機械控制工程基礎(chǔ) 第四章 頻域分析

1

機械控制工程基礎(chǔ)第四章頻域分析第一節(jié)概述

第二節(jié)典型環(huán)節(jié)的頻率特性第三節(jié)

系統(tǒng)開環(huán)頻率特性圖第四節(jié)閉環(huán)頻率特性第五節(jié)閉環(huán)系統(tǒng)性能分析第六節(jié)頻域分析的MATLAB實現(xiàn)▼

▼

▼

▼

▼

▼

學習重點理解頻率特性的基本概念，掌握其不同的表示方法；掌握典型環(huán)節(jié)的頻率特性，熟練掌握系統(tǒng)頻率特性的伯德圖和奈氏圖的繪制方法；（重點掌握）

了解閉環(huán)系統(tǒng)頻率特性及其和系統(tǒng)暫態(tài)特性的關(guān)系。建立開環(huán)頻率特性和系統(tǒng)性能指標之間的對應(yīng)關(guān)系，能夠定性地分析系統(tǒng)的性能；

頻域分析法：是一種圖解分析方法，它依據(jù)系統(tǒng)的又一種數(shù)學模型—頻率特性，不必求解系統(tǒng)的微分方程就可以根據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性分析閉環(huán)系統(tǒng)的性能，并能方便的分析系統(tǒng)中的各參數(shù)對系統(tǒng)性能的影響，指明改進系統(tǒng)性能的途徑。是一種工程上另一種廣泛應(yīng)用的方法。研究的問題仍然是系統(tǒng)的穩(wěn)定性、瞬態(tài)性能、穩(wěn)態(tài)性能；引言時域分析：重點研究過渡過程，通過階躍或脈沖輸入下的系統(tǒng)瞬態(tài)時間響應(yīng)來研究系統(tǒng)的性能。頻域分析：通過系統(tǒng)在不同頻率ω的諧波（正弦）輸入作用下的系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)來研究系統(tǒng)的性能。RC第一節(jié)概述一、頻率特性的概念例1

RC電路如圖所示，ui(t)=A0sinwt,求uo(t)=?RC0穩(wěn)態(tài)輸出：穩(wěn)態(tài)輸出與輸入的幅值成正比，與輸入同頻率：推廣到一般的線性定常系統(tǒng)：0t

線性定常系統(tǒng)對諧波輸入的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)（頻率響應(yīng)）為同頻率的諧波函數(shù)。

系統(tǒng)對正弦輸入的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)稱為頻率響應(yīng)。

正弦輸入時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出量與輸入量之比叫做系統(tǒng)的頻率特性，包括幅頻特性和相頻特性。1、頻率特性定義：頻率特性＝幅頻特性相頻特性

A(ω)：穩(wěn)態(tài)輸出與輸入的幅值比

φ(ω)：穩(wěn)態(tài)輸出與輸入的相位差ω的非線性函數(shù)（揭示了系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性）2、頻率特性與傳遞函數(shù)之間的關(guān)系系統(tǒng)模型間的關(guān)系二、

頻率特性的求法(1)頻域響應(yīng)→頻率特性

利用在已知系統(tǒng)的微分方程或傳遞函數(shù)的情況下，當輸入為正弦函數(shù)時，求其穩(wěn)態(tài)解，再求G(jω)；(2)傳遞函數(shù)→頻率特性

利用將傳遞函數(shù)中的s換為jω來求??；(3)實驗法：是對實際系統(tǒng)求取頻率特性的一種常用而又重要的方法。如果在不知道系統(tǒng)的傳遞函數(shù)或數(shù)學模型時，只有采用實驗法。三、

