

25

，

555故cos

25515355259.已知拋物線C:

px的焦點為F，為拋物線C上橫坐標為3的，過點的直線交x軸正半軸于點，且ABF為三角形，則（）（）解：點在第象，(3,6p)

（

（）當

pp2

2

化簡2)(解舍當

，，2p2

2

，得

（，

（，時在x軸的半，解故7

12，，212，，210.在平面直角坐標系中，從點

(

向直線

kx

作垂線，垂足為

M

，則點Q(2,4)

與點

M

的距離MQ的小值是A.

B.

C.

D.17解：化直過點A

，點在以AP為徑圓,小數(shù)故

MQ

最值點導圓的離-徑即(2min

，A.二填題本題5小，小5分滿25分）在中，

2π，AB，則的長為3

.解：弦理

bcosB，故AC.212.在邊長為的方體

C111

中，點是正體表面及其內(nèi)部的一動點，且

BM/平A，動點M的跡所形成區(qū)域的面積是

.解：直等模，面ACD//

平ABC，故點的軌為面A，111則點M的軌所成域面是

34

)23

.13.已知雙曲線的心在坐標原點，且經(jīng)過點

(2,

，下列條件中哪一個條件能確定唯一雙曲線

該條件的序號是；足條件的雙曲線

的標準方程是

.條件①雙曲線C離心率e條件②雙曲線條件③雙曲線

的漸近線方程為的實軸長為.

；解若選①焦可在x軸上或y軸不唯確雙線以號②因3，以點

軸，

b233aa

，得

，b

，故足條的曲

C

的準程x.38

11，，21111111112211，，21111111112214.函數(shù)()sincos3ππ.f()()，則的小值為62

32

0)

ππ在區(qū)間()上調，且2解：f(x)sin3)2223

ππ，在間()上單調6ππ且()f()，故62

22f()sin()3333

k2

(0)，故時取最值1.15.正ABC的邊長為，心為O，O的直線l與邊ABAC分相交于點N，AMABANAC1①AB3

，

.給下列四個結論：②若

，則AD

③

1

1

不是定值，與直線

l

的位置有關④△與的積之比的最小值為其中所有正確結論的序號是.解：

49

對①正角五合，AO對②

211()323

，確ADAC)ACAB2623624

正確；對③ACAM，因M,,N三點線則333

，故

1

1

，③誤小數(shù)對④因

1

，故故

49

，ABC

1212

ANAABA

AB

，④確.故①④9

222222三、解題本大共6題滿分分解應寫文說、算驟證）16.(本題滿分12分第24屆季奧運會將于2022年2月在北京和張家舉辦。為了普及冬奧知識京西某校組織全體學進行了冬奧知識答題比賽全眾多學生中隨機選取了20名學生作為樣本，得到他們分數(shù)統(tǒng)計如下：分數(shù)段人數(shù)

[30,40)[40,50)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]12831我們規(guī)定60分下為不及格分以上至70分下為及格分以上至80分下為良好；分以上為優(yōu)秀．（Ⅰ這20名生中隨機抽取2名生，恰好2名學生都是優(yōu)秀的概率是多少？（Ⅰ上樣本統(tǒng)計中的頻率視為概，從全校學生中隨機抽取2人，以X

表示這2人中優(yōu)秀人數(shù)，求X

的分布列與期望解Ⅰ設好2名生是秀一件………………CP()C

……注如沒設給了也分（）每同為秀一件B，題可得

41()205

……分X

可0，2……………1分111(X0)),P(1),P(X2()552525……………分X

12P

1625

825

125………………1分12EX55

………………2分

,y),y)3,3)n（小題滿分15分圖四棱錐PABCD中面ABCD為菱形，PA，PA底面ABCD，

π，且E是PC上一點AC3

BDO.（Ⅰ）求證：平面EBD平面PAC；（Ⅱ）若E是PC的點，求與平面EBC所成角的正弦值．解Ⅰ

平BCDPABD

（1）底形可又PAACA

AC

（2）由1（）可，

BD平面P

…分BD平EBD平EBD面

……2分（）

E是的中，結，則

OE平面BCD

…分所，

,

兩垂，立圖示坐系…不設AB，則

(3,0,0),D3,0,0),E(0,0,1)

…2分設面

的向為

，

…1分直DE的方向量…………1分n12

121

……直與面所角正弦為

217

……………分

*221*221（小題滿分13分已知各項均為正數(shù)的數(shù)列

{}n

其

項和為

n

.數(shù)列

{}n

為等差數(shù)列，滿足12,.再條件①、條件②這二個條件中選擇一個作為己知，求解下列問題：（Ⅰ數(shù)

{}n

的通項公式和的和；n（Ⅰ對意nN不等式kS恒成立，求k的值范圍條件①2S

條件②a，2，a

注：如果選擇條件①、條件②分別解答，按第一個解答計分．選①（）：

n

時

………………1分當

n2

時

an

n

S

n

（1）

ann

n

（2）式減：nnn

n

………2分而

an

，得

an

n

，列

{}n

為差列…………1分，annn

………………分n

n2

……（）

bdn1

，

b12,b25

，入：

bn

……分由

kS得：knn

12n12n(nn

………分設

n

12n

，

{}n

是減列…分所，

122

，

n

達最…1分所，

的值圍

[

………選②解Ⅰ當n2a

aa

，……當n2n2)n……

nn所，

9n2

…………1分

(1)(2n2

……（）

bd，b12,bn1

，入：

nn

……分由

kSnn

得

6nn

………設

n6c2965

，……………6綜所，的值圍[……1分5

19.（本小題滿分15分曲線上一點()到點F距之和為2,點P,y)曲線C上點線l過P且與直線垂,線l與x軸于一點.（Ⅰ）求曲線C的方程及點Q坐標（用點P(x,y)的標表示（Ⅱ）比較

與

QFQF

的大小，并證明你的結論解Ⅰ由意知曲是焦在x軸的圓，a…2分曲的方為

x2

y……………當0時，線lx軸重合不題當0時直l與y軸重，Q是點Q(0,0)………………當時由意：kl

，直l方程yy…分得Q

x

……分綜所，Q

x

…………………分（）x,y)滿足程

x2

y

…………PFPF

(y(y

……………分將y

x2

代整得

PFPF

y

1212

……xx2

…………1分所，

=

QFQF

…………………

//x///////2/2//x221111//x///////2/2//x22111120.（本小題滿分15分已知函fx

1ax2

(aR)．（Ⅰ函()在(0,單遞增，求a的值范圍；（Ⅰ函

f(

在區(qū)間存在極大值M，明：

a2

．解Ⅰf(x)………由意：f()ax…1分x設(x)，導：g(x)…xg()在間(0,1)上，區(qū)增g(的小為(1)…1分所，a…………1分（Ⅰ由Ⅰ可知當時，數(shù)f()在(0,遞增無大1分所，…………1分設h()f

/

()

ax，則h

/

(x

………………f(x)在(0,lna)上減，(lna增f(x)的最小f(ln)a(1a)1分而f(0)，f，(ln)(aln)，設t(x)xx，求得

/

()

xx

t(x)(e)，所，f(ln)(lna)…由點在理：f

/

()在(0,ln)，(ln上別一個點xx，1即f(x)e1

axf(x)12

，0x…分21f(x)在(0,x)上增在減在(x增f(x極值f()1分1111Mfx)1axaxax(2)由值等得2分2222

設1，設1