應(yīng)力與應(yīng)變第六章

第六章應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)分析材料力學(xué)第六章應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)分析

§6–1應(yīng)力狀態(tài)的概念§6–2平面應(yīng)力狀態(tài)分析——解析法§6–3平面應(yīng)力狀態(tài)分析——圖解法§6–4

梁的主應(yīng)力及其主應(yīng)力跡線§6–5

三向應(yīng)力狀態(tài)研究——應(yīng)力圓法§6–6

平面內(nèi)的應(yīng)變分析§6–7

復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力--應(yīng)變關(guān)系

——（廣義虎克定律）§6–8

復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的變形比能§6–１應(yīng)力狀態(tài)的概念應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)一、引言1、鑄鐵與低碳鋼的拉、壓、扭試驗(yàn)現(xiàn)象是怎樣產(chǎn)生的？M低碳鋼鑄鐵PP鑄鐵拉伸P鑄鐵壓縮2、組合變形桿將怎樣破壞？MP四、普遍狀態(tài)下的應(yīng)力表示

三、單元體：

單元體——構(gòu)件內(nèi)的點(diǎn)的代表物，是包圍被研究 點(diǎn)的無(wú)限小的幾何體，常用的是正六面體。單元體的性質(zhì)——a、平行面上，應(yīng)力均布；

b、平行面上，應(yīng)力相等。二、一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)：

過(guò)一點(diǎn)有無(wú)數(shù)方位的截面，這一點(diǎn)的各個(gè)截面上應(yīng)力情況的集合，稱(chēng)為這點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)（StateofStressataGivenPoint）。xyzs

xsz

s

y應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)txytzx由受力構(gòu)件中取原始單元體（已知單元體）：例

畫(huà)出下列圖中的A、B、C點(diǎn)的已知單元體。

應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)PPAAsxsxMPxyzBCsxsxBtxztxytyx四、主單元體、主平面、主應(yīng)力：主單元體(Principalbidy)：

各側(cè)面上切應(yīng)力均為零的單元體。主平面(PrincipalPlane)：切應(yīng)力為零的面。主應(yīng)力(PrincipalStress

）：

主平面上的正應(yīng)力。主應(yīng)力排列規(guī)定：按代數(shù)值大小，應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)s1s2s3xyzsxsysz單向應(yīng)力狀態(tài)（UnidirectionalStateofStress）

一個(gè)主應(yīng)力不為零的應(yīng)力狀態(tài)。

二向應(yīng)力狀態(tài)（PlaneStateofStress）：

一個(gè)主應(yīng)力為零的應(yīng)力狀態(tài)。應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)三向應(yīng)力狀態(tài)（Three—DimensionalStateof

Stress）：

三個(gè)主應(yīng)力都不為零的應(yīng)力狀態(tài)。AsxsxtzxsxsxBtxz平面應(yīng)力狀態(tài)空間應(yīng)力狀態(tài)tzxsxsxBtxzsxsxA§6–2

平面應(yīng)力狀態(tài)分析——解析法應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)sxtxysyxyzxysxtxysyO規(guī)定：

:與截面外法線同向?yàn)檎?/p>

ta：繞研究對(duì)象順時(shí)針轉(zhuǎn)為正；

a：x轉(zhuǎn)到n逆時(shí)針為正。naa設(shè)：斜截面面積dA，由分離體平衡得：一、任意斜截面上的應(yīng)力應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)考慮切應(yīng)力互等和三角變換：得:sytyxsxsataaxyOtnatxy同理：sytyxsxsataatnatxy二、應(yīng)力極值′′應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)§6–3

平面應(yīng)力狀態(tài)分析——圖解法對(duì)上述方程消去參數(shù)（2），得：一、應(yīng)力圓（StressCircle）應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)xysxtxysyOsytxysxsataaxyOtn此方程曲線為圓—應(yīng)力圓（或莫爾圓，由德國(guó)工程師：OttoMohr引入）RC建立應(yīng)力坐標(biāo)系，如下圖所示，（注意選好比例尺）二、應(yīng)力圓的畫(huà)法在坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出點(diǎn)A(x，xy)和B(y，yx)