頻率特性的特點（1）頻率特性是通過分析系統(tǒng)對不同頻率正弦輸入的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)來獲得系統(tǒng)的動態(tài)特性。（2）頻率響應(yīng)有明確的物理意義，并且可以用實驗的方法獲得，這對于不能用解析法建模的元件或系統(tǒng)，具有非常重要的意義。（3）便于研究系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)變化對系統(tǒng)性能的影響。（4）不需要解閉環(huán)特征方程，利用奈奎斯判據(jù)，根據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性就可以研究閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。四、頻率特性的表示方法①極坐標圖（Nyquist圖）②對數(shù)坐標圖（Bode圖）③對數(shù)幅相特性圖（Nichols圖）1.數(shù)學式表達方法2.圖形表示方法實頻特性虛頻特性1.數(shù)學式表達方式1）直角坐標表達式（實頻-虛頻）設(shè)系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為令s=jω，可得系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的頻率特性

U(ω)是頻率特性的實部，稱為實頻特性，V(ω)為頻率特性的虛部，稱為虛頻特性。其中：幅頻特性相頻特性2）指數(shù)表達式（幅頻-相頻）

A(ω)為復數(shù)頻率特性的模或幅值，即幅頻特性φ(ω)為復數(shù)頻率特性的輻角或相位，即相頻特性其中：0代數(shù)形式與指數(shù)形式之間的關(guān)系：(1)極坐標圖（Nyquist圖）2.圖形表示方法jV(ω)U(ω)G(jω1)G(jω2)0映射（2）對數(shù)坐標圖（Bode圖）對數(shù)頻率特性是將頻率特性表示在對數(shù)坐標中。

對上式兩邊取對數(shù)，得

一般不考慮0.434這個系數(shù)，而只用相角位移本身。

通常將對數(shù)幅頻特性繪在以10為底的半對數(shù)坐標中，對數(shù)幅頻特性對數(shù)相頻特性Bode圖：縱軸橫軸按lgw

分度，按w真實值標注；幾何上等分真值等比“分貝”dec“十倍頻程”對數(shù)頻率特性的優(yōu)點：（1）當頻率范圍很寬時，可以縮小比例尺。（2）當系統(tǒng)由多個環(huán)節(jié)串聯(lián)構(gòu)成時，簡化了繪制系統(tǒng)的頻率特性。將Bode圖的兩張圖合二為一：對數(shù)幅值做縱坐標（dB）；相位移做橫坐標（度）；頻率做參變量。0o180o-180ow0-20dB20dB（3）對數(shù)幅相特性圖（Nichols圖）第二節(jié)典型環(huán)節(jié)的頻率特性一、比例環(huán)節(jié)（1）傳遞函數(shù)（2）幅相頻率特性或?qū)懗?/p>

比例環(huán)節(jié)的幅相頻率特性(乃氏圖)0UjVK（3）對數(shù)頻率特性（Bode圖）00K=1K>1K<1對數(shù)幅頻特性：過點（1，20lgK）的水平線對數(shù)相頻特性：與0°線重合二、

積分環(huán)節(jié)（1）傳遞函數(shù)（2）幅相頻率特性或?qū)懗?/p>

積分環(huán)節(jié)幅相頻率特性(乃氏圖)0jVU虛軸的下半軸，由無窮遠點指向原點。積分環(huán)節(jié)幅相頻率特性(奈氏圖)（3）對數(shù)頻率特性（Bode圖）000.110120-90-180-20三、微分環(huán)節(jié)（1）傳遞函數(shù)（2）幅相頻率特性理想微分環(huán)節(jié)幅相頻率特性(奈氏圖)0jVU虛軸的上半軸，由原點指向無窮遠處。（3）對數(shù)頻率特性（Bode圖）000.11012090°四、

