高中數(shù)學人教B版第一章立體幾何初步 第1章3

學業(yè)分層測評(建議用時：45分鐘)[學業(yè)達標]一、選擇題1．兩個半徑為1的鐵球，熔化后鑄成一個大球，則這個大球的半徑為()\r(3,2) \r(3,3)C．2eq\r(3,2) \r(2)【解析】設大球的半徑為r，則eq\f(4,3)π×13×2＝eq\f(4,3)πr3，∴r＝eq\r(3,2).【答案】A2．設正方體的表面積為24，那么其外接球的體積是()\f(4,3)π \f(8π,3)C．4eq\r(3)π D．32eq\r(3)π【解析】由題意可知，6a2＝24，∴a設正方體外接球的半徑為R，則eq\r(3)a＝2R，∴R＝eq\r(3)，∴V球＝eq\f(4,3)πR3＝4eq\r(3)π.【答案】C3．圓臺上、下底面面積分別是π、4π，側面積是6π，這個圓臺的體積是()\f(2\r(3),3)π B．2eq\r(3)\f(7\r(3),6)π \f(7\r(3),3)π【解析】S1＝π，S2＝4π，∴r＝1，R＝2，S側＝6π＝π(r＋R)l，∴l(xiāng)＝2，∴h＝eq\r(3).∴V＝eq\f(1,3)π(1＋4＋2)×eq\r(3)＝eq\f(7,3)eq\r(3)π.故選D.【答案】D4．如圖1-1-108，網格紙上正方形小格的邊長為1(表示1cm)，圖中粗線畫出的是某零件的三視圖，該零件由一個底面半徑為3cm，高為6cm的圓柱體毛坯切削得到，則切削掉部分的體積與原來毛坯體積的比值為()圖1-1-108\f(17,27) \f(5,9)\f(10,27) \f(1,3)【解析】由三視圖可知幾何體是如圖所示的兩個圓柱的組合體．其中左面圓柱的高為4cm，底面半徑為2cm，右面圓柱的高為2cm，底面半徑為3cm，則組合體的體積V1＝π×22×4＋π×32×2＝16π＋18π＝34π(cm3)，原毛坯體積V2＝π×32×6＝54π(cm3)，則所求比值為eq\f(54π－34π,54π)＝eq\f(10,27).【答案】C5．某幾何體的三視圖如圖1-1-109所示，則它的體積是()圖1-1-109A．8－eq\f(2π,3) B．8－eq\f(π,3)C．8－2π \f(2π,3)【解析】由三視圖可知，該幾何體是一個正四棱柱挖去一個圓錐，正四棱柱的體積為2×2×2＝8，圓錐的體積為eq\f(1,3)π×2＝eq\f(2π,3)，所以該幾何體的體積為8－eq\f(2π,3)，選A.【答案】A二、填空題6．一個長方體的三個面的面積分別是eq\r(2)，eq\r(3)，eq\r(6)，則這個長方體的體積為________．【解析】設長方體的棱長分別為a，b，c，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ab＝\r(2)，,ac＝\r(3)，,bc＝\r(6)，))三式相乘可知(abc)2＝6，所以長方體的體積V＝abc＝eq\r(6).【答案】eq\r(6)7．圓柱形容器內盛有高度為8cm的水，若放入三個相同的球(球的半徑與圓柱的底面半徑相同)后，水恰好淹沒最上面的球(如圖1-1-110所示)，則球的半徑是________cm.圖1-1-110【解析】設球的半徑為r，則由3V球＋V水＝V柱，得6r·πr2＝8πr2＋3×eq\f(4,3)πr3，解得r＝4.【答案】48．半徑為2的半圓卷成一個圓錐，則它的體積為________.【導學號：60870029】【解析】由題意可知該圓錐的側面展開圖為半圓，如圖所示，設圓錐底面半徑為r，高為h，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2πr＝2π，,h2＋r2＝4，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r＝1，,h＝\r(3).))