新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題講測練思想02 運用數(shù)形結(jié)合的思想方法解題（精講精練）（解析版）

思想02運用數(shù)形結(jié)合的思想方法解題【命題規(guī)律】高考命題中，以知識為載體，以能力立意、思想方法為靈魂，以核心素養(yǎng)為統(tǒng)領(lǐng)，兼顧試題的基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性，展現(xiàn)數(shù)學(xué)的科學(xué)價值和人文價值．高考試題一是著眼于知識點新穎巧妙的組合，二是著眼于對數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)能力的考查．如果說數(shù)學(xué)知識是數(shù)學(xué)的內(nèi)容，可用文字和符號來記錄和描述，那么數(shù)學(xué)思想方法則是數(shù)學(xué)的意識，重在領(lǐng)會、運用，屬于思維的范疇，用于對數(shù)學(xué)問題的認(rèn)識、處理和解決．高考中常用到的數(shù)學(xué)思想主要有分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想等．【核心考點目錄】核心考點一：研究函數(shù)的零點、方程的根、圖象的交點核心考點二：解不等式、求參數(shù)范圍、最值問題核心考點三：解決以幾何圖形為背景的代數(shù)問題核心考點四：解決數(shù)學(xué)文化、情境問題【真題回歸】1．（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0．P為SKIPIF1<0所在平面內(nèi)的動點，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】依題意如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在以SKIPIF1<0為圓心，SKIPIF1<0為半徑的圓上運動，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；故選：D

2．（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）設(shè)SKIPIF1<0，對任意實數(shù)x，記SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0至少有3個零點，則實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍為______．【答案】SKIPIF1<0【解析】設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0．要使得函數(shù)SKIPIF1<0至少有SKIPIF1<0個零點，則函數(shù)SKIPIF1<0至少有一個零點，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．①當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，作出函數(shù)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的圖象如下圖所示：此時函數(shù)SKIPIF1<0只有兩個零點，不合乎題意；②當(dāng)SKIPIF1<0時，設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0的兩個零點分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，要使得函數(shù)SKIPIF1<0至少有SKIPIF1<0個零點，則SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；③當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，作出函數(shù)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的圖象如下圖所示：由圖可知，函數(shù)SKIPIF1<0的零點個數(shù)為SKIPIF1<0，合乎題意；④當(dāng)SKIPIF1<0時，設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0的兩個零點分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，要使得函數(shù)SKIPIF1<0至少有SKIPIF1<0個零點，則SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0．綜上所述，實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0．3．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知橢圓SKIPIF1<0，C的上頂點為A，兩個焦點為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，離心率為SKIPIF1<0．過SKIPIF1<0且垂直于SKIPIF1<0的直線與C交于D，E兩點，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的周長是________________．【答案】13【解析】∵橢圓的離心率為SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴橢圓的方程為SKIPIF1<0，不妨設(shè)左焦點為SKIPIF1<0，右焦點為SKIPIF1<0，如圖所示，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0為正三角形，∵過SKIPIF1<0且垂直于SKIPIF1<0的直線與C交于D，E兩點，SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0的垂直平分線，∴直線SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0，斜率倒數(shù)為SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0的方程：SKIPIF1<0，代入橢圓方程SKIPIF1<0，整理化簡得到：SKIPIF1<0，判別式SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0的垂直平分線，根據(jù)對稱性，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的周長等于SKIPIF1<0的周長，利用橢圓的定義得到SKIPIF1<0周長為SKIPIF1<0．故答案為：13．4．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）設(shè)點P在單位圓的內(nèi)接正八邊形SKIPIF1<0的邊SKIPIF1<0上，則SKIPIF1<0的取值范圍是_______．【答案】SKIPIF1<0【解析】以圓心為原點，SKIPIF1<0所在直線為SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0所在直線為SKIPIF1<0軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示：則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0．5．（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，D是AC中點，SKIPIF1<0，試用SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0為___________，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為____________【答案】