慣性環(huán)節(jié)（1）傳遞函數(shù)（2）幅相頻率特性0jVU1慣性環(huán)節(jié)的幅相頻率特性(乃氏圖)（3）對數(shù)頻率特性（Bode圖）00五、一階微分環(huán)節(jié)（1）傳遞函數(shù)（2）幅相頻率特性一階微分環(huán)節(jié)幅相頻率特性(乃氏圖)0jVU1始于點（1，j0）,平行于虛軸。一階微分環(huán)節(jié)幅相頻率特性(奈氏圖)（3）對數(shù)頻率特性（Bode圖）00六、振蕩環(huán)節(jié)（1）傳遞函數(shù)（2）幅相頻率特性振蕩環(huán)節(jié)幅相頻率特性(乃氏圖)10jVU振蕩環(huán)節(jié)幅相頻率特性(奈氏圖)（3）對數(shù)頻率特性（Bode圖）00-403/2七、二階微分環(huán)節(jié)（1）傳遞函數(shù)（2）幅相頻率特性二階微分環(huán)節(jié)幅相頻率特性(乃氏圖)（3）對數(shù)頻率特性（Bode圖）與二階振蕩環(huán)節(jié)Bode圖對稱于頻率軸。八、延遲環(huán)節(jié)（1）傳遞函數(shù)（2）幅相頻率特性時滯環(huán)節(jié)幅相頻率特性(奈氏圖)01jVU（3）對數(shù)頻率特性（Bode圖）000.1110100第三節(jié)系統(tǒng)開環(huán)頻率特性圖一、開環(huán)系統(tǒng)的幅相頻率特性圖（奈奎斯）1、繪制系統(tǒng)乃氏圖的基本步驟1)將系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)寫成若干典型環(huán)節(jié)串聯(lián)形式；

2)根據(jù)傳遞函數(shù)寫出系統(tǒng)的實頻特性、虛頻特性和幅頻特性、相頻特性的表達式；

3)分別求出起始點(ω=0)和終點(ω=∞)，并表示在極坐標上；

4)找出必要的特征點，如與實軸的交點、與虛軸的交點等，并表示在極坐標上；

5)補充必要的幾點，根據(jù)已知點和｜G(jω)｜、∠G(jω)的變化趨勢以及G(jω)所處的象限，繪制Nyquist曲線的大致圖形。4ReIm(-KT，j0)積分環(huán)節(jié)改變了起始點（低頻段）。ReIm5二、開環(huán)系統(tǒng)的對數(shù)坐標圖（伯德圖）繪制系統(tǒng)伯德圖的基本步驟如下1)由傳遞函數(shù)G(s)求出頻率特性G(jω)，并將G(jω)化為若干典型環(huán)節(jié)頻率特性相乘的形式；

2)求出各典型環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率、阻尼比ξ等參數(shù)；

3)分別畫出各典型環(huán)節(jié)的幅頻曲線的漸近線和相頻曲線；

4)將各環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻曲線的漸近線進行疊加，得到系統(tǒng)幅頻曲線的漸近線，并對其進行修正。

5)將各環(huán)節(jié)相頻曲線疊加，得到系統(tǒng)的相頻曲線。解：試繪制系統(tǒng)伯德圖。04020-40-200.22200.40.60.81468103、畫近似幅頻折線和相頻曲線并疊加3直接繪制系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性步驟如下1)將系統(tǒng)傳遞函數(shù)寫成標準形式，并求出其頻率特性；

2)確定各典型環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率，并由小到大將其順序標在橫坐標上；

3)計算20lgK，在橫坐標上找出ω=1，縱坐標為20lgK的點；4)過該點作斜率為-20νdB/dec的斜線，以后從第一個轉(zhuǎn)折頻率開始沿軸向右，每經(jīng)過一個轉(zhuǎn)折頻率便改變一次斜率，其原則是：如遇慣性環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率，則斜率增加-20dB/dec；遇一階微分環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率，斜率增加+20dB/dec；如遇振蕩環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率，斜率增加-40dB/dec；二階微分環(huán)節(jié)則增加+40dB/dec。5)根據(jù)需要，可根據(jù)誤差修正曲線對漸近線進行修正，其辦法是在同一頻率處將各環(huán)節(jié)誤差值疊加，即可得到精確的對數(shù)幅頻特性曲線。

6)對數(shù)相頻特性曲線為各典型環(huán)節(jié)的相頻特性曲線的疊加。三、

最小相位系統(tǒng)的概念最小相位傳遞函數(shù)——在[s]右半平面既無極點、又無零點的傳遞函數(shù)，稱最小相位傳遞函數(shù)；否則，為非最小相位傳遞函數(shù)。最小相位系統(tǒng)——具有最小相位傳遞函數(shù)的系統(tǒng)?！鷥蓚€系統(tǒng)的幅頻特性完全相同而相頻特性相異000T1＞T2

