高中數(shù)學(xué)蘇教版本冊(cè)總復(fù)習(xí)總復(fù)習(xí) 2023版第3章對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)

第2課時(shí)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)1．掌握對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，并能運(yùn)用運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行對(duì)數(shù)的有關(guān)運(yùn)算．(重點(diǎn))2．了解換底公式．3．能用換底公式將一般對(duì)數(shù)化成自然對(duì)數(shù)或常用對(duì)數(shù)解題．(難點(diǎn))[基礎(chǔ)·初探]教材整理1對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)閱讀教材P75～P76，完成下列問題．1．符號(hào)表示如果a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，則(1)loga(MN)＝logaM＋logaN；(2)logaMn＝nlogaM(n∈R)；(3)logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN.2．文字表述(1)兩正數(shù)的積的對(duì)數(shù)等于這兩個(gè)正數(shù)的對(duì)數(shù)的和；(2)兩正數(shù)的商的對(duì)數(shù)等于被除數(shù)的對(duì)數(shù)減去除數(shù)的對(duì)數(shù)；(3)一個(gè)正數(shù)的n次冪的對(duì)數(shù)等于n倍的該數(shù)的對(duì)數(shù)．1．判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)積、商的對(duì)數(shù)可以直接化為對(duì)數(shù)的和、差．()(2)logax·logay＝loga(x＋y)．()(3)loga(－2)4＝4loga(－2)．()【解析】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)(1)只有正數(shù)積、商的對(duì)數(shù)才可以直接化為對(duì)數(shù)的和、差，(2)錯(cuò)誤，(3)中－2不能作真數(shù)．【答案】(1)×(2)×(3)×2．(1)log225－log2eq\f(25,4)＝________；(2)log28＝________.【解析】(1)log225－log2eq\f(25,4)＝log225×eq\f(4,25)＝log24＝log222＝2log22＝2.(2)log28＝log223＝3log22＝3.【答案】(1)2(2)3教材整理2換底公式閱讀教材P77～P78，完成下列問題．1．換底公式一般地，我們有l(wèi)ogaN＝eq\f(logcN,logca)，(其中a>0，a≠1，N>0，c>0，c≠1)，這個(gè)公式稱為對(duì)數(shù)的換底公式．2．與換底公式有關(guān)的幾個(gè)結(jié)論(1)logab·logba＝1(a，b>0且a，b≠1)；(2)logambn＝eq\f(n,m)logab(a，b>0且a，b≠1，m≠0)．若lg5＝a，lg7＝b，用a，b表示log75＝________.【解析】log75＝eq\f(lg5,lg7)＝eq\f(a,b).【答案】eq\f(a,b)[小組合作型]對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用計(jì)算下列各式的值．(1)lg2＋lg5；(2)log535＋2logeq\f(1,2)eq\r(2)－log5eq\f(1,50)－log514；(3)[(1－log63)2＋log62·log618]÷log64.【精彩點(diǎn)撥】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，先將式子轉(zhuǎn)化為只含有一種或幾種真數(shù)的形式再進(jìn)行計(jì)算．【自主解答】(1)lg2＋lg5＝lg(2×5)＝lg10＝1.(2)原式＝log5eq\f(35×50,14)＋2logeq\f(1,2)2eq\f(1,2)＝log553－1＝2.(3)原式＝[(log66－log63)2＋log62·log6(2·32)]÷log64＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log6\f(6,3)))2＋log62log62＋log632))÷log622＝[(log62)2＋(log62)2＋2log62·log63]÷2log62＝log62＋log63＝log6(2·3)＝1.1．對(duì)于同底的對(duì)數(shù)的化簡(jiǎn)要用的方法(1)“收”，將同底的兩對(duì)數(shù)的和(差)收成積(商)的對(duì)數(shù)；(2)“拆”，將積(商)的對(duì)數(shù)拆成兩對(duì)數(shù)的和(差)．2．注意對(duì)數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，如loga1＝0，logaa＝1，alogaN＝N.3．