山西省呂梁市汾陽第五高級中學(xué)2023年高三數(shù)學(xué)文月考試卷含解析

山西省呂梁市汾陽第五高級中學(xué)2023年高三數(shù)學(xué)文月考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.在極坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，則過點(diǎn)且平行于極軸的直線的方程是（

）（A）（B）（C）（D）參考答案：A先將極坐標(biāo)化成直角坐標(biāo)表示，

轉(zhuǎn)化為點(diǎn)，即，過點(diǎn)且平行于軸的直線為，在化為極坐標(biāo)為，選A.2.已知向量a，b均為單位向量，它們的夾角為，則|a＋b|＝A．1

B． C．

D．2參考答案：A考點(diǎn)：數(shù)量積的應(yīng)用|a＋b|＝

故答案為：A3.已知平面向量共線，則= A． B． C． D．5參考答案：A略4.的展開式的常數(shù)項(xiàng)為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D展開式的常數(shù)項(xiàng)為5.已知函數(shù)的最大值是４，最小值是０，最小正周期是，直線

是其圖象的一條對稱軸，則下面各式中符合條件的解析式是

（

）

A．

B．

C．

D．

參考答案：B6.已知集合則有 （

） A． B． C． D．參考答案：B7.若函數(shù)f（x）=ax2﹣lnx在（0，1]上存在唯一零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（） A．[0，2e] B． [0，] C． C、（﹣∞，﹣1] D． （﹣∞，0]參考答案：略8.已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x－4)＝－f(x)，且在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù)，則A．f(－25)＜f(11)＜f(80)

B．f(80)＜f(11)＜f(－25)C．f(11)＜f(80)＜f(－25)

D．f(－25)＜f(80)＜f(11)參考答案：D9.任取x∈[，]，則使sinx+cosx∈[1,]的概率是A.

B.

C.

D.參考答案：B因?yàn)?，所以，所以所?故選B10.若x,y滿足約束條件目標(biāo)函數(shù)z=ax+2y僅在點(diǎn)（1,0）處取得最小值，則的a取值范圍是A.

B.(-4,2)

C.

D.(-4,1)

參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是_________。參考答案：略12.如圖，點(diǎn)的坐標(biāo)為，函數(shù)過點(diǎn)，若在矩形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率等于__________.參考答案：試題分析：由得，，曲邊梯形的面積為，所以所求概率為．考點(diǎn)：幾何概型．【名師點(diǎn)睛】幾何概型的常見類型的判斷方法1．與長度、角度有關(guān)的幾何概型，其基本事件只與一個連續(xù)的變量有關(guān)；2．與面積有關(guān)的幾何概型，其基本事件與兩個連續(xù)的變量有關(guān)，若已知圖形不明確，可將兩個變量分別作為一個點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，這樣基本事件就構(gòu)成了平面上的一個區(qū)域，即可借助平面區(qū)域解決問題；3．與體積有關(guān)的幾何概型．13.設(shè)是兩個集合，定義集合，若，，則

。參考答案：答案：14.在直角坐標(biāo)系中，有一定點(diǎn)，若線段的垂直平分線過拋物線的焦點(diǎn)，則該拋物線的準(zhǔn)線方程是

．參考答案：15.若向量=（x﹣1，2），=（4，y）相互垂直，則9x+3y的最小值為．參考答案：6略16.若一個棱長為2的正方體的各個頂點(diǎn)均在同一球的球面上，則此球的表面積為．參考答案：12π【考點(diǎn)】球的體積和表面積．【分析】設(shè)出正方體的棱長，求出正方體的體對角線的長，就是球的直徑，求出球的表面積即可．【解答】解：設(shè)正方體的棱長為：2，正方體的體對角線的長為：2，就是球的直徑，∴球的表面積為：S2=4π（）2=12π．故答案為：12π．【點(diǎn)評】本題考查球的體積表面積，正方體的外接球的知識，仔細(xì)分析，找出二者之間的關(guān)系：正方體的對角線就是球的直徑，是解題關(guān)鍵，本題考查轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．17.若實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為________．參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，某隧道設(shè)計(jì)為雙向四車道，車道總寬20m，要求通行車輛限高5m，隧道全長2.5km，隧道的兩側(cè)是與地面垂直的墻，高度為3米，隧道上部拱線近似地看成半個橢圓。（1）若最大拱高h(yuǎn)為6m，則隧道設(shè)計(jì)的拱寬是多少？（2）若要使隧道上方半橢圓部分的土方工程

