高中數(shù)學(xué)人教A版第二章數(shù)列 全國優(yōu)質(zhì)課

第二章第1課時(shí)基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．(2023·湖南岳陽模擬)已知等差數(shù)列{an}的公差d≠0，且a3＝2a1，則eq\f(a1＋a3,a2＋a4)的值為eq\x(導(dǎo)學(xué)號54742264)(C)A．eq\f(5,6) B．eq\f(4,5)C．eq\f(3,4) D．eq\f(2,3)[解析]∵等差數(shù)列{an}的公差為d≠0，且a3＝2a1，∴a3＝a1＋2d＝2a1，∴a1＝2d，∴an＝2d＋(n－1)d＝(n＋1)∴eq\f(a1＋a3,a2＋a4)＝eq\f(2d＋4d,3d＋5d)＝eq\f(3,4).2．(2023·四川南充期中)已知m和2n的等差中項(xiàng)是4,2m和n的等差中項(xiàng)是5，則m和n的等差中項(xiàng)是eq\x(導(dǎo)學(xué)號54742265)(B)A．2 B．3C．6 D．9[解析]由題意得2n＋m＝8,2m＋n＝10.兩式相加得3m＋3n＝18，所以m＋n＝6，所以m和3．(2023·重慶理，2)在等差數(shù)列{an}中，若a2＝4，a4＝2，則a6＝eq\x(導(dǎo)學(xué)號54742266)(B)A．－1 B．0C．1 D．6[解析]根據(jù)題意知：a4＝a2＋(4－2)d，易知d＝－1，所以a6＝a4＋(6－4)d＝0.4．等差數(shù)列{an}中，a5＝33，a45＝153，則201是該數(shù)列的第()項(xiàng)eq\x(導(dǎo)學(xué)號54742267)(B)A．60 B．61C．62 D．63[解析]設(shè)公差為d，由題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋4d＝33,a1＋44d＝153))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝21,d＝3)).∴an＝a1＋(n－1)d＝21＋3(n－1)＝3n＋18.令201＝3n＋18，∴n＝61.5．等差數(shù)列的首項(xiàng)為eq\f(1,25)，且從第10項(xiàng)開始為比1大的項(xiàng)，則公差d的取值范圍是eq\x(導(dǎo)學(xué)號54742268)(D)A．d>eq\f(8,75) B．d<eq\f(3,25)C．eq\f(8,75)<d<eq\f(3,25) D．eq\f(8,75)<d≤eq\f(3,25)[解析]由題意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a10>1,a9≤1))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,25)＋9d>1,\f(1,25)＋8d≤1))，∴eq\f(8,75)<d≤eq\f(3,25).6．已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，且a1＝2，a2＋a3＝13，則a4＋a5＋a6等于eq\x(導(dǎo)學(xué)號54742269)(B)A．40 B．42C．43 D．45[解析]設(shè)公差為d，則a1＋d＋a1＋2d＝2a1＋3d＝4＋3d＝13，解得d＝3，所以a4＋a5＋a6＝(a1＋3d)＋(a1＋4d)＋(a1＋5d)＝3a1＋12二、填空題7．(2023·甘肅嘉峪關(guān)期末)已知△ABC的三邊a，b，c成等差數(shù)列，eq\r(a)，eq\r(b)，eq\r(c)也成等差數(shù)列，則△ABC的形狀為等邊三角形.eq\x(導(dǎo)學(xué)號54742270)[解析]由a，b，c成等差數(shù)列得a＋c＝2b.①由eq\r(a)，eq\r(b)，eq\r(c)成等差數(shù)列得eq\r(a)＋eq\r(c)＝2eq\r(b).②②2－①得2eq\r(ac)＝2b，即b2＝ac.將①平方得a2＋2ac＋c2＝4b2③，將b2＝ac代入③得a2＋2ac＋c2＝4ac，即(a－c)2＝0，∴a＝又∵a＋c＝2b，∴2a＝2b，∴a＝b，∴a＝b＝c.∴△ABC是等邊三角形8．一個(gè)直角三角形三邊長a、b、c成等差數(shù)列，面積為12，則它的周長為12eq\r(2).eq\x(導(dǎo)學(xué)號54742271)[解析]由條件知b一定不是斜邊，設(shè)c為斜邊，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2b＝a＋c,\f(1,2)ab＝12,a2＋b2＝c2))，解得b＝4eq\r(2)，a＝3eq\r(2)，c＝5eq\r(2)，∴a＋b＋c＝12eq\r(2).三、解答題9．成等差數(shù)列的四個(gè)數(shù)之和為26，第二個(gè)數(shù)和第三個(gè)數(shù)之積為40，求這四個(gè)數(shù).eq\x(導(dǎo)學(xué)號54742272)[分析]已知四個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，有多種設(shè)法，但如果四個(gè)數(shù)的和已知，常常設(shè)為a－3d，a－d，a＋d，a＋3d更簡單．再通過聯(lián)立方程組求解．[解析]設(shè)四個(gè)數(shù)分別為a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，則：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－3d＋a－d＋a＋d＋a＋3d＝26①,a－da＋d＝40②))由①，得a＝eq\f(13,2).代入②，得d＝±eq\f(3,2).∴四個(gè)數(shù)為2,5,8,11或11,8,5,2.[點(diǎn)評]對稱法設(shè)未知項(xiàng)(1)若三個(gè)數(shù)成等差可設(shè)為a－d，a，a＋d.(2)若四個(gè)數(shù)成等差，可設(shè)為a－3d，a－d，a＋d，a＋3d.請練習(xí)：已知單調(diào)遞增的等差數(shù)列{an}的前三項(xiàng)之和為21，前三項(xiàng)之積為231，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．[解析]設(shè)等差數(shù)列的前三項(xiàng)分別為a－d，a，a＋d，由題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－d＋a＋a＋d＝21,aa－da＋d＝231))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a＝21,aa2－d2＝231))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝7，,d＝±4)).