2020年江西省南昌市高考數(shù)學(xué)一模試卷(理科)

2??12122??12122020年江西省南昌市高考數(shù)學(xué)一模試卷理科)一、單項(xiàng)選擇題（本大題共小，共60.0分

設(shè)全集為R，合{，{，則(

B.

C.

D.

在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對的點(diǎn)的坐標(biāo)??

B.

C.

,

D.

,

有一個(gè)正三棱柱，其三視圖如圖所示，則其體積等)

B.

C.

2

D.已知，“”“

2

”C.

充分不必要條件充分必要條件

B.D.

必要不充分條件既不充分又不必要條件

已知點(diǎn)、，向量在向上的投影

2B.5222

C.

D.1717

函數(shù)(

的圖象為下圖中(B.C.D.

?22?22??

已知變量y與的性回歸方程為

，其中x的有能取值為1，，5，13，則

B.

C.

D.

已知拋物線:2的點(diǎn)為線一點(diǎn)到線和軸距離之和為

B.

C.

D.

已知雙曲線C：????的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)F且傾斜角22

的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則此雙曲線的離心率的取值范圍)

+

B.

√

C.

D.

如所示eq\o\ac(△,)是長為的邊三角形eq\o\ac(△,)是腰角三角形，，BD點(diǎn)．??

的值為；線的為．B.C.D.E.3如，三棱

中，側(cè)

底

的中點(diǎn)是上的點(diǎn)

DF相于點(diǎn)

下列結(jié)論中不正確的

CE與??異且垂直B.C.

是直角三角形D.

DF的為若數(shù)????其的小正周期是??)

1??，81????1??，81????

，26

B.

1??24C.

2

??6

D.

，

??4二、填空題（本大題共4小題，20.0分函2在點(diǎn)1,處的切方程_．已知

10

(102

2

10

10

，則等于________．若數(shù)({

02，??2

2

．在差數(shù)列{中，已知，，??．28三、解答題（本大題共7小題，82.0分如，eq\o\ac(△,)??中，M是的點(diǎn)2．若，的；12若

的面積．如梯形ABCD中．

2??

四邊形ACFE為形平ABCD

22222222Ⅰ求：平；Ⅱ點(diǎn)在段上動(dòng)在么位置時(shí)面MAB與平面成銳二面角最大，并求此時(shí)二面角的余弦值．19.

已知函

2

,??(.若存極小值，求實(shí)數(shù)a的值范圍；若(的極大值為，求證.220.

已知點(diǎn)：

上意一點(diǎn)，與關(guān)原點(diǎn)對稱，線的直平分線分別與交MN兩．求M的跡的方程；過點(diǎn)的直線l3

與點(diǎn)M軌跡C交兩點(diǎn)在y軸是否存在定點(diǎn)使為直徑的圓恒過這個(gè)點(diǎn)？若存在，求出點(diǎn)Q的標(biāo)；若不存在，請說明理由．

21.

質(zhì)檢部門對某工廠甲乙兩個(gè)車生產(chǎn)的12個(gè)零件質(zhì)量進(jìn)行檢測甲乙兩個(gè)車間的零件質(zhì)量單：分的莖葉圖如圖所示．零件質(zhì)量不超過的為合格．從、乙兩車間分別隨機(jī)抽取2個(gè)件，求甲車間至少一個(gè)零件合格且乙車間至少一個(gè)零合格的概率；質(zhì)部門從甲車間8零件中隨機(jī)抽取3零件進(jìn)行檢測，已知三件中有兩件是合格品的件下，另外一件是不合格品的概率．若甲、乙兩車間12個(gè)件中隨機(jī)抽取2個(gè)件，用X表乙車間的零件個(gè)數(shù)，求分布列與數(shù)學(xué)期望．22.

在平面直角坐標(biāo)系xOy中射線l

曲的參數(shù)方程為

為參數(shù)曲的方程

以點(diǎn)為極點(diǎn)x的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．寫射線l

的極坐標(biāo)方程以及曲線C

的普通方程；已射線l

與C

交于O，與?交于O，N的．

23.

設(shè)、且，分析法證明

2???2??)2???2??)?13??21【答案與析】1.

答：解：：，；，；．故選：．可以求出集合A，B，后進(jìn)行補(bǔ)集、交集的運(yùn)算即可．考查描述法、區(qū)間的定義，一元二次不等式的解法，以及交集、補(bǔ)集的運(yùn)算．2.

答：A解：本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．解：復(fù)數(shù)??對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，??(32??)故選．3.答：B解：：由三視圖和題意得，正三棱柱的高是，底面正三角形的邊長為??