量最小，則應(yīng)如何設(shè)計(jì)拱高h(yuǎn)和拱寬？（已知：橢圓+=1的面積公式為S=，柱體體積為底面積乘以高。）（3）為了使隧道內(nèi)部美觀，要求在拱線上找兩個點(diǎn)M、N，使它們所在位置的高度恰好是限高5m，現(xiàn)以M、N以及橢圓的左、右頂點(diǎn)為支點(diǎn)，用合金鋼板把隧道拱線部分連接封閉，形成一個梯形，若l=30m，梯形兩腰所在側(cè)面單位面積的鋼板造價是梯形頂部單位面積鋼板造價的倍，試確定M、N的位置以及的值，使總造價最少。

參考答案：解：（1）如下圖建立直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)P（10，2），橢圓方程為+=1，將b=h－3=3與點(diǎn)P坐標(biāo)代入橢圓方程，得a=，l=2a=，隧道的拱寬約為m。5分

（2）要使隧道上方半橢圓部分的土方工程量最小，由柱體的體積公式可知：只需半橢圓的面積最小即可。由橢圓方程+=1，得+=1。因?yàn)?≥，即ab≥40，…8分所以半橢圓面積S=≥。當(dāng)S取最小值時，有==，得a=10，b=，此時l=2a=20，

h=b+3=+3，故當(dāng)拱高為(+3)m、拱寬為20m時，隧道上方半橢圓部分的土方工程量最小

13分（3）設(shè)，設(shè)=+·=2（10），則令得或17（舍）∴時，取最小值，此時,代入橢圓方程得

∴…

13分略19.在邊長為2的等邊三角形中，是的中點(diǎn)，為線段上一動點(diǎn)，則的取值范圍為

參考答案：【知識點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．F3【答案解析】解析：由題意可得和的夾角為60°，設(shè)||=x，x∈[0，2]，

∵=（-）?（-）=?-?-?+2=2×1-2xcos60°-xcos60°+x2=x2-x+2=(x?)2+，

故當(dāng)x=時，取得最小值為，當(dāng)x=2時，取得最大值為3，

故答案為[，3]?！舅悸伏c(diǎn)撥】由題意可得和的夾角為60°，設(shè)||=x，x∈[0，2]，根據(jù)的向量的之間的關(guān)系得到的表達(dá)式，借助于二次函數(shù)求出最值，即得它的取值范圍．20.已知函數(shù)（）的最小正周期為．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函數(shù)在區(qū)間上的取值范圍．參考答案：所以，所以，因此，即的取值范圍為．21.（本小題滿分12分）山東省某示范性高中為了推進(jìn)新課程改革，滿足不同層次學(xué)生的需求，決定從高一年級開始，在每周的周一、周三、周五的課外活動期間同時開設(shè)數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、生物和信息技術(shù)輔導(dǎo)講座，每位有興趣的同學(xué)可以在期間的任何一天參加任何一門科目的輔導(dǎo)講座，也可以放棄任何一門科目的輔導(dǎo)講座。（規(guī)定：各科達(dá)到預(yù)先設(shè)定的人數(shù)時稱為滿座，否則稱為不滿座）統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表明，各學(xué)科講座各天的滿座概率如下表：

信息技術(shù)生物化學(xué)物理數(shù)學(xué)周一周三周五（Ⅰ）求數(shù)學(xué)輔導(dǎo)講座在周一、周三、周五都不滿座的概率;（Ⅱ）設(shè)周三各輔導(dǎo)講座滿座的科目數(shù)為，求隨即變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考答案：解：（1）設(shè)數(shù)學(xué)輔導(dǎo)講座在周一、周三、周五都不滿座為事件A，則

--------3分（2）可能取值為0，1，2，3，4，5

-----------9分所以，隨即變量的分布列如下012345P=-----------12分略22.已知F1、F2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，MN為該橢圓的一條垂直于x軸的動弦，直線與x軸交于點(diǎn)A，直線MF2與直線AN的交點(diǎn)為B.（1）證明：點(diǎn)B恒在橢圓C上.（2）設(shè)直線n與橢圓C只有一個公共點(diǎn)P，直線n與直線m相交于點(diǎn)Q，在平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)T，使得恒成立？若存在，求出該點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由.參考答案：（1）見解析（2）存在，【分析】（1）根據(jù)題意求得的坐標(biāo)，設(shè)出的坐標(biāo)，求得直線的方程，由此求得的坐標(biāo)，代入橢圓方程的左邊，化簡后得到，由此判斷出恒在橢圓上.（2）首先判斷直線的斜率是否存在.然后當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)出直線的方程，判斷出的位置并設(shè)出的坐標(biāo).聯(lián)立直線的方程和橢圓方程，化簡后利用判別式等于零求得的關(guān)系式，進(jìn)而求得的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)坐標(biāo)以及，利用列方程，結(jié)合等式恒成立求得的坐標(biāo).【詳解】（1）證明：由題意知，設(shè)，則.直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立可得，，即的坐標(biāo)為.因?yàn)?，所以點(diǎn)恒在橢圓上.（2）解：當(dāng)直線的斜率不存在時，不符合題意.不妨設(shè)