∵等差數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，∴d＝4.∴等差數(shù)列的首項(xiàng)為3，公差為4.∴an＝3＋4(n－1)＝4n－1.10．已知等差數(shù)列{an}中，a15＝33，a61＝217，試判斷153是不是這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)，如果是，是第幾項(xiàng)？eq\x(導(dǎo)學(xué)號54742273)[分析]等差數(shù)列中只要已知首項(xiàng)和公差就可以寫出數(shù)列．由a15＝a1＋14d，a61＝a1＋60d解關(guān)于a1和d的方程組；也可以利用等差數(shù)列的通項(xiàng)是關(guān)于n的一次函數(shù)(d≠0)來考慮．[解析]解法一：設(shè)首項(xiàng)為a1，公差為d，由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋15－1d＝33,a1＋61－1d＝217))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝－23,d＝4))，∴an＝－23＋(n－1)×4＝4n－27，令an＝153，即4n－27＝153，得n＝45∈N*，∴153是所給數(shù)列的第45項(xiàng)．解法二：∵{an}不是常數(shù)列，∴{an}的通項(xiàng)公式是關(guān)于n的一次函數(shù)．假設(shè)153是該數(shù)列的第n項(xiàng)，則(15,33)，(61,217)，(n,153)三點(diǎn)共線．∴eq\f(217－33,61－15)＝eq\f(153－33,n－15)，解得n＝45∈N*.∴153是所給數(shù)列的第45項(xiàng)．能力提升一、選擇題11．等差數(shù)列前三項(xiàng)為x－1，x＋1,2x＋3，則這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為eq\x(導(dǎo)學(xué)號54742274)(C)A．a(chǎn)n＝2n＋1 B．a(chǎn)n＝2n－1C．a(chǎn)n＝2n－3 D．a(chǎn)n＝2n－5[解析]由條件知，2(x＋1)＝(x－1)＋(2x＋3)，∴x＝0，∴此等差數(shù)列的首項(xiàng)a1＝1，公差d＝2，∴an＝2n－3.12．若a≠b，兩個(gè)等差數(shù)列a，x1，x2，b與a，y1，y2，y3，b的公差分別為d1，d2，則eq\f(d1,d2)等于eq\x(導(dǎo)學(xué)號54742275)(C)A．eq\f(3,2) B．eq\f(2,3)C．eq\f(4,3) D．eq\f(3,4)[解析]由題意，得b＝a＋3d1＝a＋4d2，∴d1＝eq\f(b－a,3)，d2＝eq\f(b－a,4)，∴eq\f(d1,d2)＝eq\f(b－a,3)·eq\f(4,b－a)＝eq\f(4,3).13．設(shè)等差數(shù)列{an}中，已知a1＝eq\f(1,3)，a2＋a5＝4，an＝33，則n是eq\x(導(dǎo)學(xué)號54742276)(C)A．48 B．49C．50 D．51[解析]a1＝eq\f(1,3)，a2＋a5＝2a1＋5d＝eq\f(2,3)＋5d＝4，∴d＝eq\f(2,3)，又an＝a1＋(n－1)d＝eq\f(1,3)＋eq\f(2,3)(n－1)＝33，∴n＝50.二、填空題14．一個(gè)等差數(shù)列的前4項(xiàng)分別是a，x，b,2x，則eq\f(a,b)＝eq\f(1,3).eq\x(導(dǎo)學(xué)號54742277)[解析]由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＝a＋b，,2b＝3x，))∴a＝eq\f(x,2)，b＝eq\f(3,2)x，∴eq\f(a,b)＝eq\f(1,3).15．《九章算術(shù)》“竹九節(jié)”問題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面4節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升，則第5節(jié)的容積為eq\f(67,66)升.eq\x(導(dǎo)學(xué)號54742278)[解析]設(shè)此等差數(shù)列為{an}，公差為d，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a2＋a3＋a4＝3,a7＋a8＋a9＝4))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a1＋6d＝3,3a1＋21d＝4))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝\f(13,22),d＝\f(7,66))).∴a5＝a1＋4d＝eq\f(13,22)＋4×eq\f(7,66)＝eq\f(67,66).三、解答題16．設(shè){an}是等差數(shù)列，若am＝n，an＝m，(m≠n)，求am＋\x(導(dǎo)學(xué)號54742279)[解析]設(shè)公差為d，由題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋m－1d＝n,a1＋n－1d＝m))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝m＋n－1,d＝－1))，∴am＋n＝a1＋(m＋n－1)d＝(m＋n－1)－(m＋n－1)＝0.[點(diǎn)評]解答本題經(jīng)常出現(xiàn)的錯(cuò)誤是：am＋n＝am＋an＝m＋n.錯(cuò)因是，在等差數(shù)列中，只有當(dāng)兩項(xiàng)的序號和相等時(shí)，其對應(yīng)項(xiàng)的和才相等，而上述解答中，am＋an是兩項(xiàng)的和，而am＋n只有一項(xiàng)，雖然序號滿足但項(xiàng)數(shù)不符．17．(2023·黑龍江哈爾濱期中)已知f(x)＝eq\f(2x,x＋2)，在數(shù)列{an}中，a1＝eq\f(1,3)，an＝f(an－1)，n≥2，n∈N*.eq\x(導(dǎo)學(xué)號54742280)(1)證明：{eq\f(1,an)}是等差數(shù)列．(2)求a95的值．[解析](1)證明：因?yàn)閍n＝f(an－1)，所以an＝eq\f(2an－1,an－