，該三棱柱的體2

2

，故選：B．由三視圖和題意求出正三棱柱的高，由直角三角形的正弦函數(shù)求出底面邊長，由柱體的體積公求出答案．本題考查由三視圖求幾何體的體積，直角三角形的正弦函數(shù)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．

則向量在4.

答：B解：本題考查了不等式的解法、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．2，得即判斷出關(guān)系．解：

2

，得．“”“故選：B．5.答：A

2

”必要不充分條件．解：本題主要考查向量坐標(biāo)運(yùn)算以及向量投影的應(yīng)用，根據(jù)向量投影和向量數(shù)量積的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化解決本題的關(guān)鍵．根據(jù)條件求出向與的標(biāo)，再根據(jù)投影的定義即可得到答案．解：、、、，

，方向上的投影為2

，故選：A．6.

答：解：本題考查分段函數(shù)圖象問題，依題意解：

{，根據(jù)解析式即可求得結(jié)果．解：因?yàn)楹?/p>

{，根據(jù)分段函數(shù)解析式即可判斷中圖象正確，故選C．7.

答：B

?5?，可得．22?5?，可得．22????解：：由題意

15

(1513，代入故選：B．求出，入

，可得．5本題解題的關(guān)鍵是回歸直線方程一定過樣本的中心點(diǎn)，本題是一個(gè)基礎(chǔ)題．8.

答：解：本題考查了拋物線的定義和幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．設(shè)據(jù)拋物線的性質(zhì)可得點(diǎn)P到線和軸距離分別為根據(jù)題意可得5即可求．解：設(shè)，拋物線，準(zhǔn)線方程為，則點(diǎn)到線和y軸距離分別為m，所以1，得，即．故選C．9.

答：A解：：雙曲線C：1(????的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F且斜角的線與雙22曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)．則：該直線的斜率的絕對值小于或等于漸近線的斜率??所以??

??故選：A．若過點(diǎn)且斜角為的線雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)直線的斜率的絕對值小于

于漸近線的斜率．根據(jù)這個(gè)結(jié)論可以求出雙曲線離心率的取值范圍．本題考查的知識點(diǎn)：雙曲線的性質(zhì)及應(yīng)用及相關(guān)的運(yùn)算問題．10.答：解：本題考查余弦定理、正弦定理的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．在中，，，用余弦定理可

2

；在中，，由正弦定理可得的．解：在中，，由余弦定理可得22×1+3在中，，則由正弦定理可得：??故選C．11.

答：D解：本題主要考查空間中，線線，線面間的位置關(guān)系，空間中的距離，屬于較難題．利用空間中線線，線面間的位置關(guān)系，根據(jù)選項(xiàng)逐個(gè)分析判斷即可．解：對于A，

平平面，且平，

，與

是異面直線，，

平，平ABC，平，，又，

，BC，平，平面，又??平面，

，又四邊是方形，連接，

1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111得??.由，??.|??1，11又

??，，平，1平，平面，111，A正；1對于，

，是的中點(diǎn)

，由

底，

底，，又??，，

平11

，平面，

平面11

，1

，又，

，，平，11平，平面，11，故B正；1對于C，

平11

，平面

，可得

，故

是直角三角形，確；對于，

1，，，3111

，，1，111

，111

，即，

√22

1

，解得，D錯(cuò)．故選．12.答：B解：

????

1????

.故B13.

答：解：：；故故函數(shù)(

的圖象在點(diǎn)的切線方程為：；

1888107111．71888107111．711即；故答案為：．由題意求導(dǎo)，而知切線的斜率，從而寫出切線方程．本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．14.

答：解：本題考查利用二次展開式的通項(xiàng)公式解決二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)問題．關(guān)鍵是將底數(shù)改寫成右邊底數(shù)形式．將+寫成；用二項(xiàng)展開的通項(xiàng)公式求出通項(xiàng)，1的數(shù)為，求出．解：

10

10其開式的通項(xiàng)????[1??+1

??

??

·10??

·??10

1??

，令??得故答案為180．15.

答：)??解：：函數(shù){，????????2)2故答案為：．

1712推導(dǎo)出

(??????

，此能求出結(jié)果．本題考查函數(shù)值的求法，考查函數(shù)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思，是基礎(chǔ)題．16.

答：解：本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了方程組的解法，是基礎(chǔ)題．設(shè)出等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差，由題意列方程組求出首項(xiàng)和公差，則答案可求．解：由

，，：8

3113113，108解得：

1，1??．??故答案為：n．17.