SKIPIF1<0

SKIPIF1<0【解析】方法一：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時取等號，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0．方法二：如圖所示，建立坐標(biāo)系：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以點SKIPIF1<0的軌跡是以SKIPIF1<0為圓心，以SKIPIF1<0為半徑的圓，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相切時，SKIPIF1<0最大，此時SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0．【方法技巧與總結(jié)】1、以形助數(shù)（數(shù)題形解）：借助形的生動性和直觀性來闡述數(shù)與形之間的關(guān)系，把抽象問題具體化，把數(shù)轉(zhuǎn)化為形，即以形作為手段，數(shù)作為目的解決數(shù)學(xué)問題的數(shù)學(xué)思想．2、以數(shù)輔形（形題數(shù)解）：借助于數(shù)的精確性、規(guī)范性、嚴(yán)密性來闡明形的某些屬性，把直觀圖形數(shù)量化，即以數(shù)作為手段，形作為目的解決問題的數(shù)學(xué)思想．【核心考點】核心考點一：研究函數(shù)的零點、方程的根、圖象的交點【典型例題】例1．（2023·河北衡水·高三周測）設(shè)SKIPIF1<0是定義在SKIPIF1<0上的偶函數(shù)，對任意的SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，且當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，則在區(qū)間SKIPIF1<0內(nèi)關(guān)于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0的根的個數(shù)為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】因為SKIPIF1<0是定義在SKIPIF1<0上的偶函數(shù)，對任意的SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以函數(shù)SKIPIF1<0的周期為SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，則SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，分別作出函數(shù)SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的圖象，如圖所示，則由圖象可知兩個函數(shù)的圖象的交點個數(shù)為SKIPIF1<0個，即方程SKIPIF1<0的零點個數(shù)為SKIPIF1<0個．故選：D．例2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)SKIPIF1<0的圖象上有且僅有四個不同的點關(guān)于直線SKIPIF1<0的對稱點在SKIPIF1<0的圖象上，則實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍是A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0任意一點SKIPIF1<0關(guān)于直線SKIPIF1<0對稱的點為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，而P在函數(shù)SKIPIF1<0上，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以函數(shù)SKIPIF1<0恒過定點SKIPIF1<0，（1）當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，設(shè)直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相切于點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，整理可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；（2）當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，設(shè)直線SKIPIF1<0與函數(shù)SKIPIF1<0相切于點SKIPIF1<0點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，整理可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時，在SKIPIF1<0時，函數(shù)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的圖象相交有2個交點；在SKIPIF1<0時，函數(shù)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的圖象相交有2個交點，故函數(shù)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的圖象相交有4個交點時的SKIPIF1<0的范圍是SKIPIF1<0．故選：C．例3．（2023·上海·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)f（x）＝x2＋ex－SKIPIF1<0（x<0）與g（x）＝x2＋ln（x＋a）的圖象上存在關(guān)于y軸對稱的點，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．SKIPIF1<0

