山西省大同市上深澗中學(xué)2023年高二數(shù)學(xué)理期末試題含解析

山西省大同市上深澗中學(xué)2023年高二數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.當(dāng)時(shí)，下面的程序段輸出的結(jié)果是（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：D2.在吸煙與患肺病這兩個(gè)分類(lèi)變量的計(jì)算中，下列說(shuō)法正確的是A.若K2的觀(guān)測(cè)值為k=6.635,我們有99%的把握認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)系，那么在100個(gè)吸煙的人中必有99人患有肺病;B.從獨(dú)立性檢驗(yàn)可知有99%的把握認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)系時(shí)，我們說(shuō)某人吸煙，那么他有99%的可能患有肺病;C.若從統(tǒng)計(jì)量中求出有95%的把握認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)系，是指有5%的可能性使得推判出現(xiàn)錯(cuò)誤;D.以上三種說(shuō)法都不正確.參考答案：C略3.如圖，在邊長(zhǎng)為a的正方形內(nèi)有不規(guī)則圖形Ω．向正方形內(nèi)隨機(jī)撒豆子，若撒在圖形Ω內(nèi)和正方形內(nèi)的豆子數(shù)分別為57，100，則圖形Ω面積的估計(jì)值為（）A． B． C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】幾何概型．【分析】根據(jù)落到不規(guī)則圖形Ω和正方形中的點(diǎn)的個(gè)數(shù)，得到概率，即得到兩者的面積的比值，根據(jù)所給的正方形的邊長(zhǎng)，求出面積，根據(jù)比值得到要求的面積的估計(jì)值．【解答】解：由題意知撒在圖形Ω內(nèi)和正方形內(nèi)的豆子數(shù)分別為57，100，∴不規(guī)則圖形Ω的面積：正方形的面積=57：100，∴不規(guī)則圖形Ω的面積=×正方形的面積=a2．故選C．4.在中，已知，，，則的面積等于

（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：B5.

參考答案：C略6.等差數(shù)列中，，則（

）A.12

B.24

C.36

D.48參考答案：B略7.拋物線(xiàn)y＝ax2（a≠0）的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（

）A．（0，）

B．（0，－）

C．（0，）

D．（0，）參考答案：A略8.已知拋物線(xiàn)y2=4x的焦點(diǎn)為F，A、B，為拋物線(xiàn)上兩點(diǎn)，若=3，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△AOB的面積為（）A． B． C． D．參考答案：【考點(diǎn)】拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】根據(jù)拋物線(xiàn)的定義，不難求出，|AB|=2|AE|，由拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性，不妨設(shè)直線(xiàn)的斜率為正，所以直線(xiàn)AB的傾斜角為60°，可得直線(xiàn)AB的方程，與拋物線(xiàn)的方程聯(lián)立，求出A，B的坐標(biāo)，即可求出△AOB的面積．【解答】解：如圖所示，根據(jù)拋物線(xiàn)的定義，不難求出，|AB|=2|AE|，由拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性，不妨設(shè)直線(xiàn)的斜率為正，所以直線(xiàn)AB的傾斜角為60°，直線(xiàn)AB的方程為y=（x﹣1），聯(lián)立直線(xiàn)AB與拋物線(xiàn)的方程可得A（3，2），B（，﹣），所以|AB|==，而原點(diǎn)到直線(xiàn)AB的距離為d=，所以S△AOB=，當(dāng)直線(xiàn)AB的傾斜角為120°時(shí)，同理可求．故選B．9.用反證法證明命題:“三角形的內(nèi)角中至少有一個(gè)不大于60度”時(shí),假設(shè)正確的是()(A)假設(shè)三個(gè)內(nèi)角都不大于60度

(B)假設(shè)三個(gè)內(nèi)角都大于60度(C)假設(shè)三個(gè)內(nèi)角至多有一個(gè)大于60度

(D)假設(shè)三個(gè)內(nèi)角有兩個(gè)大于60度參考答案：B10.汽車(chē)經(jīng)過(guò)啟動(dòng)、加速行駛、勻速行駛、減速行駛之后停車(chē)，若把這一過(guò)程中汽車(chē)的行駛路程看作時(shí)間的函數(shù)，其圖像可能是（

）

參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若其中為虛數(shù)單位，則____________．參考答案：3略12.下列命題：①設(shè)a，b是非零實(shí)數(shù)，若a＜b，則ab2＜a2b；②若a＜b＜0，則；③函數(shù)y=的最小值是2；④若x、y是正數(shù)，且+=1，則xy有最小值16；⑤已知兩個(gè)正實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足+=1，則x+y的最小值是．其中正確命題的序號(hào)是．參考答案：②④【考點(diǎn)】不等式的基本性質(zhì)；基本不等式．【專(zhuān)題】應(yīng)用題；轉(zhuǎn)化思想；定義法；不等式．【分析】①的結(jié)論不成立，舉出反例即可；②由同號(hào)不等式取倒數(shù)法則，知②成立；③④⑤分別利用基本不等式即可判斷．【解答】解：①設(shè)a，b是非零實(shí)數(shù)，若a＜b，則ab2＜a2b，此結(jié)論不成立，反例：令a=﹣10，b=﹣1，則ab2=﹣10＞a2b=﹣100，故①不成立；②若a＜b＜0，由同號(hào)不等式取倒數(shù)法則，知＞，故②成立；③函數(shù)y==+≥2的前提條件是=1，∵≥2，∴函數(shù)y的最小值不是2，故③不正確；④∵x、y是正數(shù)，且+=1，∴1=+≥2，∴≤∴xy≥16，故④正確，⑤兩個(gè)正實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足+=1，∴=1﹣=，即y=＞0，∴x＞2，∴y+x=x+=x﹣2++2=x﹣2++3≥2+3，當(dāng)且僅當(dāng)x=2+，y=+1時(shí)取等號(hào)，故⑤不正確，故答案為：②④．【點(diǎn)評(píng)】本題考查命題的真假判斷，解題時(shí)要注意同號(hào)不等式取倒數(shù)法則、均值不等式成立的條件等知識(shí)點(diǎn)的靈活運(yùn)用．13.參考答案：14.過(guò)點(diǎn)且與直線(xiàn)平行的直線(xiàn)方程為