化簡(jiǎn)的式子中有多重對(duì)數(shù)符號(hào)時(shí)，應(yīng)自內(nèi)向外逐層化簡(jiǎn)求值．[再練一題]1．計(jì)算下列各式的值：(1)eq\f(1,2)lgeq\f(32,49)－eq\f(4,3)lgeq\r(8)＋lgeq\r(245)；(2)lg25＋eq\f(2,3)lg8＋lg5×lg20＋(lg2)2；(3)2log32－log3eq\f(32,9)＋log38－5log53.【解】(1)法一：原式＝eq\f(1,2)(5lg2－2lg7)－eq\f(4,3)×eq\f(3,2)lg2＋eq\f(1,2)(2lg7＋lg5)＝eq\f(5,2)lg2－lg7－2lg2＋lg7＋eq\f(1,2)lg5＝eq\f(1,2)lg2＋eq\f(1,2)lg5＝eq\f(1,2)(lg2＋lg5)＝eq\f(1,2)lg10＝eq\f(1,2).法二：原式＝lgeq\f(4\r(2),7)－lg4＋lg7eq\r(5)＝lgeq\f(4\r(2)×7\r(5),7×4)＝lg(eq\r(2)·eq\r(5))＝lgeq\r(10)＝eq\f(1,2).(2)原式＝2lg5＋2lg2＋lg5(2lg2＋lg5)＋(lg2)2＝2lg10＋(lg5＋lg2)2＝2＋(lg10)2＝2＋1＝3.(3)原式＝2log32－(log332－log39)＋3log32－3＝2log32－5log32＋2＋3log32－3＝－1.化簡(jiǎn)：【精彩點(diǎn)撥】將需表示式子中的真數(shù)用已知的式子中的真數(shù)表示出來．【自主解答】(1)log2(28×82)＝log2[28×(23)2]＝log2(28＋3×2)＝log2214＝14.(2)lg24＝lg(3×8)＝lg3＋lg8＝lg3＋3lg2.這類問題一般有兩種處理方法：一種是將式中真數(shù)的積、商、方根運(yùn)用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則將它們化為對(duì)數(shù)的和、差、積、商，然后化簡(jiǎn)求值；另一種方法是將式中的對(duì)數(shù)的和、差、積、商運(yùn)用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則將它們化為真數(shù)的積、商、冪、方根，然后化簡(jiǎn)求值．要特別注意loga(MN)≠logaM·logaN，loga(M±N)≠logaM±logaN.[再練一題]2．化簡(jiǎn)：(1)logeq\r(2)(45×82)；(2)logeq\f(1,3)27－logeq\f(1,3)9；(3)用lgx，lgy，lgz表示lgeq\f(x2\r(y),\r(3,z)).【解】(1)logeq\r(2)(45×82)＝logeq\r(2)(210×26)＝logeq\r(2)216＝16logeq\r(2)2＝16×2＝32.(2)logeq\f(1,3)27－logeq\f(1,3)9＝logeq\f(1,3)eq\f(27,9)＝logeq\f(1,3)3＝－1.(3)lgeq\f(x2\r(y),\r(3,z))＝lgx2＋lgeq\r(y)－lgeq\r(3,z)＝2lgx＋eq\f(1,2)lgy－eq\f(1,3)lgz.換底公式及其應(yīng)用(1)已知3a＝5b＝c，且eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝2，則c的值為________．(2)已知x，y，z為正數(shù)，3x＝4y＝6z,2x＝py.①求p；②證明：eq\f(1,z)－eq\f(1,x)＝eq\f(1,2y).【精彩點(diǎn)撥】用換底公式統(tǒng)一底數(shù)再求解．【自主解答】(1)由3a＝5b＝c，得a＝log3c，b＝log5c，所以eq\f(1,a)＝logc3，eq\f(1,b)＝logc5.又eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝2，所以logc3＋logc5＝2，即logc15＝2，c＝eq\r(15).【答案】eq\r(15)(2)①設(shè)3x＝4y＝6z＝k(k＞1)，則x＝log3k，y＝log4k，z＝log6k，由2x＝py，得2log3k＝plog4k，解得p＝2log34.②證明：eq\f(1,z)－eq\f(1,x)＝eq\f(1,log6k)－eq\f(1,log3k)＝logk6－logk3＝logk2，而eq\f(1,2y)＝eq\f(1,2log4k)＝eq\f(1,2)logk4＝logk2.故eq\f(1,z)－eq\f(1,x)＝eq\f(1,2y).1．換底公式即將底數(shù)不同的對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化成底數(shù)相同的對(duì)數(shù)，從而進(jìn)行化簡(jiǎn)、計(jì)算或證明．換底公式應(yīng)用時(shí)，一般換成以10為底的常用對(duì)數(shù)，或以e為底的自然對(duì)數(shù)，但也應(yīng)該結(jié)合已知條件來確定．2．換底公式推導(dǎo)出的兩個(gè)恒等式：(1)logamNn＝eq\f(n,m)logaN；(2)logab·logba＝1，要注意熟練應(yīng)用．[再練一題]3．計(jì)算：(log2125＋log425＋log85)(log52＋log254＋log1258)．【解】原式＝(log253＋log2252＋log235)(log52＋log5222＋log5323)＝(3log25＋log25＋eq\f(1,3)log25)·(log52＋log52＋log52)＝eq\f(13,3)·log25·3log52＝13.