B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0

D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】SKIPIF1<0關(guān)于SKIPIF1<0軸對稱得到的函數(shù)為SKIPIF1<0，依題意可知SKIPIF1<0與SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有公共點，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．對于函數(shù)SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，且SKIPIF1<0．對于函數(shù)SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增．當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0的圖像向右平移SKIPIF1<0個單位得到SKIPIF1<0，與SKIPIF1<0圖像在SKIPIF1<0上必有SKIPIF1<0個交點．當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0的圖像向左平移SKIPIF1<0個單位得到SKIPIF1<0，要使SKIPIF1<0與SKIPIF1<0圖像在SKIPIF1<0上有交點，則需當(dāng)SKIPIF1<0時（也即SKIPIF1<0軸上），SKIPIF1<0的函數(shù)值小于SKIPIF1<0的函數(shù)值，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．綜上所述，SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0．故選：B．例4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)SKIPIF1<0是定義在R上的偶函數(shù)，對任意的SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，且當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，若在區(qū)間SKIPIF1<0內(nèi)關(guān)于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0恰有三個不同的實數(shù)根，則實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】SKIPIF1<0對于任意的SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0函數(shù)SKIPIF1<0關(guān)于直線SKIPIF1<0對稱，又SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，且函數(shù)SKIPIF1<0是定義在SKIPIF1<0上的偶函數(shù)，故函數(shù)SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上的圖象如下圖所示：若在區(qū)間SKIPIF1<0，SKIPIF1<0內(nèi)關(guān)于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0恰有3個不同的實數(shù)解則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0故選：A核心考點二：解不等式、求參數(shù)范圍、最值問題【典型例題】例5．（2023春·山東棗莊·高三棗莊市第三中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0成立，則實數(shù)SKIPIF1<0的值是A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】函數(shù)SKIPIF1<0可以看作是動點SKIPIF1<0與動點SKIPIF1<0之間距離的平方，動點SKIPIF1<0在函數(shù)SKIPIF1<0的圖象上，SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0的圖象上，問題轉(zhuǎn)化為求直線上的動點到曲線的最小距離，由SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0曲線上點SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離最小，最小距離SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，根據(jù)題意，要使SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0恰好為垂足，由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．故選SKIPIF1<0．例6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若不等式SKIPIF1<0對任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】設(shè)SKIPIF1<0，則T的幾何意義是直線SKIPIF1<0上的點SKIPIF1<0與曲線SKIPIF1<0上的點SKIPIF1<0的距離，將直線SKIPIF1<0平移到與面線SKIPIF1<0相切時，切點Q到直線SKIPIF1<0的距離最?。鳶KIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，此時，Q到直線SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故選：B例7．（2023春·黑龍江黑河·高三嫩江市高級中學(xué)?？计谥校┰O(shè)函數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，若存在唯一的整數(shù)SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【答案】B【解析】由題意可知，存在唯一的整數(shù)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，構(gòu)造函數(shù)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0．所以，函數(shù)SKIPIF1<0的單調(diào)遞減區(qū)間為SKIPIF1<0，單調(diào)遞增區(qū)間為SKIPIF1<0．函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處取得極小值SKIPIF1<0，如下圖所示，由于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，結(jié)合圖象可知，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．故選：B核心考點三：解決以幾何圖形為背景的代數(shù)問題【典型例題】例8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知SKIPIF1<0，若點P是SKIPIF1<0所在平面內(nèi)的一點，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值等于（

）A．8 B．10 C．12 D．13【答案】C【解析】∵SKIPIF1<0，∴可以A為原點，SKIPIF1<0所在直線為坐標(biāo)軸建立平面直角坐標(biāo)系；不妨設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故點P坐標(biāo)為SKIPIF1<0則SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，則函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0遞增，在SKIPIF1<0上遞減，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的最大值為12．故選：C．例9．（2023春·浙江杭州·高二學(xué)軍中學(xué)階段練習(xí)）設(shè)不等式SKIPIF1<0的解集為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值是（

）A．5 B．SKIPIF1<0 C．6 D．7【答案】D【解析】設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，原不等式可化為SKIPIF1<0．先解SKIPIF1<0．則SKIPIF1<0，移項可得SKIPIF1<0，兩邊平方可得，SKIPIF1<0，整理可得，SKIPIF1<0，兩邊平方整理可得SKIPIF1<0．所以，SKIPIF1<0表示的點SKIPIF1<0在雙曲線SKIPIF1<0上．則不等式SKIPIF1<0表示的點SKIPIF1<0在雙曲線SKIPIF1<0上及其內(nèi)部．則不等式SKIPIF1<0與不等式組SKIPIF1<0同解，整理可得SKIPIF1<0．由已知可得，不等式SKIPIF1<0的解集是SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的兩個解為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，根據(jù)韋達定理有SKIPIF1<0．故選：D．例10．（2023春·安徽六安·高三六安一中?？茧A段練習(xí)）若不等式SKIPIF1<0的解集為區(qū)間SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．2【答案】C【解析】如圖所示：因為SKIPIF1<0表示以坐標(biāo)原點為圓心，4為半徑位于SKIPIF1<0軸上方（含和SKIPIF1<0軸交點）的半圓，SKIPIF1<0表示過坐標(biāo)原點及第一三象限內(nèi)的直線，又因為不等式SKIPIF1<0的解集為區(qū)間SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，即半圓位于直線下方的區(qū)間長度為2，所以SKIPIF1<0，所以直線與半圓的交點SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故選：C．核心考點四：解決數(shù)學(xué)文化、情境問題【典型例題】例11．（2023·全國·高三專題練習(xí)）幾何學(xué)史上有一個著名的米勒問題：“設(shè)點M，N是銳角SKIPIF1<0的一邊QA上的兩點，試在QB邊上找一點P，使得SKIPIF1<0最大．”如圖，其結(jié)論是：點P為過M，N兩點且和射線QB相切的圓與射線QB的切點．根據(jù)以上結(jié)論解決以下問題：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，給定兩點M（-1，2），N（1，4），點P在x軸上移動，當(dāng)SKIPIF1<0取最大值時，點P的橫坐標(biāo)是（