．參考答案：15.在的展開(kāi)式中的系數(shù)是______．（用具體數(shù)作答）參考答案：180.因?yàn)槎?xiàng)式，展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，而對(duì)于的展開(kāi)式，其中，都為自然數(shù)，令，解得或，所以展開(kāi)式的系數(shù)為。16.若,且,則的最小值為_(kāi)_

__。

參考答案：17.函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，則a的取值范圍是

參考答案：(-1，0)

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.求函數(shù)的最小值。參考答案：解析：可看作點(diǎn)到點(diǎn)和點(diǎn)的距離之和，作點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)19.已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為F，A為拋物線(xiàn)C上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A的直線(xiàn)l交拋物線(xiàn)C于另一點(diǎn)B，交x軸的正半軸于點(diǎn)D，且有.當(dāng)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為3時(shí)，（Ⅰ）求拋物線(xiàn)C的方程；（Ⅱ）若直線(xiàn)，且和拋物線(xiàn)C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)E，試問(wèn)直線(xiàn)AE（A為拋物線(xiàn)C上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn)）是否過(guò)定點(diǎn)，若過(guò)定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由.參考答案：（Ⅰ）由題意知，由拋物線(xiàn)的定義知：，解得，所以?huà)佄锞€(xiàn)的方程為.（Ⅱ）由（1）知，設(shè)，，因?yàn)?，則，由得，故，故直線(xiàn)的斜率為，因?yàn)橹本€(xiàn)和直線(xiàn)平行，故可設(shè)直線(xiàn)的方程為，代入拋物線(xiàn)方程得，由題意知，得.設(shè)，則，，當(dāng)時(shí)，，可得直線(xiàn)的方程為，由，整理可得，所以直線(xiàn)恒過(guò)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)的方程為，過(guò)點(diǎn)，所以直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn).20.已知直線(xiàn)是橢圓的右準(zhǔn)線(xiàn)，若橢圓的離心率為，右準(zhǔn)線(xiàn)方程為x=2．（1）求橢圓Γ的方程；（2）已知一直線(xiàn)AB過(guò)右焦點(diǎn)F（c，0），交橢圓Γ于A(yíng)，B兩點(diǎn)，P為橢圓Γ的左頂點(diǎn)，PA，PB與右準(zhǔn)線(xiàn)交于點(diǎn)M（xM，yM），N（xN，yN），問(wèn)yM?yN是否為定值，若是，求出該定值，否則說(shuō)明理由．參考答案：【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】（1）由題意可知：e==，=2，即可求得a和b的值，求得橢圓Γ的方程；（2）設(shè)AB的方程：x=my+1，代入橢圓方程由韋達(dá)定理求得直線(xiàn)PA的方程，代入即可求得yM=（2+），yN=（2+），yM?yN==，代入即可求得yM?yN=﹣1．【解答】解：（1）依題意：橢圓的離心率e==，=2，則a=，b=1，c=1，故橢圓Γ方程為；

…（2）設(shè)AB的方程：x=my+1，A（x1，y1），B（x2，y2），則，整理得：（m2+2）y2+2my﹣1=0，△=（﹣2m）2+4（m2+2）＞0，由韋達(dá)定理得：y1+y2=﹣，y1?y2=﹣，…直線(xiàn)PA：y=（x+），令x=2，得yM=（2+），同理：yN=（2+），…∴yM?yN==，=，=，=，===﹣1，yM?yN=﹣1，yM?yN是定值，定值為﹣1．…21.（本小題滿(mǎn)分20分）已知橢圓+=1（a＞b＞0）的離心率e=，過(guò)點(diǎn)A（0，－b）和B（a，0）的直線(xiàn)與原點(diǎn)的距離為.（1）求橢圓的方程；（2）已知定點(diǎn)E（－2，0），直線(xiàn)y=kx+t與橢圓交于C、D兩點(diǎn)，證明：對(duì)任意的t＞0，都存在k，使得以線(xiàn)段CD為直徑的圓過(guò)E點(diǎn).參考答案：解析：（I）直線(xiàn)的方程為，依題意得

解得，所以，橢圓方程為．……………（5分）（Ⅱ）將代入橢圓方程，得，

由直線(xiàn)與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，，，……（1）…………（10分）設(shè)，則，，……（2）以為直徑的圓過(guò)點(diǎn)，，即，而，，將（2）代入，，解得，…………（15分），，即滿(mǎn)足（1），所以，對(duì)任意的，都存在，使得以線(xiàn)段為直徑的圓過(guò)點(diǎn)．……（