＞0最小相位系統(tǒng)的特點：系統(tǒng)類型與開環(huán)對數(shù)幅頻特性的關(guān)系（低頻段）1）0型系統(tǒng)ω1

低頻段的幅值為20lgK。

在低頻段，斜率為0dB/十倍頻；特點：四、由系統(tǒng)的對數(shù)頻率特性求對應(yīng)的傳遞函數(shù)2）I型系統(tǒng)1ω11ω1低頻漸近線或延長線與橫軸的交點的頻率值等于開環(huán)增益K的值。在低頻段的漸近線斜率為-20dB/dec在低頻段的漸近線或其延長線過點（1，20lgK）特點：3）II型系統(tǒng)低頻漸近線或延長線與橫軸的交點的頻率值的平方等于開環(huán)增益K的值1ω11ω1在低頻段的漸近線斜率為-40dB/dec在低頻段的漸近線或其延長線過點（1，20lgK）特點：例4.6已知系統(tǒng)對數(shù)頻率特性如圖所示，求系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)G(s).0.2ωT1ωnωT2-60dB/dec-40dB/dec-20dB/dec1410dBω/(rad/s)L(ω)/dB015.62）求K20lgK=15.6K=63）求ωnωT1

=0.2

=ωn5）求τωT2

=4=1/ττ=0.254）求ξ-20lg2ξ=10ξ=0.158解：思考？若所給的開環(huán)對數(shù)幅頻特性曲線上，并未給出ω=1時所對應(yīng)的幅值L(ω)=20lgK，如何求不同類型系統(tǒng)的開環(huán)增益K。由GK(jω)求取GB(jω):第四節(jié)閉環(huán)頻率特性Xi(s)Xo(s)-G(s)一、反饋控制系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性二、頻域性能指標GKXiXo+-對于單位負反饋系統(tǒng)，若M

(0)=1，說明系統(tǒng)輸出對輸入的跟隨性好。1、零頻幅值M(0)ωM(ω)M(0)0.707M(0)0ωMω

rω

b反映系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度M(0)、ωM、△—與穩(wěn)態(tài)性能有關(guān)ωM(ω)M(0)0.707M(0)0ωMω

rω

b3、諧振頻率ω

r；諧振峰值Mr

使幅頻特性曲線出現(xiàn)峰值的頻率稱為諧振頻率。諧振頻率處的峰值稱為諧振峰值。ωM(ω)M(0)0.707M(0)0ωMωrωb1.0＜Mr

＜1.4，

0.4＜ξ＜0.7Mp＜25%反映瞬態(tài)響應(yīng)平穩(wěn)性注：ωM(ω)M(0)0.707M(0)0ω

bωXi(ω)ωb系統(tǒng)

Φ(jω)ωXo(ω)ωb14、截止頻率ω

b；截止帶寬0~ωb反映瞬態(tài)響應(yīng)的快速性第五節(jié)閉環(huán)系統(tǒng)性能分析一、頻域指標與時域指標之間的關(guān)系對于給定的ξ，ωr與ts成反比，即ωr大，響應(yīng)快；ωr

小，響應(yīng)慢。Mr，Mp均隨著ξ增加而減小，Mr大，Mp也大,瞬態(tài)響應(yīng)相對穩(wěn)定性差。

二階系統(tǒng)：物理意義：當閉環(huán)幅頻特性有諧振峰時，系統(tǒng)的輸入信號的頻譜在ω=ωr附近的諧波分量通過系統(tǒng)后顯著增強，從而引起振蕩。

高階系統(tǒng)：二、

閉環(huán)系統(tǒng)性能分析（用開環(huán)頻率特性分析閉環(huán)系統(tǒng)的性能）1）低頻段：20lg∣G(jω)