）A．1 B．-7 C．1或-1 D．2或-7【答案】A【解析】由題M（-1，2），N（1，4），則線段MN的中點坐標(biāo)為（0，3），易知SKIPIF1<0，則經(jīng)過M，N兩點的圓的圓心在線段MN的垂直平分線SKIPIF1<0上．設(shè)圓心為SKIPIF1<0，則圓S的方程為SKIPIF1<0．當(dāng)SKIPIF1<0取最大值時，圓SKIPIF1<0必與SKIPIF1<0軸相切于點SKIPIF1<0（由題中結(jié)論得），則此時P的坐標(biāo)為SKIPIF1<0，代入圓S的方程，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，即對應(yīng)的切點分別為P（1，0）和SKIPIF1<0．因為對于定長的弦在優(yōu)弧上所對的圓周角會隨著圓的半徑減小而角度增大，又過點M，N，SKIPIF1<0的圓的半徑大于過點M，N，P的圓的半徑，所以SKIPIF1<0，故點P（1，0）為所求，即點P的橫坐標(biāo)為1．故選：A．例12．（2023春·北京大興·高三校考階段練習(xí)）數(shù)學(xué)美的表現(xiàn)形式不同于自然美或藝術(shù)美那樣直觀，它蘊藏于特有的抽象概念，公式符號，推理論證，思維方法等之中，揭示了規(guī)律性，是一種科學(xué)的真實美．平面直角坐標(biāo)系中，曲線SKIPIF1<0就是一條形狀優(yōu)美的曲線，對于此曲線，給出如下結(jié)論：①曲線SKIPIF1<0圍成的圖形的面積是SKIPIF1<0；②曲線SKIPIF1<0上的任意兩點間的距離不超過2；③若SKIPIF1<0是曲線SKIPIF1<0上任意一點，則SKIPIF1<0的最小值是1．其中正確結(jié)論的個數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】當(dāng)SKIPIF1<0且SKIPIF1<0時，曲線SKIPIF1<0的方程可化為SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0且SKIPIF1<0時，曲線SKIPIF1<0的方程可化為SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0且SKIPIF1<0時，曲線SKIPIF1<0的方程可化為SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0且SKIPIF1<0時，曲線SKIPIF1<0的方程可化為SKIPIF1<0，曲線SKIPIF1<0的圖像如圖所示；由圖可知，曲線SKIPIF1<0所圍成的面積為四個半圓的面積與邊長為SKIPIF1<0的正方形的面積之和，從而曲線SKIPIF1<0所圍成的面積SKIPIF1<0，故①正確；過原點SKIPIF1<0且連接兩個半圓圓心SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的直線交曲線SKIPIF1<0于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩點，如下圖所示：則SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，故命題②錯誤；因為SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0最小時，易知SKIPIF1<0在曲線SKIPIF1<0的第一象限內(nèi)的圖象上，因為曲線SKIPIF1<0的第一象限內(nèi)圖象是圓心為SKIPIF1<0，半徑SKIPIF1<0的半圓，所以圓心SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0，故③正確．故選：C例13．（2023·青海海東·統(tǒng)考一模）窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的前紙，它是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一．在2022年虎年新春來臨之際，人們設(shè)計了一種由外圍四個大小相等的半圓和中間正方形所構(gòu)成的剪紙窗花（如圖1）．已知正方形SKIPIF1<0的邊長為2，中心為SKIPIF1<0，四個半圓的圓心均為正方形SKIPIF1<0各邊的中點（如圖2），若SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的中點，則SKIPIF1<0___________．【答案】8【解析】方法一：圖3如圖3，取SKIPIF1<0中點為SKIPIF1<0，連結(jié)SKIPIF1<0，顯然SKIPIF1<0過SKIPIF1<0點．易知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．所以，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．圖4如圖4，延長SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點，且SKIPIF1<0．則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．所以，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．所以，SKIPIF1<0．故答案為：8．方法二：圖5取SKIPIF1<0中點為SKIPIF1<0，連結(jié)SKIPIF1<0，顯然SKIPIF1<0過SKIPIF1<0點．易知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0如圖5，取SKIPIF1<0中點為SKIPIF1<0，顯然SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點，則SKIPIF1<0．所以，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．故答案為：8．【新題速遞】一、單選題1．（2023春·江蘇鹽城·高三鹽城中學(xué)?？迹┤糁本€SKIPIF1<0與曲線SKIPIF1<0有兩個交點，則實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】SKIPIF1<0表示的曲線是圓心為SKIPIF1<0，半徑為SKIPIF1<0的圓在SKIPIF1<0軸以及右側(cè)的部分，如圖所示：直線SKIPIF1<0必過定點SKIPIF1<0，當(dāng)直線SKIPIF1<0與圓相切時，直線和圓恰有一個交點，即SKIPIF1<0，結(jié)合直線與半圓的相切可得SKIPIF1<0，當(dāng)直SKIPIF1<0的斜率不存在時，即SKIPIF1<0時，直線和曲線恰有兩個交點，所以要使直線和曲線有兩個交點，則SKIPIF1<0.故選：B.2．（2023春·湖北隨州·高三隨州市曾都區(qū)第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知x，y是實數(shù)，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】方程可化為SKIPIF1<0，表示以SKIPIF1<0為圓心，SKIPIF1<0為半徑的圓，SKIPIF1<0的幾何意義是圓上一點與點ASKIPIF1<0連線的斜率，設(shè)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，當(dāng)此直線與圓相切時，斜率最大或最小，當(dāng)切線位于切線AB時斜率最大.