AB與sa

軸的交點(diǎn)C便是圓心。以C為圓心，以AC為半徑畫(huà)圓——應(yīng)力圓；應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)sxtxysyxyOnsataaOstCA(sx,txy)B(sy,tyx)x2anD(sa,

ta)應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)sxtxysyxyOnsataaOstCA(sx,txy)B(sy,tyx)2anD(sa,

ta)三、單元體與應(yīng)力圓的對(duì)應(yīng)關(guān)系面上的應(yīng)力(，)

應(yīng)力圓上一點(diǎn)(，)面的法線應(yīng)力圓的半徑兩面夾角兩半徑夾角2

；且轉(zhuǎn)向一致。點(diǎn)面對(duì)應(yīng);夾角兩倍,轉(zhuǎn)向一致x四、在應(yīng)力圓上標(biāo)出極值應(yīng)力應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)OCstA(sx,txy)B(sy,tyx)x2a12a0s1s2s3★切應(yīng)力最大與最小的截面上，正應(yīng)力一般不為零,且大小相等?！飪苫ハ啻怪钡慕孛嫔?，正應(yīng)力之和為常數(shù);★主平面上，主應(yīng)力取得極大或極小。性質(zhì)：OCstA(sx,txy)B(sy,tyx)x2a12a0s1s2s3例：分別用解析法和圖解法求圖示單元體的

(1)指定斜截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力; (2)主應(yīng)力值及主方向，并畫(huà)在單元體上；

(3)最大切應(yīng)力值。單位：MPa解：(一)使用解析法求解101.96MPa21.96MPa84.85MPa64.85104.85σ1=104.85MPa，σ2=0，σ3=-64.85MPa。

(二)使用圖解法求解

作應(yīng)力圓，從應(yīng)力圓上量出：C（20，0），R=84.85MPa，σ1=104.85MPa，σ2=0MPa，σ3=-64.85MPa，τmax=84.85MPatan2α0=1，2α0=45°σ1=104.85MPa，σ2=0MPa，σ3=-64.85MPa，τmax=84.85MPa，α0=22.5°104.8564.85例：試用應(yīng)力圓法計(jì)算圖示單元體e--f截面上的應(yīng)力。圖中應(yīng)力的單位為MPa。例

用應(yīng)力圓求解圖示單元體解：（1）作應(yīng)力圓C主應(yīng)力、主平面，C（45，0），σ1=87.72MPa，σ2=0MPa，σ3=-2.27MPa，τmax=42.72MPa低碳鋼鑄鐵例：討論圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力狀態(tài)，并分析低碳鋼、鑄鐵試件受扭時(shí)的破壞現(xiàn)象。解：低碳鋼剪斷；鑄鐵拉斷?！?–4

梁的主應(yīng)力及其主應(yīng)力跡線應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)12345P1P2q如圖，已知梁發(fā)生剪切彎曲（橫力彎曲），其上M、Q>0，試確定截面上各點(diǎn)主應(yīng)力大小及主平面位置。單元體：應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)21s1s3s33s1s34s1s1s35a0–45°a0stA1A2D2D1COsA2D2D1CA1Ot2a0stD2D1CD1O2a0=–90°sD2A1Ot2a0CD1A2stA2D2D1CA1O拉力壓力主應(yīng)力跡線（StressTrajectories)：

主應(yīng)力方向線的包絡(luò)線——曲線上每一點(diǎn)的切線都指示著該點(diǎn)的拉主應(yīng)力方位（或壓主應(yīng)力方位）。實(shí)線表示拉主應(yīng)力跡線；虛線表示壓主應(yīng)力跡線。應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)1313§6–5

三向應(yīng)力狀態(tài)研究——應(yīng)力圓法應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)s2s1xyzs31、空間應(yīng)力狀態(tài)2、三向應(yīng)力分析彈性理論證明，圖a單元體內(nèi)任意一點(diǎn)任意截面上的應(yīng)力都對(duì)應(yīng)著圖b的應(yīng)力圓上或陰影區(qū)內(nèi)的一點(diǎn)。圖a圖b整個(gè)單元體內(nèi)的最大剪應(yīng)力為：tmax應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)s2s1xyzs3§6–6廣義胡克定律應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)一.基本變形時(shí)的胡克定律y