∴它的體積為eq\f(1,3)×π×12×eq\r(3)＝eq\f(\r(3),3)π.【答案】eq\f(\r(3),3)π三、解答題9．一個三棱柱的底面是邊長為3的正三角形，側棱垂直于底面，它的三視圖如圖1-1-111所示，AA1＝3.(1)請畫出它的直觀圖；(2)求這個三棱柱的表面積和體積．圖1-1-111【解】(1)直觀圖如圖所示．(2)由題意可知，S△ABC＝eq\f(1,2)×3×eq\f(3\r(3),2)＝eq\f(9\r(3),4).S側＝3AC×AA1＝3×3×故這個三棱柱的表面積為27＋2×eq\f(9\r(3),4)＝27＋eq\f(9\r(3),2).這個三棱柱的體積為eq\f(9\r(3),4)×3＝eq\f(27\r(3),4).10．如圖1-1-112，一個圓錐形的空杯子上面放著一個半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，會溢出杯子嗎？請用你的計算數(shù)據說明理由．圖1-1-112【解】因為V半球＝eq\f(1,2)×eq\f(4,3)πR3＝eq\f(1,2)×eq\f(4,3)π×43＝eq\f(128,3)π(cm3)，V圓錐＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,3)π×42×10＝eq\f(160,3)π(cm3)，因為V半球<V圓錐，所以，冰淇淋融化了，不會溢出杯子．[能力提升]1．體積為52的圓臺，一個底面積是另一個底面積的9倍，那么截得的這個圓臺的圓錐的體積是()A．54 B．54πC．58 D．58π【解析】設上底面半徑為r，則由題意求得下底面半徑為3r，設圓臺高為h1，則52＝eq\f(1,3)πh1(r2＋9r2＋3r·r)，∴πr2h1＝12.令原圓錐的高為h，由相似知識得eq\f(r,3r)＝eq\f(h－h(huán)1,h)，∴h＝eq\f(3,2)h1，∴V原圓錐＝eq\f(1,3)π(3r)2×h＝3πr2×eq\f(3,2)h1＝eq\f(9,2)×12＝54.【答案】A2．(2023·長沙高一檢測)一個幾何體的三視圖如圖1-1-113所示，則它的體積為()圖1-1-113\f(20,3)\f(40,3)C．20 D．40【解析】由三視圖知該幾何體是一個放倒的四棱錐(如圖所示的四棱錐A-BCDE)，其中四棱錐的底面BCDE為直角梯形，其上底CD為1，下底BE為4，高BC為4.棱錐的高AB為4，所以四棱錐的體積為eq\f(1,3)×eq\f(1＋4,2)×4×4＝eq\f(40,3)，故選B.【答案】B3．(2023·蚌埠市高二檢測)圓錐的側面展開圖是圓心角為120°、半徑為2的扇形，則圓錐的表面積是________．【解析】因為圓錐的側面展開圖是圓心角為120°、半徑為2的扇形，所以圓錐的側面積等于扇形的面積＝eq\f(120×π×22,360)＝eq\f(4,3)π，設圓錐的底面圓的半徑為r，因為扇形的弧長為eq\f(2π,3)×2＝eq\f(4,3)π，所以2πr＝eq\f(4,3)π，所以r＝eq\f(2,3)，所以底面圓的面積為eq\f(4,9)π.所以圓錐的表面積為π×eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)＋2))＝eq\f(16,9)π.【答案】eq\f(16,9)π4．若E，F(xiàn)是三棱柱ABC-A1B1C1側棱BB1和CC1上的點，且B1E＝CF，三棱柱的體積為m，求四棱錐A-BEFC【解】如圖所示，連接AB1，AC1.∵B1E＝CF，∴梯形BEFC的面積等于梯形B1EFC1的面積．又四棱錐A-BEFC的高與四棱錐A-B1EFC1的高相等，∴VA-BEFC＝VA-B1EFC1＝eq\f(1,2)VA-BB1C1C，又VA-A1B1C1＝eq\f(