答：：(1)

5312

，在中由正弦定理得sinsin

，．在中由余弦定理得：???

???

1

，+??，解得負(fù)值舍，

?sin，解：題主要考查解三角形的應(yīng)用，結(jié)合正弦定理，余弦定理及三角形的面積公式是解決本題的關(guān)鍵．根正弦定理進(jìn)行求解即可．根余弦定理結(jié)合三角形的面積公式進(jìn)行計(jì)算即可．18.

答：證：在梯形ABCD中，，設(shè)1，又，，3

???3．則．

平ABCD平ABCD，而??，平面BCF??，平面BCF；解分別以直線，，CF為軸y軸z軸立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，則，，0，1，0，，，，，設(shè)，為平面的個(gè)法向量，由

?√得，取，則3?

，，是平面一個(gè)法向量，,

2

2

．，當(dāng)時(shí)有小值為，7點(diǎn)M與點(diǎn)F重時(shí)，平面平面FCB所成二面角最大，此時(shí)二面角的余弦值為．7

????????解：題考查直線與平面垂直的判定，考查空間想象能力和思能力，訓(xùn)練了利用空間向量求二面角的平面角，是中檔題．在形ABCD中由題意求，由余弦定理求

，足

，得則再由平ABCD，由面垂直的判定可平面一步得平BCF分以直線CB為軸軸軸立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，到C，B，M的標(biāo)求出平面MAB的個(gè)法向量，由題意可得平面FCB的個(gè)法向量兩向量所成角的余弦值時(shí)有小值為，7此時(shí)點(diǎn)M與重．19.

答：：

，．

??，設(shè)

，，則?，

??

2

，，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)且，單遞，??????

，其大致圖象如圖所示，結(jié)合圖象可知，當(dāng)

時(shí)，在上調(diào)增，沒有極值，不符合題意，當(dāng)

時(shí)與有2個(gè)同的交點(diǎn)橫坐標(biāo)分別

，當(dāng)或時(shí)單遞單調(diào)遞減，故函數(shù)(在處得極大值，處得極小值，

時(shí)，綜上可得，a的圍

結(jié)，若的大值為M則

，

??11121121112121112132??11121121112121112132，，12，11)1

1

21

，因?yàn)椋?所以

1

1

2

??

1

1

(1，1令

(12

，，則

12

(1時(shí)成立，即在上調(diào)遞減，又，

12

，故

12

，即

12

．解：先函求導(dǎo)，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系討論函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可出滿足題意的范圍，結(jié)的論)1

1

21

，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可求的值范圍，即可證明．本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，研究極值及函數(shù)的值域的求解，屬于中檔試題．20.答：：由意得|22|，所以點(diǎn)M的跡C為，為點(diǎn)的橢圓，因?yàn)?2，，所以點(diǎn)M的跡C的程為2．2直l

的方程可設(shè)為

，3設(shè),，，)12．聯(lián)立{，得2??12由求根公式化簡整理得41612)假設(shè)在y軸存在定點(diǎn)，以AB為徑的圓恒過這個(gè)點(diǎn)，則,，因?yàn)?)22

，即?

．

1212121所以{18111????22????2144????1212121所以{18111????22????2144??????28214????1121212??21??216(112219(12

22．，求得．2因此，在y軸存在定點(diǎn)，以為徑的圓恒過這個(gè)點(diǎn)．解：題考查橢圓的方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)，考查計(jì)算能力以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．判軌跡方程是橢圓，然后求解即可．直l

的方程可設(shè)為

，設(shè)??,，??(,，聯(lián)立直線與橢圓方程，通過韋達(dá)定理，假設(shè)在y軸是否存在定AB為徑的圓恒過這個(gè)點(diǎn)?1.推出結(jié)果即可．21.答：：質(zhì)部門對某工廠甲、乙兩個(gè)車間生產(chǎn)的12零件質(zhì)量進(jìn)行檢測，由莖葉圖得甲車間的合格零件數(shù)為，乙車間的合格零件數(shù)為，從、乙兩車間別隨機(jī)抽取2個(gè)件，甲車間至少一個(gè)零件合格且乙車間至少一個(gè)零件合格的概率：4)(122284

．質(zhì)部門從甲車間8個(gè)件中隨機(jī)抽取3個(gè)零件進(jìn)行檢測，已知三件中有兩件是合格品的條件下，另外一件是不合格品的概

????213444

．7由意可得X所有可能取值為0，2

????12

，1)48??12

16

，

242114161222123242114161222123