對(duì)數(shù)運(yùn)算在實(shí)際問題中的應(yīng)用2023年我國國民生產(chǎn)總值為a億元，如果年平均增長(zhǎng)8%，那么經(jīng)過多少年，我國國民生產(chǎn)總值是2023年的2倍？(已知lg2≈0，lg3≈1，lg≈4，精確到1年)【精彩點(diǎn)撥】認(rèn)真分析題意，找出其中各量之間的關(guān)系，列出式子，并利用對(duì)數(shù)運(yùn)算求解．【自主解答】設(shè)經(jīng)過x年，我國國民生產(chǎn)總值是2023年的2倍．經(jīng)過1年，總產(chǎn)值為a(1＋8%)，經(jīng)過2年，總產(chǎn)值為a(1＋8%)2，……經(jīng)過x年，總產(chǎn)值為a(1＋8%)x.由題意得a(1＋8%)x＝2a，即兩邊取常用對(duì)數(shù)，得lg＝lg2，則x＝eq\f(lg2,lg≈eq\f0,4)≈9(年)．答：約經(jīng)過9年，國民生產(chǎn)總值是2023年的2倍．解對(duì)數(shù)應(yīng)用題的步驟[再練一題]4．2000年我國國內(nèi)生產(chǎn)總值(GDP)為89442億元，如果我國的GDP年均增長(zhǎng)%左右，按照這個(gè)增長(zhǎng)速度，在2000年的基礎(chǔ)上，經(jīng)過多少年后，我國GDP才能實(shí)現(xiàn)比2000年翻兩番的目標(biāo)？(lg2≈0，lg≈6，結(jié)果保留整數(shù))．【解】假設(shè)經(jīng)過x年實(shí)現(xiàn)GDP比2000年翻兩番的目標(biāo)，根據(jù)題意，得89442×(1＋%)x＝89442×4，即＝4，故x＝4＝eq\f(lg4,lg≈.答：約經(jīng)過19年以后，我國GDP才能實(shí)現(xiàn)比2000年翻兩番的目標(biāo)．[探究共研型]含對(duì)數(shù)式的方程的解法探究1對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)有哪些？【提示】logaMN＝logaM＋logaN，logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN，logab＝eq\f(logcb,logca)，logaMn＝nlogaM，logambn＝eq\f(n,m)logab.探究2解對(duì)數(shù)方程logaM＝logaN，應(yīng)注意什么？【提示】eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(M＝N，,M>0，,N>0.))已知lgx＋lgy＝2lg(x－2y)，求logeq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,y)))的值．【精彩點(diǎn)撥】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)得到x，y的關(guān)系式，解方程即可．【自主解答】lgx＋lgy＝lg(xy)＝2lg(x－2y)＝lg(x－2y)2，由題知，xy＝(x－2y)2，即x2－5xy＋4y2＝0，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,y)))2－5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,y)))＋4＝0，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,y)－1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,y)－4))＝0，故eq\f(x,y)＝1或4.又當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，x－2y＝－y<0，故舍去，∴eq\f(x,y)＝4.∴l(xiāng)ogeq\f(1,2)eq\f(x,y)＝logeq\f(1,2)4＝－2.解含對(duì)數(shù)式的方程應(yīng)注意兩點(diǎn)：(1)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)；(2)對(duì)數(shù)中底數(shù)和真數(shù)的范圍限制．[再練一題]【解】原方程等價(jià)于3(2log3x)－4log42x2－12＝0，即3log3x2－4log4x－12＝0，∴x2－x－12＝0，∴(x＋3)(x－4)＝0，∴x＝4或－3.又eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>0，,x2>0，))∴x＝4，即原方程的解為x＝4.1．log227·log34＝________；log23·log310·lg8＝________.【解析】log227·log34＝log233·log322＝(3log23)·(2log32)＝6.log23·log310·lg8＝eq\f(lg3,lg2)·eq\f(lg10,lg3)·eq\f(lg8,lg10)＝eq\f(lg8,lg2)＝log28＝3.【答案】632．已知lg2＝a，lg7＝b，那么log898＝________.【解析】log898＝eq\f(lg98,lg8)＝eq\f(2lg7＋lg2,3lg2)＝eq\f(a＋2b,3a).【答案】eq\f(a＋2b,3a)3．若log5eq\f(1,4)·log4