此時SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，，所以SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0.故選：D．3．（2023春·陜西渭南·高一統(tǒng)考）已知函數(shù)SKIPIF1<0是定義在SKIPIF1<0上的偶函數(shù)，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0.若函數(shù)SKIPIF1<0，則函數(shù)SKIPIF1<0的零點個數(shù)不可能是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】函數(shù)SKIPIF1<0是定義在SKIPIF1<0上的偶函數(shù)，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0,作出SKIPIF1<0的圖象如圖：，故當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0有3個零點；當(dāng)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0的圖象與x軸有兩個交點，則函數(shù)有2個零點；當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0的圖象與x軸有4個交點，則函數(shù)有4個零點；由于SKIPIF1<0也為偶函數(shù)，結(jié)合SKIPIF1<0圖象可知，SKIPIF1<0不可能有1個零點，故選：A4．（2023春·陜西西安·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)SKIPIF1<0，若函數(shù)SKIPIF1<0，則函數(shù)SKIPIF1<0的零點個數(shù)為（

）A．1 B．3 C．4 D．5【答案】D【解析】當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且定義域為SKIPIF1<0，關(guān)于原點對稱，故SKIPIF1<0為奇函數(shù)，所以我們求出SKIPIF1<0時零點個數(shù)即可，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，在SKIPIF1<0單調(diào)遞減，且SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0有1零點，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有1零點，圖像大致如圖所示：故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有2個零點，又因為其為奇函數(shù)，則其在SKIPIF1<0上也有2個零點，且SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0共5個零點，故選：D.5．（2023春·黑龍江哈爾濱·高一哈爾濱三中校考階段練習(xí)）若函數(shù)SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0為偶函數(shù)，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，則函數(shù)SKIPIF1<0的零點個數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．4【答案】D【解析】令SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，所以當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為偶函數(shù)，所以SKIPIF1<0的圖象關(guān)于SKIPIF1<0軸對稱，所以SKIPIF1<0的圖象關(guān)于直線SKIPIF1<0軸對稱，故作出SKIPIF1<0的圖象如下，令SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由圖象可知，SKIPIF1<0的圖象與SKIPIF1<0的圖象共有四個交點，所以函數(shù)SKIPIF1<0的零點個數(shù)為4個.故選:D.6．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)SKIPIF1<0是定義域為SKIPIF1<0的偶函數(shù)，且SKIPIF1<0是奇函數(shù)，當(dāng)SKIPIF1<0時，有SKIPIF1<0，若函數(shù)SKIPIF1<0的零點個數(shù)為5，則實數(shù)SKIPIF1<0取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【答案】C【解析】∵偶函數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是奇函數(shù)，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的圖像交點的個數(shù)，因為SKIPIF1<0，即為SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的圖像交點的個數(shù)，因為SKIPIF1<0的圖像為半圓，故由圖像可知斜率SKIPIF1<0應(yīng)該在SKIPIF1<0與SKIPIF1<0之間或為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，故選：C.7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)SKIPIF1<0，若存在SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的圖象關(guān)于直線SKIPIF1<0對稱，作出SKIPIF1<0的大致圖象如圖所示，易知SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0取到等號，故當(dāng)SKIPIF1<0時，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單減，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故選：A二、多選題8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是雙曲線SKIPIF1<0的左、右焦點，過SKIPIF1<0作傾斜角為SKIPIF1<0的直線分別交SKIPIF1<0軸與雙曲線右支于點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，下列判斷正確的是（

）A．SKIPIF1<0， B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0的離心率等于SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0的漸近線方程為SKIPIF1<0【答案】BCD【解析】如下圖所示，因為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，A錯誤，B正確；由SKIPIF1<0知：SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，C正確；所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的漸近線方程為SKIPIF1<0，D正確．故選：BCD．9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知直線SKIPIF1<0過拋物線SKIPIF1<0的焦點SKIPIF1<0，且斜率為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與拋物線交于SKIPIF1<0兩點（SKIPIF1<0在第一象限），以SKIPIF1<0為直徑的圓分別與SKIPIF1<0軸相切于SKIPIF1<0兩點，則下列結(jié)論正確的是（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0為拋物線SKIPIF1<0上的動點，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0為拋物線SKIPIF1<0上的點，則SKIPIF1<0【答案】ABC【解析】設(shè)直線PQ的方程為：ySKIPIF1<0（x﹣2），與SKIPIF1<0聯(lián)立整理可得：3x2﹣20x+12=0，解得：xSKIPIF1<0或6，則P（6，4SKIPIF1<0），Q（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）；所以|PQ|=6SKIPIF1<04SKIPIF1<0，選項A正確；因為F(2,0),所以PF，QF的中點分別為：（4，2SKIPIF1<0），（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0），所以A（0，SKIPIF1<0），B（0，SKIPIF1<0），所以|AB|=2SKIPIF1<0，選項B正確；如圖M在拋物線上，ME垂直于準(zhǔn)線交于E，可得|MF|=|ME|，所以|MF|+|MN|=|ME|+|MN|≥NE=2+2=4，當(dāng)N，M，E三點共線時，|MF|+|MN|最小，且最小值為4，選項C正確；對于選項D，若SKIPIF1<0為拋物線SKIPIF1<0上的點，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，選項D錯誤.故選：ABC.10．（2023春·河南·高三校聯(lián)考）在三棱錐SKIPIF1<0中，平面SKIPIF1<0平面BCD，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為等邊三角形，E是棱AC的中點，F(xiàn)是棱AD上一點，若異面直線DE與BF所成角的余弦值為SKIPIF1<0，則AF的值可能為（

）A．SKIPIF1<0 B．1 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】AC【解析】由SKIPIF1<0為等邊三角形，取BD的中點O，連接SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0又平面SKIPIF1<0平面BCD，且平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0平面BCD，由SKIPIF1<0過SKIPIF1<0作與SKIPIF1<0平行的直線為SKIPIF1<0軸，分別以SKIPIF1<0為SKIPIF1<0軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．故選：AC11．（2023秋·福建三明·高一福建省寧化第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的重心，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的可能取值為（

）A．SKIPIF1<0 B．1 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】CD【解析】如圖，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的重心，記SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時等號成立，所以SKIPIF1<0．即SKIPIF1<0．只有CD滿足．故選：CD．12．（2023春·湖北黃岡·高三校考開